ORIGINILE FIZICII CUANTICE

3. Cuantificarea si structura substantei

Dupa cum este cunoscut, existenta atomilor (in limba greaca: atom=particula care nupoate fi divizata) a fost afirmata inca de catre o serie de filozofi ai Greciei antice, intre care cei mai cunoscuti sunt Democrit si Leucip. Conceptia antica privind atomii era insa naiva, deoarece presupunea ca atomii unei sfere sunt rotunzi (sferici), cei ai unui cutit sunt ascutiti s.a.m.d.

Data fiind absenta bazelor experimentale, conceptia antica privind atomismul a fost parasita in evul mediu.

Formularea de catre Dalton (in secolul XVIII) a legii "proportiilor definite" a chimiei a permis reaparitia conceptiilor atomiste, de aceasta data prin notiunea de molecula (cea mai mica particula care pastreaza proprietatile substantei respective, putand explica legea proportiilor definite prin mecanisme moleculare de tipul: 2 H₂ + O₂ 2 H₂O). In secolul urmator (XIX), o serie de constatari experimentale ale termodinamicii au putut fi interpretate teoretic de catre Maxwell si Boltzmann in baza ipotezei structurii atomico-moleculare a substantei.

In timp ce in cea de a doua jumatate a secolului XX, microscopia electronica si cea ionica au permis vizualizarea moleculelor si atomilor, iar unele tehnici speciale chiar "manipularea lor" (in sensul construirii unor piramide moleculare), la sfarsitul secolului XIX moleculele si atomii nu fusesera insa reperati direct, existenta lor nefiind dovedita experimental. Din acest motiv, scoala filozofica "neopozitivista" (aparuta spre sfarsitul secolului XIX, condusa de Ernst Mach, fizician cu merite deosebite in directia axiomatizarii mecanicii), care sustinea necesitatea renuntarii la ipotezele care nu aveau un suport experimental solid, a actionat decis in directia eliminarii din invatamant si stiinta a ipotezei atomico-moleculare. Desigur, implicatiile pentru stiinta ale acestei orientari a scolii "neopozitiviste" (cu mare pondere in Germania si o serie de tari occidentale, in jurul anului 1900) au fost net negative.

Iesirea din acest "impas" a fost realizata de catre Albert Einstein (1905), care - pe baza interpretarii statistice (pornind de la teoria cinetico-moleculara a lui Maxwell-Boltzmann) a miscarii browniene - a putut prezice unii parametri statistici ai acestui fenomen, care - la data respectiva - nu fusesera studiati. Investigatiile experimentale efectuate ulterior de catre Jean Perrin si suedezul Svedberg (1906-1911) au confirmat cu inalta precizie prezicerile teoretice (bazate pe teoria cinetico-moleculara a lui Maxwell-Boltzmann) ale lui Einstein, ceeace a determinat:

a)          eliminarea pozitiei negativiste a scolii neopozitiviste privind ipoteza cinetico-moleculara si acceptarea acestei ipoteze de catre toti oamenii de stiinta,

b)          determinarea constantei lui Avogadro (pana in 1950) pornind de la rezultatele experimentale privind miscarea browniana.

Dat fiind caracterul clasic al teoriei statistice a lui Einstein privind miscarea browniana, vom prezenta principalele elemente ale acestei teorii in forma unei probleme.

Problema 5.3.1 (rog introduceti aici, sub noul numar, problema IV.2.13 a culegerii de probleme!)

In privinta structurii atomilor, istoria Fizicii a inregistrat 3 modele preliminare: (i) modelul "svaiter" (J.J.Thomson), presupunand ca atomul este constituit dintr-o distributie continua de sarcini electrice pozitive, in interiorul careia sunt "presarati" electronii; acest model a fost infirmat de rezultatele experimentale privind inertia foarte mica (~10^-8 s) a efectului fotoelectric, fata de previziunile mult mai mari (t~1 s) corespunzand modelului Thomson; (ii) modelul "dinamidelor" al lui Lenard, presupunand ca - in interiorul atomului "navigheaza" haotic dipoli electrici pe un fond de substanta neutra electric, (iii) modelul "planetar" (Nagaoka-Jean Perrin, 1903-1906), care presupune - fara dovezi experimentale ca structura atomilor este analoga cu cea a sistemului solar: o sarcina electrica pozitiva centrala, in jurul careia se rotesc electronii.

Pentru elucidarea acestei probleme prin studiul experimental al structurii moleculelor si atomilor pot fi utilizate metodele: a) interactiunii fasciculelor de particule "proiectil" cu substanta, b) spectroscopice, care reprezinta rezultatele interactiunilor cu cuantele radiatiilor electromagnetice (fotonii).

Particulele rezultate in urma dezintegrarilor radioactive (descoperite de Henry Becquerel in 1898) au energii relativ mari (in jur de 1 MeV), fiind practic cele mai convenabile pentru studiul structurii substantelor.

