Undele in medii elastice

Unde mecanice

Propagarea undelor apare aproape in toate domeniile fizicii. Suntem cu totii familiarizati cu undele pe apa. Exista de asemenea unde sonore, precum si unde luminoase, unde radio sau unde electromagnetice.

Undele mecanice isi au originea in deplasarea unei anumite portiuni dintr-un mediu elastic de la pozitia sa normala,ducand la oscilatii in jurul pozitiei de echilibru. Datorita proprietatilor elastice ale mediului, perturbatia se transmite de la un strat vecin. Aceasta perturbatie sau unda se propaga deci prin mediu. Observam ca mediul insusi nu se misca ca un intreg odata cu propagare undei; diferitele portiuni ale mediului oscileaza doar pe distante limitate. De exemplu in cazul undelor pe apa,mici obiecte care plutesc cum ar fi dopurile de pluta, arata ca miscarea reala a diferitelor portiuni de apa este usor in sus sau in jos,inainte si inapoi. Cu toate aceste undele de apa se misca progresiv de-a lungul apei. Atunci cand ele ating obiecte care plutesc le pun in miscare,transferand astfel energie acestora. Energia poate fi transmisa pe distante considerabile prin intermediul miscarii ondulatorii. Energia undelor este energia cinetica si potentiala a substantei insa transmiterea energiei se face prin trecerea ei de la o portiune de substanta la cea vecina,nu printr-o miscare la distanta mare a substantei insasi.

Undele mecanice sunt caracterizate prin transportul de energie prin substanta datorita miscarii unei perturbatii in acea substanta fara vreo miscare de ansamblu a substantei insasi.

Este necesara existenta unui mediu material pentru a transmite undele mecanice. Nu avem insa nevoie de un astfel de mediu pentru a transmite undele electromagnetice,lumina de exemplu trece liber prin spatiul vid dintre stele. Proprietatile mediului care determina viteza unei unde prin acel mediu sunt inertia si elasticitatea sa. Toate mediile materiale, inclusiv de exemplu, apa, aerul sau otelul poseda aceste proprietati si pot transmite astfel de unde mecanice. Elasticitatea este cea care da nastere la forte de restabilire asupra oricarei portiuni de mediu deplasata din pozitia sa de echilibru;inertia este aceea care ne spune cum aceasta portiune deplasata de mediu va raspunde la aceste forte de reestabilire. Acesti doi factori determina impreuna viteza undelor.     

Tipuri de unde

Putem distinge mai multe tipuri de unde ,considerand modul in care miscarile particulelor de substanta sunt corelate cu directia de propagare a undelor insesi. Daca miscarle particulelor materiale care transmit unda sunt perpendiculare pe directia de propagare a undei avem o unda transversala. De exemplu , cand o coarda verticala sub tensiune este pusa sa oscileze inainte si inapoi la un capat, se va propaga o unda transversala de-a lungul corzii.Perturbatia se misca de-a lungul corzii insa particulele corzii vibreaza perpendicular pe directia de propagare a perturbatiei.

Undele de lumina nu sunt unde mecanice. Perturbatia care se propaga nu este o miscare de substana ci un camp electromagnetic .Dar deoarece campurile magnetic si electric sunt perpendiculare pe directia de propagare, undele de lumina sunt si ele unde transversale.

Daca insa miscarea particulelor care transporta o unda mecanica are loc inainte si inapoi de-a lungul directiei de propagare, avem atunci o unda longitudinala.De exemplu, daca un resort vertical sub tensiune este pus sa oscileze in sus si in jos la un capat, se va propaga o unda longitudinala de-a lungul resortului. Spirele vor vibra inainte si inapoi in directia in care se propaga perturbatia de-a lungul corzii.

Unele unde nu sunt nici pur longitudinale nici pur transversale.De exemplu in cazul undelor pe suprafata apei particulele de apa se misca atat in sus si in jos, cat si inainte si inapoi, descriind traiectorii eliptice, atunci cand se propaga undele pe apa.

Undele pot fi clasificate de asemenea in unde uni-, bi-, si tridimensionale, dupa numarul de dimensiuni in care ele propaga energia.

v

v

v

Fig1. Intr-o unda transversala particulele mediului(corzii) vibreaza perpendicular pe directia in care unda se propaga.

