Vibratii fortate - Vibratii fortate ale unui sistem neamortizat, Vibratii fortate ale unui sistem amortizat

Vibratii fortate

Un sistem alcatuit dintr-un corp legat elastic de un suport fix oscileaza liber daca este scos din starea de echilibru stabil prin aplicarea unui impuls sau prin deplasarea corpului si eliberarea lui.

Daca nu exista forte de frecare, oscilatia dureaza un timp nelimitat, iar pulsatia cu care corpul oscileaza este egala cu pulsatia proprie, calculata īn functie de masa corpului si rigiditatea legaturii lui elastice. In prezenta unui amortizor, amplitudinea miscarii oscilatorii se reduce treptat la zero.

Daca asupra aceluiasi sistem actioneaza permanent o forta de tip armonic, corpul va oscila ca urmare a prezentei fortei, dar pulsatia oscilatiei este impusa, īn cele din urma, de forta perturbatoare. Acest tip de actiune exterioara se numeste excitatie periodica. In tehnica es se īntālneste foarte frecvent, cel mai adesea datorita faptului ca piesele īn miscare de rotatie nu sunt echilibrate (centrul de rotatie nu coincide cu centrul de masa al corpului), sau oscilatiile sasiului se propaga la corpurile sprijite pe acesta. Alte dispozitive sunt construite tocmai cu scopul de a genera vibratii fortate, cum ar fi excitatoarele de vibratii.

Este posibil ca fortele periodice exterioare aplicate sistemului sa nu fie de tip armonic. Dar chiar si īn acest caz, deoarece sunt, totusi, periodice, ele pot fi scrise ca o suma de componente armonice, folosind algoritmii analizei Fourier.

In continuare se va studia miscarea corpurilor legate elastic, atunci cānd asupra lor actioneaza o forta exterioara de tip armonic.

1 Vibratii fortate ale unui sistem neamortizat

Modelul sistemului neamortizat, cu un grad de libertate, care este mentinut īn stare de vibratie ca urmare a actiunii fortei armonice exterioare F_o sin ωt, se poate vedea īn figura 2.29. Corpul de masa m este solicitat de forta armonica si de forta elastica din resort. Ecuatia de echilibru dinamic, ce reiese dupa izolarea corpului, este de forma :

,

care se rescrie astfel:

Dupa impartirea termenilor ecuatiei la valoarea m, se obtine:

Pulsatia proprie a sistemului este . Se noteaza pentru a reformula ecuatia:

Solutia generala a ecuatiei neomogene cu coeficienti constanti este suma dintre solutia generala a ecuatiei omogene, ,

si solutia particulara de forma Dupa impunerea ca aceasta solutie sa verifice ecuatia miscarii, se obtine :

.

Cu acestea, pozitia instantanee a corpului care oscileaza este descrisa de relatia:

.

Determinarea constantelor A si B se poate face daca se impun pozitia si viteza la momentul initial:

          

Constantele se evalueaza, ele fiind:

si

Ecuatia miscarii se scrie:

Forma analitica a legii miscarii corpului de masa m sub actiunea fortei armonice perturbatoare evidentiaza existenta a doua pulsatii care guverneaza aceasta miscare, ω_o si ω. Prima este vibratia proprie, determinata de caracteristicile intrinseci ale sistemului masa-arc, iar a doua vibratie este impusa prin excitatia exterioara. Prin urmare, corpul nu mai executa o oscilatie armonica. Evolutia īn timp a pozitiei corpului care vibreaza, pentru un set de valori ale termenilor ecuatiei (..), poate fi urmarita īn figura 2.30. Se poate constata ca exista o curba īnfasuratoare a graficului, de tip armonic. Miscarea īn ansamblu este periodica, dar nu armonica.

Termenul din ecuatia de miscare, determinat de actiunea fortei perturbatoare, este:

.