Coincidenta particulelor b cu electronii descoperiti in 1897 de catre J.J.Thomson a fost demonstrata de catre germanul P.Lenard (1898), in timp ce natura electromagnetica (cuante cu lungimi de unda cuprinse intre aprox.10^-3 Å si 1 Å) a fost demonstrata de catre americanul Villard (1899).

Pentru stabilirea naturii particulelor a a fost utilizata metoda spectrometriei de masa, introdusa in jurul anului 1900 de catre F.W.Aston (Marea Britanie) si Bainbridge. Pentru mai buna intelegere a acestei metode si rezultatelor sale privind particulele a, prezentam cateva elemente privind aceasta metoda in cadrul problemei urmatoare.

Problema 5.3.2 (rog introduceti aici, sub noul numar, problema IV.2.16 a culegerii de probleme!)

Pornind de la rezultatele obtinute cu ajutorul spectrometriei de masa, fizicianul englez Ernst Rutherford (1871-1938) a demonstrat (1898) ca particulele a sunt atomi de heliu dublu ionizati (aºHe⁺⁺). Pe aceasta baza, E.Rutherford a inceput studiul fenomenelor de absorbtie si - respectiv - imprastiere a particulelor a in/pe folii metalice (1908-1913).

a)      Studiul absorbtiei si imprastierii particulelor a in/pe folii metalice

(i)         Absorbtia particulelor a in folii metalice

Interpretarea rezultatelor experimentale privind absorbtia particulelor a in folii metalice sau emulsii necesita utilizarea notiunii de sectiune eficace de producere a unui proces microscopic. Definitia si deducerea relatiilor dintre aceasta marime fizica (sectiunea eficace) si unele marimi macroscopice (spre exemplu, lungimea drumului liber mediu) masurabile sunt prezentate in cadrul problemelor 5.3.3 si 5.3.4.

Problema 5.3.3 (rog introduceti aici, sub noul numar, problema IV.2.8 a culegerii de probleme!)

Problema 5.3.4 (rog introduceti aici, sub noul numar, numai punctul "a" al problemei IV.2.17 a culegerii de probleme!)

(ii)      Studiul imprastierii (difuziei) particulelor a pe folii metalice

Pentru elucidarea problemei structurii atomice, E.Rutherford a continuat experientele (descrise mai sus) de absorbtie a particulelor a in folii metalice cu experimente destinate studiului imprastierii unor fluxuri de asemenea particule pe folii metalice. Fie N₀ numarul particulelor a

incidente in unitatea de timp pe folia meta-

lica utilizata, iar DN numarul particulelor a S imprastiate si detectate prin fereastra de arie S a detectorului plasat la distanta L de folie (v.

___ Detector de figura 5.3.1). In conditiile in care dimensiunile

___ L particule a foliei (de arie A) sunt considerabil mai mici

Fascicul de      decat distanta L pana la detector: A^1/2<<L,

se defineste eficienta imprastierii particulelor particule a a in interiorul unghiului solid DW sub care se

vede fereastra detectorului de la folie, prin

____________ probabilitatea DP a imprastierii particulelor a _ _ in interiorul unghiului solid DW , in baza

___ Fig.5.3.1 relatiei:

Studiile experimentale efectuate de catre E.Rutherford au aratat ca eficienta imprastierii particulelor a de energie cinetica E_c printr-o folie de grosime g, confectionata dintr-un metal de densitate r, numar de masa A si numar de sarcina (ordine in tabelul de periodicitate al elementelor) Z este data de expresia:

daca unghiul q format de axa unghiului solid cu directia de incidenta nu depaseste o valoare limita q_max Faptul ca eficienta imprastierii particulelor a este proportionala cu patratul numarului de sarcina Z indica natura coulombiana a fortelor care determina (in cazul q<q_max) imprastierea particulelor a

Din acest motiv, E.Rutherford a inceput interpretarea teoretica a acestor experiente prin studiul interactiunii coulombiene a unei particule "proiectil" incarcata cu sarcina pozitiva +Z_pe cu un centru de sarcina electrica pozitiva +Z_ce. Dat fiind caracterul central al fortelor coulombiene, interactiunea sarcinii "proiectil" cu centrul de sarcina electrica pozitiva poate fi studiata cu ajutorul ecuatiei diferentiale Binet a traiectoriei miscarii punctelor materiale in campuri centrale de forte (v. volumul 2 "Mecanica fizica" al cursului prof.Dan Iordache, IPB-1985, p.62-69 sau Cursul de Fizica numerica, cap.4 "Formalismul analitic al fizicii", partea editata de student Gheorghe Florin - 323CA). Deducerea primei formule a lui Rutherford:

a semiunghiului de deviatie a particulei "proiectil" in campul coulombian al centrului de sarcina electrica pozitiva +Z_ce este prezentata in cadrul problemei 5.3.5 care urmeaza.

Problema 5.3.5: Pornind de la ecuatia diferentiala a traiectoriei unui punct material de masa m intr-un camp central de forte:

(unde F_r este componenta radiala a fortei centrale, iar A_o este viteza areolara fata de polul O al campului central de forte), deduceti:

a)      ecuatia traiectoriei particulei "proiectil",

b)      unghiul de deviatie q_d al particulei "proiectil" la iesirea din campul central de forte.