Undele care se misca de-a lungul corzii sau resortului ca in figura sunt unidimensionale. Undele de suprafata sau ondulatiile de pe apa, produse prin caderea unui obiect sunt unde bidimensionale. Undele sonore sau undele luminoase care sunt emise radial de la o mica sursa sunt tridimensionale.

Undele pot fi clasificate mai departe dupa comportarea unei particule de substanta care transporta unda in timpul propagarii undei. De exemplu putem produce o perturbatie sau o unda singulara care sa se propage pe o sfoara intinsa ,aplicand o singura deplasare lateral la capatul ei. Fiecare particula ramane in repaus pana o atinge perturbatia. Apoi se misca un timp scurt si in sfarsit ramane iarasi in repaus. Daca continuam sa miscam capatul sforii inainte si inapoi se produce un tren de unde care se propaga de-a lungul sforii. Daca miscarea noastra este periodica atunci vom produce un tren periodic de unde in care fiecare particula a sforii are o miscare periodica. Cel mai simplu caz particular al unei unde periodice este o unda armonica simpla care pune fiecare particula intr-o miscare armonica simpla.

Sa consideram o perturbatie tridimensionala. Putem duce o suprafata prin toate punctele care sufera o aceeasi perturbatie la un moment dat. Apoi se pot trasa suprafete analoage pentru perturbatiile urmatoare. Pentru o unda periodica putem generaliza ideea trasand suprafete ale caror puncte se afla in aceeasi faza a miscarii. Aceste suprafete se cheama fronturi de unda. Daca mediul este omogen si izotrop, directia de propagare este intotdeuna perpendiculara pe frontul de unda. O linie perpendiculara pe fronturile de unda , care indica directia de propagare a undelor se numeste raza.

Fronturile de unda pot avea mai multe forme. Daca perturbatiile se propaga intr-o singura directie undele se numesc unde plane.

Un alt caz simplu este cel al undelor sferice.Aici perturbatia se propaga in toate directiile de la o sursa puntiforma de unde.Fronturile dse unda sunt sfere,iar razele sunt linii radiale care pleaca din sursa punctiforma in toate directiile.Departe de sursa,fronturile de unda sferice au o curbura foarte mica si pe o regiune limitata ele pot fi adesea privite ca plane.

Principiul suprapunerii

Este un fapt experimental ca pentru multe tipuri de unde,doua sau mai multe unde se pot propaga prin acelasi spatiu,indepent una de alta.Faptul ca undele actioneaza independent una de alta inseamna ca elongatia unei particule la un moment dat,este pur si simplu rezultanta elongatiilor pe care le-ar produce fiecare unda individuala.Acest proces de compunere vectoriala a elongatiilor unei particule se cheama suprapunere(superpozitie)de exemplu undele radio de diferite frecvente trec prin antena de radio;curentii electrici produsi in antena,prin actiunea suprapusa a tuturor acestor unde sunt foarte complecsi.Cu toate acestea noi putem totusi ascula o anumita statie,semnalul pe care il receptionam de la aceasta statie fiind in principiu,acelasi ca cel pe care l-am receptiona,daca toate celelalte statii ar inceta emisia.Analog,intr-un sunet putem asculta notele emise de instrumentele individuale dintr-o orchestra,desi unda sonora care ajunge la urechile noastre de la intreaga orchestra este foarte complexa.

Pentru undele din medii deormabile principiul suprapunerii(superpozitiei) este valabil ori de cate ori relatia matematica dintre deformatie si forta elastica este o simpla proportionalitate. O astfel de relatie este exprimata matematic printr-o ecuatie liniara. Pentru undele electromagnetice principiul suprapunerii este valabil din cauza ca relatiile matematice dintre campul electric si cel magnetic sunt liniare.

Importanta principiului suprapunerii din punct de vedere fizic este aceeaq ca, acolo unde este valabil, el face posibil sa analizam o miscare ondulatorie complicata ca o combinatie de unde simple. In adevar, dupa cum a aratat matematicianul francez J. Fourier (1768-1830) tot ceea ce este necesar pentru a construi cea mai generala forma a unei unde periodice sunt undele armonice. Fourier a aratat ca orice miscare periodica a unei particule poate fi reprezentata ca o combinatie a miscarilor armonice simple. De exemplu daca y(t) reprezinta miscarea unei surse de unde avand o perioada T , putem descompune pe y(t) dupa cum urmeaza:

Y(t)=A₀+A₁sin wt+A₂sin 2wt+A₃sin 3wt+...+B₁coswt+B₂cos 2wt+B₃cos 3wt+...