In functie de relatia de ordine dintre cele doua pulsatii, ω_o si ω, se pot distinge trei modalitati de oscilatie, dupa cum urmeaza:

Cazul I. ω < ω_o

Expresia termenului este (), deci miscarea este īn faza cu forta perturbatoare.

Cazul II. ω > ω_o

Numitorul expresiei devine negativ, astfel ca:

,

īn timp ce forta perturbatoare variaza armonic conform relatiei. Se constata ca si sunt defazate cu unghiul π, care corespunde unei miscari īn opozitie de faza a corpului relativ la excitatie.

Cazul II. ω = ω_o

In situatia īn care excitatia exterioara are pulsatia egala cu pulsatia proprie a sistemului oscilant masa – resort, se manifesta fenomenul de rezonanta. Termenul are numitorul egal cu zero, ceea ce implica efectuarea unei operatii imposibile din punct de vedere matematic. Aceasta semnifica, sub aspect fizic, inexistenta unei miscari. In realitate, o coincidenta perfecta īntre cele doua valori, ω_o si ω, nu este posibila. Dar ele pot fi foarte apropiate, caz īn care,

Se aplica regula lui L’Hospital limitei din expresia anterioara, care se include īn cazul de nedeterminare , si se obtine:

In expresia legii de miscare a corpului, , exista trei termeni armonici multiplicati cu coeficienti constanti care caracterizeaza o oscilatie cu pulsatia unica ω_o si amplitudine finita. Un al patrulea termen armonic, egal cu , are coeficientul proportional cu timpul. Amplitudinea oscilatiei determinate de acesta creste liniar īn timp, determinānd o crestere extrem de accentuata a amplitudinii de oscilatie a corpului, īn cursul oscilatiei. Teoretic, procesul de expansiune al amplitudinii vibratiei dureaza la infinit. Limitarea fenomenului este data de incapacitatea resortului real de a se deforma elastic īntr-un domeniu oricāt de amplu. Conform curbei de īncarcare a arcului, la depasirea unei anumite valori a deformatiei, materialul arcului nu va suporta tensiunile mecanice care iau nastere īn interiorul lui si arcul se va rupe.

O reprezentare grafica a evolutiei īn timp a unei astfel de oscilatii a fost realizata īn figura 2.31, pentru un set oarecare de valori ale constantelor ce intervin īn ecuatia miscarii, īn regim de rezonanta. Se poate constata ca, dupa o scurta evolutie descendenta a curbei īnfasuratoare a graficului, nereprezentata, dar usor de imaginat, amplitudinea creste rapid, īn timp.

Sistemele reale nu cunosc o astfel de evolutie, unul dintre motive fiind prezentat anterior, legat de rezistenta mecanica limitata a materialului arcului supus la deformatii din ce īn ce mai mari. Un al doilea fapt care intervine īntr-un sistem real este forta de frecare din materialul arcului, care este, īnsa de natura histeretica. Daca sistemul masa-arc este prevazut suplimentar cu un amortizor vāscos, comportarea vibratorie a sistemului elastic se modifica, dupa cum se va vedea īn paragraful urmator.

1 Vibratii fortate ale unui sistem amortizat

Modelul sistemului amortizat, avānd un grad de libertate, acela de miscare de translatie, sau cu miscare de rotatie, este constituit dintr-un corp de masa m legat elastic de un suport fix. Corpul este mentinut īn stare de vibratie ca urmare a actiunii fortei armonice exterioare de pulsatie ω, notata F_o sin ωt, dupa cum se poate vedea īn figura 2.32. Corpul de masa m este solicitat de forta armonica, de forta elastica din resort si de forta de frecare vāscoasa din amortizor. Ecuatia de echilibru dinamic, ce se poate scrie dupa izolarea corpului, este de forma :

,

care se rescrie astfel:

Dupa impartirea termenilor ecuatiei la valoarea m, se obtine:

Pulsatia proprie a sistemului este . Se fac urmatoarele notatii, si , pentru a reformula ecuatia:

Solutia generala a ecuatiei neomogene cu coeficienti constanti este suma dintre solutia generala a ecuatiei omogene, ,a carei expresie este ,

si solutia particulara de forma x_p, adica,

Datorita amortizarii, vibratia indusa prin prezenta termenului omogen este amortizata rapid de sistem, dupa cum s-a vazut la paragraful 2.2.1. De aceea, termenul omogen se spune ca poate caracteriza numai asa-numitul regin tranzitoriu. Singurul termen al solutiei ecuatiei de echilibru care descrie miscarea corpului la momente de timp din afara domeniului tranzitoriu este solutia particulara. Ea se presupune a fi de forma :

deoarece ea reprezinta o miscare armonica simpla cu pulsatia ω egala cu cea a fortei excitatoare, iar miscarea survine la un moment ulterior aplicarii acestei forte exterioare, fapt exprimat prin defazajul negativ (-φ Se impune ca aceasta solutie sa verifice ecuatia miscarii. Expresiile vitezei instantanee,

,

si a acceleratiei instantanee,

,

se introduc īn ecuatia de miscare. Se obtine:

Termenii egalitatii sunt vectori orientati īn felul urmator, relativ la vectorul care descrie comportarea elastica, :

• primul termen este un vector defazat cu 180^o,
• al doilea termen este un vector defazat cu 90^o,
• termenul din membrul drept este un vector defazat īnainte cu unghiul φ.

Reprezentarea acestor vectori īntr-un sistem de axe ortogonale se poate analiza īn figura 2.33.

In conformitate cu reprezentarea vectoriala din figura 2.33, se poate scrie:

ceea ce este echivalent cu:

Defazajul φ rezulta din aceeasi reprezentare vectoriala:

Cu aceste consideratii, se poate scrie ecuatia miscarii corpului de masa m īn regim stationar:

,

unde .

Daca se face notatia deja cunoscuta, , expresia legii miscarii īn regim stationar va fi:

Daca se tine cont si de termenul care descrie oscilatia īn regimul tranzitoriu, legea de miscare a corpului care oscileaza fortat, īn cazul prezentei unei amortizari este:

O reprezentare grafica a evolutiei īn timp a unei astfel de oscilatii a fost realizata īn figura 2.34. Curba cu linie continua corespunde miscarii combinate a corpului sub actiunea fortei exterioare, a carei pulsatie difera de pulsatia proprie a sistemului corp-element elastic. Curba trasata cu linie īntrerupta prezinta evolutia acelei componente a raspunsului sistemului amortizat, termenul solutie a ecuatiei onogene, care se manifesta doar pe durata regimului tranzitoriu. In cazul considerat, durata acestui regim este de circa 1,2 s.

Dupa ce s-a scurs intervalul de timp al regimului tranzitoriu, se poate spune ca oscilatia este descrisa numai de expresia:

,

unde prin A s-a notat amplitudinea constanta a oscilatiei caracteristica regimului stationar,

Valoarea amplitudinii A se modifica atunci cānd pulsatia fortei excitatoare ω_o variaza crescator de la zero. Pentru a putea studia o valoare adimensionala care are o evolutie similara, se introduce deformatia statica A_s a resortului de rigiditate k, sub actiunea unei forte egale cu valoarea amplitudinii fortei excitatoare, F_o.

Prin urmare, se introduce raportul adimensional al marimilor A si A_s:

Graficul finctiei

, 

a fost trasat īn figura 2.35. Acest grafic va fi explicat īn cele ce urmeaza.