Solutie: Vom alege axa polara trecand prin polul O al campului central de forte (centrul de sarcina electrica pozitiva +Z_ce) si avand directia si sensul vitezei v_o a particulei "proiectil" la mare distanta de centrul de sarcina (v.figura 5.3.2).

+Z_pe      q_d

o - - - - - - -

A_o __q

O      Axa polara

Fig.5.3.2

Deoarece forta coulombiana de interactiune dintre cele 2 sarcini este:

iar viteza areolara fata de polul campului central de forte este constanta (intr-o miscare nerelativista) si egala cu viteza areolara initiala:

(unde b este distanta de la polul campului central de forte la directia de incidenta a particulei "proiectil"), ecuatia diferentiala Binet a miscarii particulei "proiectil" capata forma:

Comparand solutia ecuatiei diferentiale Binet (5.3.3):

cu ecuatia conicelor in coordonate polare plane (v."Mecanica fizica:, loc citat, p.62-69):

(unde semnul "-" corespunde ramurii exterioare a hiperbolei), reiese ca traiectoria particulei "proiectil" in campul coulombian al unui centru de sarcina electrica pozitiva corespunde ramurii exterioare a unei hiperbole.

Pentru a deduce unghiul de deviatie q_d al particulei "proiectil", vom transcrie solutia (5.3.4) in forma:     

Deoarece asimptota (r oo) orizontala corespunde unghiului polar plan q p ecuatia (5.3.6) devine:

Pentru a impune si conditia initiala (v_r=-v_o) corespunzand vitezei pentru asimptota orizontala, vom deriva mai intai solutia (5.3.6) in raport cu timpul, obtinand:

in care s-a tinut seama ca:

Impunand conditia:

se obtine:

Rezulta ca ecuatia (5.3.6) a traiectoriei particulei "proiectil" poate fi scrisa in forma:

Avand in vedere ca pentru a doua asimptota (oblica) avem: q q_d , reiese:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . In vederea deducerii celei de a doua formule a lui Rutherford (privind eficienta imprastierii particulelor proiectil de catre foliile metalice), trebuie calculata sectiunea eficace corespunzand imprastierii intr-o coroana conica corespunzand unghiurilor de deviatie cuprinse intre q_d si q_d +dq_d. Din relatia (5.3.11), obtinem:

Reiese ca sectiunea eficace corespunzand imprastierii in coroana conica indicata este:

Avand in vedere ca unghiul solid corespunzand coroanei conice q_d q_d +dq_d este:

2p.sinq_d dq_d

reiese expresia contributiei centrilor de sarcini pozitive +Z_ce la eficienta imprastierii particulelor proiectil:

unde n_c reprezinta concentratia centrilor de sarcini electrice +Z_ce in unitatea de volum a foliei, iar g este grosimea foliei.

Comparand expresia teoretica a eficientei imprastierii particulelor a (Z_p=2) de catre centrii de sarcini electrice pozitive:

cu expresia experimentala (5.3.2) se constata ca:

a)          dependentele celor 2 expresii de unghiul de deviatie q _d coincid pentru q_d<q_max ceeace arata ca in aceste conditii interactiunea particulelor "proiectil" cu centrii de sarcini electrice pozitive este coulombiana,

b)     

cele 2 expresii coincid intrutotul daca:

unde n este concentratia atomilor metalici din folie. Intrucat numarul sarcinilor elementare pozitive din unitatea de volum a foliei poate fi exprimat in 2 moduri echivalente, avem:

Folosind simbolul N_c,atom pentru numarul de centri +Z_ce dintr-un atom:

ecuatiile (5.3.13), (5.3.14) pot fi transcrise in forma:

Deoarece:

iar termenii nediagonali din ultimul membru al ecuatiei de mai sus sunt nenegativi, reiese ca in atom poate exista un singur tip de centri de sarcina electrica pozitiva, pentru care:

deci: N_c,atom=1 si: Z_c=Z . Reiese ca in atom exista un singur tip de centru de sarcina electrica pozitiva si un singur centru de acest tip (nucleul atomic), in care este concentrata intreaga sarcina pozitiva a atomului.

Problema 5.3.6: (rog introduceti aici, sub noul numar, numai punctele "b" si "c" ale problemei IV.2.17 a culegerii de probleme!)

Conform teoremei lui Earnshaw, singura stare de echilibru a unei perechi de sarcini electrice (spre exemplu, nucleul si electronul atomului de hidrogen) este cea de echilibru dinamic: electronul rotindu-se in jurul nucleului. In consecinta, conform teoremei lui Larmor, electronul ar trebui sa radieze energie electromagnetica cu puterea:

unde a este acceleratia corespunzand rotatiei electronului in jurul nucleului. Drept rezultat (v. problema urmatoare), electronul ar trebui sa cada pe nucleu (deci atomul sa dispara) in cca. 10^-11 s, fenomen care nu este observat experimental.

Problema 5.3.7: (rog introduceti aici, sub noul numar, problema IV.2.19 a culegerii de probleme!)