Unde w p/T. Aceasta expresie se cheama serie Fourier . Coeficientii A si B sunt constante care au valori bine definite pentru orice miscare periodica particulara y(t).Daca miscarea nu este periodica, cum este o perturbatie, suma se inlocuieste cu o integrala, asa numita integrala Fourier. Prin urmare orice miscare a unei surse de unde poate fi reprezentata cu ajutorul miscarii armonice simple. Deoarece miscarea sursei genereaza undele, nu este o surpriza ca undele insasi pot fi analizate ca fiind combinatii de unde armonice simple. In aceasta consta importanta miscarii armonice simple si a undelor armonice simple.

Interferenta undelor

Interferenta se refera la efectele fizice ale suprapunerii a doua sau mai multe trenuri de unde.Sa considera doua unde de frecvente si amplitudini egale care se propaga cu aceeasi viteza pe aceeasi directie (+x) dar cu o diferenta de faza j intre ele.

Ecuatiile celor doua unde vor fi:

Y₁=y_m sin(Kx-wt-j ) si

Y₂= y_m sin(Kx-wt)

Putem retranscrie prima ecuatie sub doua forme echivalente:

Y₁=y_m sin[k(x-j/k)-wt] sau

Y₁=y_m sin[xk-w(t+j w

Ecuatiile ne sugereaza faptul ca daca luam un "instantaneu" al celor doua unde la un moment t, le vom gasi deplasate una fata de alta de-a lungul axei x cu o distanta constanta j/k. Ecuatiile ne sugereaza faptul ca daca ne-am aseza in orice punct x, cele doua unde vor da nastere la doua miscari armonice simple avand o diferenta de timp constanta j w

Aceasta ne da o privire asupra semnificatiei diferentei de faza j

Sa gasim acum unda rezultanta care in ipoteza ca se produce suprapunerea este egala cu suma ecuatiilor sau y=y₁+y₂= y_m sin(Kx-wt-j )+ sin(Kx-wt).

Din formula trigonometrica pentru suma sinusurilor a doua unghiuri

SinB+sinC= 2 sin (B+C)/2cos (C-B)/2 obtinem

Y=y_m [2 sin (kx-wt-j/2) cosj

Y=(2 y_m cosj/2) sin(kx-wt-j

Unda rezultanta corespunde unei noi unde avand aceeasi frecventa dar cu amplitudine 2y_mcos j/2. Daca j este foarte mic (in comparatie cu 180⁰), amplitudinea rezultanta va fi apropiata de 2y_m.Adica daca j este foarte mic, cos j/2 este cos 0=1.Daca j este 0, cele doua unde au peste tot aceeasi faza.Creasta unei unde corespunde cu creasta celeilalte si analog pentru vai. Se spune atunci ca undele interfera constructiv. Amplitudinea rezultanta este egala cu dublul amplitudinii unei singure unde. Daca j este apropiat de 180⁰, pe de alta parte, amplitudinea rezultanta va fi aproape 0.Adica pentru j 180⁰ cos j cos 90⁰=0. Daca j este exact 180⁰ creasta unei unde corespunde exact vaii celeilalte. Se spune atunci ca undele interfera distructiv.

In practica, efectele de interferenta se obtin cu trenuri de unde care sunt generate de aceeasi sursa(sau de surse care au o diferenta de faza fixa intre ele) dar care parcurg drumuri diferite pana la punctul de interferenta. Diferenta de faza j dintre undele care ajung intr-un punct poate fi calculata afland diferenta dintre drumurile parcurse de ele de la sursa pana la punctul de interferenta. Diferenta de drum este j/k sau ( j p l.Daca diferenta de drum este 0, l l l etc. ,astfel incat j p p etc. cele doua unde interfera constructiv.Pentru diferente de drum de 1/2 l l l j p p p si undele interfera distructiv.