In sistemele mecanice reale, pulsatia sistemului excitator nu creste brusc de la valoarea zero la valoarea de regim ω deoarece aceasta crestere instantanee ar echivala cu existenta unor acceleratii liniare sau unghiulare infinite. Daca excitatia are, īn regim normal de lucru, pulsatia egala cu pulsatia proprie a sistemului oscilant, ω_o atingerea acestei valori a pulsatiei excitatoare se face treptat. Pe masura ce ω tinde spre ω_o, amplitudinea oscilatiei ia valori din ce īn ce mai mari, limitate doar ca urmare a existentei la numitor al termenului nenul introdus de coeficientul de frecare al dispozitivului amortizor cu frecare vāscoasa. In absenta amortizorului, raportul adimensional al amplitudinilor tinde spre infinit, dupa cum arata curba corespunzatoare lui δ = 0, ceea ce echivaleaza cu distrugerea sistemului oscilant. In aplicatiile practice curente, este de dorit sa se evide amplificarea oscilatiei, pentru a creste fiabilitatea dispozitivului solicitat de excitatia armonica fortata. De aceea, se evita amplasarea regimului de lucru al pulsatiei excitatoare īn domeniul īnvecinat, la stānga sau la dreapta, pulsatiei proprii ω_o.

Proiectarea unui sistem mecatronic impune cunoasterea īnca din faza de concept a pulsatiilor proprii ale sistemului elastic pentru a evita amplasarea regimului de lucru īn vecinatatea acestora.

1 Vibratiile fortate induse de forta centrifuga unui sistem amortizat

Piesele īn miscare de rotatie neechilibrate dinamic genereaza o forta centrifuga de inertie, care actioneaza ca forta excitatoare īn sistemele mecanice. Forta centrifuga este de tip armonic si are valoarea maxima proportionala cu patratul vitezei unghiulare, care corespunde pulsatiei excitatoare:

,

unde m_r este masa piesei rotitoare, iar e este valoarea excentricitatii axei de rotatie fata de axa de simetrie a corpului rotiror.

Amplitudinea oscilatiei induse de forta centrifuga se determina cu ajutorul relatiei (),

Privind expresia (.) ca o functie de variabila , putem afla la ce valoare a raportului pulsatiilor, valoarea amplitudinii atinge maximul, prin rezolvarea ecuatiei :

Interpretarea acestui rezultat permite īntelegerea faptului ca amplitudinea de oscilatie are un vārf situat la pulsatii mai mari ca pulsatie proprie, , iar vārful de amplitudine se īndeparteaza de ω_o spre dreapta, pe masura ce amortizarea creste. Graficele trasate īn figura 2.36 arata ca expresia raportului adimensionl al amplitudinilor tinde catre valoarea 1, atunci cānd raportul pulsatiilor tinde la valori mult mai mari ca 1. Acest fapt se poate interpreta astfel: la cresterea turatiei de lucru a unui element rotitor neechilibrat dinamicpeste frecventa de rezonanta, amplitudinea oscilatiilor se reduce treptat, tinzānd spre valoarea dezechilibrarii statice.

Cu cāt amortizarea vāscoasa este mai mare, cu atāt aceasta comportare este atinsa la pulsatii mai mici, care corespund unor turatii mai mici de lucru. Acest lucru este foarte important īn practica, daca se doreste reducerea vibtratiilor unui sistem. De exemplu, cresterea amortizarii nu modifica semnificativ comportarea sistemului, daca frecventa de excitatie nu este situata īn vecinatatea rezonantei.

Inainte de a incerca reducerea nivelului de vibratie īntr-un dispozitiv mecatronic sau orice alta structura, trebuie luate masuri pentru diminuarea vibratiei excitatoare la sursa acesteia. Este evident ca numte dispozitive sau procese genereaza forte perturbatoare de un tip sau altul, dar frecventa fortei perturbatoare nu trebuie sa fie egala cu frecventa proprie, nici sa se situeze īn vecinatatea precventei proprii. In caz contrar apare fenomenul de rezonanta, īn urma caruia se vor manifesta amplitudini mari de vibratie si tensiuni mecanice de tip dinamic, īnsotite de zgomot si fenomene asociate de oboseala a materialelor.