Principiul dinamicii pentru puncte materiale si sisteme de puncte materiale

Principiul dinamicii pentru puncte materiale si sisteme de puncte materiale

Experimental s-a demonstrat ca un corp aflat in repaus fata de Pamant ramane tot in repaus atata timp cat asupra sa nu actioneaza alte corpuri care sa-i modifice aceasta stare.

Aceasta proprietate a corpului de a-si mentine starea de repaus sau de miscare rectilinie uniforma,fara actiunea fortelor exterioare poarta denumirea de inertie.Corpurile inerte sunt corpurile care nu-si pot modifica de la sine starea lor de repaus sau de miscare rectilinie uniforma. In virtutea inertiei corpurile se misca rectiliniu uniform fara actiuni exterioare , iar datorita inertiei corpurile tind sa-si mentina aceasta stare de miscare reactionand la actiunile exterioare.

Legea I a dinamicii.

Un punct material (corp) isi pastreaza starea de repaus sau de miscare rectilinie uniforma atata timp cat asupra sa nu actioneaza alte corpuri care sa-I modifice aceasta stare.

Observatii

a) Viteza variaza liniar cu timpul. Acceleratia este proportionala cu forta F si este constanta

b) Viteza creste mai repede . Acceleratia se dubleaza dar si forta se multiplica, astfel ca in final

acceleratia a este proportionala cu forta totala. Spunem ca F = ka.

c) Viteza scade cu timpul .aceeasi forta F care actioneaza asupra suprafetei a doua corpuri da

nastere la o acceleratie a/2.

Din experientele de mai sus rezulta ca F=ma=m m este un parametru pozitiv, caracteristic punctului material denumit masa inerta sau inertiala.

Legea a II - a a dinamicii este data de relatia m (III.1), adica : acceleratia care imprima corpului miscarea este direct proportionala cu forta aplicata cand masa este constanta.

Expresia F ma reprezinta o definitie dinamica a fortei si manifesta caracterul activ al masei.

Legea a III - a . Principiul actiunii si reactiunii

Experimental, s-a constat ca actiunea unui corp asupra altuia da nastere simultan la o reactiune a celui din urma asupra primului.

Enunt: actiunile reciproce dintre doua corpuri sunt totdeauna egale in modul si dirijate in sensuri contrare.

Legea a IV - a . Principiul independentei actiunii fortei

Sa consideram doua forte si care actioneaza simultan asupra aceluiasi punct A de masa m.Aceste forte produc acceleratiile a si a dupa relatiile =m si =m.Putem scrie=+ cu acceleratia rezultanta. Se multiplica ambii membrii ai ecuatiei cu numarul m si rezulta : m=m+ mcare reprezinta =+, adica asupra punctului material actioneaza forta rezultanta care rezulta din insumarea geometrica a vectorilor si si care produc separat efectele lor, independent de existenta celeilalte forte.

Teoreme generale ale punctului material

Teorema impulsului

Din legea a II - a a dinamicii (III.1) =m= (m)=,unde = m reprezinta impulsul .Relatia arata ca forta aplicata punctului material este egala cu derivata impulsului punctului material in raport cu timpul. Se mai poate scrie dt=sau prin integrare rezulta :

=

unde reprezinta impulsul fortei .Cum in mecanica clasica masa ramane constanta rezulta rezulta teorema impulsului de forma:

adica impulsul fortei rezultante aplicate punctului material este egal cu variatia impulsului punctului material.

Teorema momentului cinetic

Momentul cinetic in raport cu punctul O al unui punct material care se deplaseaza cu viteza (deci cu impulsul m ) este definit prin produsul vectorial

Momentul cinetic variaza in marime si directie la deplasarea punctului material.

Prin derivarea momentului cinetic rezulta:

unde:

deoarece .

Deci derivata momentului cinetic in raport cu timpul , a unui punct material, este egala cu momentul fortei care i se aplica. Facand analogie cu teorema impulsului, rezulta :

iar cum se multiplica cu dt si rezulta :

Deci teorema momentului cinetic este : impulsul momentului fortei aplicate punctului material

este egala cu variatia momentului cinetic al punctului material.