Unde stationare

Undele transversale (particulele mediului oscileaza perpendicular pe directia de propagere) sunt posibile numai in mediile solide elastice. In cazul corzilor (fire elastice cu sectiune constanta) viteza frontului de unda in coarda supusa unei tensiuni mecanice T si avind o densitate liniara m = m/L este:

v = (T/m

In coarda se propaga in sens direct unde progresive, iar in sens invers unde regresive. Pentru oscilatii armonice, functiile de unda care descriu propagarea undei progresive si a undei regresive sunt:

f₁(t-x/v) = Asin [w (t-x/v)] = Asin(w t-kx)

f₂(t+x/v) = Asin [w (t+x/v)+p ] = Asin(w t+kx+p

unde k=w /v=2p l este numarul de unda. Interferenta acestor unde va da nastere in coarda unor unde numite unde stationare descrise de ecuatia:

F=f₁+f₂ =2Acos(kx+p /2)sin(w t+p /2) =2Asin(kx)cos(w t) (3)

Aceasta ecuatie reprezinta ecuatia undelor stationare sau a modurilor de vibratie intr-o coarda. Conform acestei ecuatii fiecare punct al mediului executa o oscilatie de amplitudine constanta in timp, dar distribuita in spatiu dupa relatia A(x) = 2Asin(kx). Valorile minime ale amplitudinii se obtin in anumite puncte numite noduri, care satisfac conditia:

A(x)=0, adica kx = np

de unde se obtine:

x_nod = np /k = np p l ] = nl /2 n = 1,2,3,. (4)

Valorile de amplitudine maxima, numite ventre, satisfac conditia:

A(x)= 2A, adica kx=(2n+1)p

sau x_ventru = (2n+1) l /4 n = 1,2,3,. (5)

Energia undelor stationare ramine localizata, neputindu-se transmite, teoretic, prin noduri.

La capete, deoarece coarda este fixa, vor exista noduri, iar lungimea corzii si lungimea de unda l vor fi legate prin relatia de discretizare (cuantificare) a luiTaylor:

L = nl_n l_n=2L/n n = 1,2,3,. (6)

Figura 1. Moduri de vibratie intr-o coarda de lungime L.

Tinind cont de viteza undelor transmise prin coarda, rezulta ca undele stationare, sau modurile de vibratie ale corzii, pot avea numai anumite frecvente, cuantificate prin relatia:

n_n = v/l_n = (n/2L)(T/m )^1/2 n = 1,2,3,. (7)

Pentru n=1 se obtine frecventa fundamentala, n , careia ii corespunde modul fundamental de vibratie (armonica fundamentala) iar pentru celelalte valori ale lui n se obtin armonicele superioare. Frecventele pentru care coarda vibreaza in regim stationar alcatuiesc un spectru discret de valori proprii de vibratie al corzii, sau rezonantele. Acestea impreuna formeaza modurile de vibratie ale corzii si sunt ilustrate in figura 1.

Unde complexe

Undele pe care le-am considerat pana acum au fost de tip armonic simplu, in care elongatiile in fiecare moment sunt reprezentate de o curba sinusoidala. Am observat ca suprapunerea unui numar de astfel de unde, avand aceeasi frecventa si viteza, dar amplitudini si faze arbitrare rezulta din nou o unda e acest tip simplu.

Daca insa suprapunem unde care au frecvente diferite unda rezultanta a fi complexa.

Intr-o unda complexa miscarea unei particule nu mai este o miscare armonica simpla si forma undei nu mai este o curba sinusoidala.

In figurile alaturate se compun doua unde avand aceeasi amplitudine dar avand frecvente in raportul 3:1 , diferenta de faza variaza de la a la b si vedem cum variatia diferentei de faza poate da o rezultanta de diferite forme. Daca acestea sunt une sonore, timpanul urechii noastre va vibra in modul reprezentat de rezultanta din fiecare caz, dar noi vom auzi si interpreta acestea ca cele doua frecvente initial, indiferent de diferenta lor de faza. Daca undele rezultante reprezinta lumina vizibila ochii nostri vor avea aceeasi senzatie a unui amestec de doua culori indiferent de diferenta de faza a componentelor.

Osciloscopul cu raze catodice ne ofera cea mai simpla cale de a observa cum pot fi sintetizate si analizate undele complexe intermenii undelor armonice simple.

Fig2.Compunerea a doua unde ale caror frecvente se afla in raportul 3:1(liniile subtiri) da nastere la o unda a carei forma (linia groasa) depinde de diferenta de faza a componentelor.

Fig3.Compunerea(linia groasa) a doua unde de frecvente mult diferite(liniile subtiri).

Fig4.Compunerea a doua unde de frecvente aproape egale.

Bibliografie

"Fizica"-David Halliday,Robert Resnick

Internet