Teorema momentului cinetic exprima o lege de conservare a miscarii mecanice transmise de la un corp la altul prin intermediul fortei in procesul interactiunii. Existenta momentului cinetic si a legii fizice de conservare a momentului este legata de proprietatea de izotropie a spatiului (simetria la rotatii).

Punctele materiale dintr-o anumita regiune a spatiului pot alcatui un sistem de puncte materiale, astfel ca rezultatele obtinute in cazul punctului material pot fi generalizate la studiul sistemelor formate din mai multe puncte materiale, dar in acest caz trebuie sa deosebim doua tipuri de forte: exterioare si interioare. Fortele interioare fiind doua cate doua egale si de sensuri contrarii, impulsul total al sistemului datorat acestor forte ramane constant. Sa consideram un sistem de puncte materiale, raportat la un reper fix O.Forta exterioara care actioneaza asupra particulei cu masa m_i este, conform legii a doua a mecanicii:

.

Forta exterioara rezultanta care actioneaza asupra intregului sistem de particule, cand masa ramane constanta, este:

unde i = 1, 2,n reprezinta numarul de puncte materiale din sistem, iar este impulsul sistemului.

Daca masa sistemului este putem stabili un vector egal cu:

care determina pozitia unui punct numit centru de inertie sau centrul de masa al sistemului de puncte materiale (C.M.). Daca sistemul de puncte materiale este raportat la un reper rectangular Ox,y,z coordonatele centrului de masa sunt:

.

Daca sistemul este format din doua puncte materiale pozitia centrului de masa este:

sau

.

relatie care arata ca: 'centrul de masa al unui sistem de puncte materiale se deplaseaza ca si cum in el ar fi concentrata intreaga masa a sistemului de puncte materiale, iar asupra lui ar actiona forta exterioara rezultanta , deci fortele interioare nu au nici o influenta asupra miscarii centrului de masa'. Marimile din relatia sunt: forta exterioara rezultanta, M masa sistemului de puncte materiale, viteza centrului de masa, impulsul sistemului. Deci putem examina un sistem de puncte materiale daca cunoastem:

a)      vectorul de pozitie al centrului de masa ;

b)      viteza centrului de masa ;

c)      forta exterioara rezultanta care actioneaza asupra sistemului .

Cunoscand toate acestea putem enunta primele doua legi ale dinamicii pentru sistemele de puncte materiale, cu precizarea ca legile a treia si a patra raman aceleasi ca si pentru punctul material.

Prima lege. Daca asupra unui sistem puncte materiale nu actioneaza forte exterioare, centrul de masa al sistemului are o miscare rectilinie si uniforma sau este in repaus. In studiul unui sistem de puncte materiale este util, uneori, sa se foloseasca un reper cu originea in centrul de masa, cunoscut sub denumirea sistemul centrului de masa, in acest caz facandu-se abstractie de deplasarea rectilinie si uniforma de ansamblu.

Legea a doua. Derivata in raport cu timpul a impulsului total al sistemului este egala cu rezultanta fortelor exterioare care actioneaza asupra sistemului de puncte materiale. Ca o consecinta a acestei legi rezulta si legea conservarii impulsului unui sistem de puncte materiale: 'Daca rezultanta fortelor exterioare care actioneaza asupra unui sistem de puncte materiale este egala cu zero, impulsul total al sistemului ramane constant in timp'. Conform acestui principiu, variatia a impulsului unei particule dintr-un sistem izolat este egala cu variatia cu semn schimbat a impulsului rezultant al restului sistemului, in acelasi interval de timp.

.

Daca un sistem de particule, S, nu este izolat ci se gaseste in interactiune cu un alt sistem, S' considerand ca S + S' formeaza un sistem izolat, rezulta:

.

In cazul unui sistem format din doua puncte materiale rezulta

.