ALGEBRA

ALGEBRA

Numere reale

Formule de calcul prescurtat Fie , atunci avem:

    

    

    

    

    

    

Modulul unui numar real Fie , de numeste modulul lui (si se noteaza ), numarul real

Proprietati

     ,

    

    

     ,

     , ,

     ,

     ,

     ,

     ,

Fie , se numeste partea intreaga a lui (si se noteaza ), cel mai mare numar intreg mai mic sau egal cu , se numeste partea fractionara a lui (si se noteaza ) numarul .

Proprietati:

     ,

     ,

     ,

     , ,

     ,

     , ,

Radicali, puteri cu exponent rational

Fie si un numar natural par. Se numeste radical de ordinul din (se noteza , un numar cu proprietatea ca . Fie si un numar natural impar. Se numeste radical de ordinul din (se noteza , un numar cu proprietatea ca .

Observatie. Daca in exercitii (ecuatii sau inecuatii) intalnim expresii de forma (radical de ordin par) se impune conditia de existenta a radicalului: . Daca avem radicali de ordin impar, pentru acestia nu se impun conditii de existenta.

Proprietati Fie , si . Atunci avem:

     , daca este par

     , daca este impar

    

    

    

    

     Transformarea radicalilor compusi in radicali simpli :

, unde .

Fie si , atunci .

Proprietati Fie si , atunci:avem

    

    

    

    

    

    

Inegalitati remarcabile

     Inegalitatea mediilor Fie si , notam: , , , avem: cu egalitate pentru .

Observatie. In cazul pentru , avem: .

     Inegalitatea lui Bernoulli Fie si , atunci .

Multimi

Fie o mutime si doua submultimi ale lui .

     Complementara multii este multimea

     Intersectia multimilor si este multimea

     Reuniunea multimilor si este multimea

     Diferenta multimilor si este multimea

     Produsul cartezian al multimilor si este multimea

Se numeste cardinanlul unei multimi (si se noteaza sau ), numarul elementelor multimii . Avem:

    

    

Metoda inductiei matematice

Fie o propozitie care depinde de numarul . Daca avem:

1. este adevarata;
2. arbitrar fixat avem adevarata adevarata,

atunci este adevarata .

Progresii aritmetice si geometrice

Se numeste progresie aritmetica un sir in care fiecare termen, mai putin primul, se obtine din precedentul adunat cu un numar constant numit ratie.

Notatie:

Proprietati

     , ; constant, ;

     Formula termenului general : , ;

     (proprietatea care caracterizeaza progresiile aritmetice), , , ;

     , ;

     , ;

     , .

Se numeste progresie geometrica un sir in care fiecare termen, mai putin primul, se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant nenul , numit ratie.

Notatie:

Proprietati

     , ; constant, ;

     Formula termenului general : , ;

     (proprietatea care caracterizeaza progresiile geometrice) , iar daca sirul are termeni pozitivi, avem:,,, ;

     , ;

     , ;

     .

Functii

Fie si doua multimi nevide. Spunem ca am definit o functie pe multimea cu valori in multimea , daca printr-un procedeu oarecare facem ca fiecarui element sa-i corespunda un singur element . (O functie definita pe cu valori in se noteaza , se numeste domeniul de definitie, iar se numeste codomeniul).

Functia , definita prin , , se numeste aplicatia identica a multimii .

Fie , doua functii. Spunem ca functiile sunt egale (si scriem ) daca :

1.      (au acelasi domeniu de definitie) ;

2.      (au acelasi codomeniu) ;

3.      (functiile coincid in fiecare punct din domeniu).

Operatii cu functii Fie o multime nevida si doua functii, atunci:

     , , se numeste functia suma a lui si .

     , , se numeste functia produs a lui si .

     Daca , , atunci , , se numeste functia cat a lui si .

     Fie si doua functii. Functia definita prin , , se numeste compusa lui cu .

Fie o functie

     Se numeste numerica daca .

     Se numeste imaginea functiei multimea notata si egala cu .

     Se numeste graficul functiei multimea .

     Se numeste injectiva, daca cu .

     Se numeste surjectiva daca pentru orice , exista un astfel incat .

     Se numeste bijectiva daca este atat injectiva cat si surjectiva.

     Se numeste inversabila daca exista o functie astfel incat si . (Functia din definitie se numeste inversa functiei si se noteaza cu ).

Teorema. O functie este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

Observatie. Pentru a determina intersectia graficului unei functii cu axa , rezolvam ecuatia , iar pentru a determina intersectia graficului functiei cu axa , calculam , daca 0 se gaseste in domeniul de definitie al functiei.

O multime se numeste simetrica in raport cu 0 (zero) daca pentru orice si .

Fie o multime simetrica in raport cu zero. Functia se numeste:

     para daca .

     impara daca .

Observatie. Graficul unei functii pare este simetric fata de axa , iar cel al unei functii impare este simetric in raport cu originea O.

Fie o functie de variabila reala si . Spunem ca functia este:

     strict crescatoare pe daca : ;

     strict descrescatoare pe daca : ;

     crescatoare pe daca : ;

     descrescatoare pe daca : .

Observatie. O functie strict crescatoare pe sau strict descrescatoare pe se numeste functie strict monotona pe . O functie crescatoare pe sau descrescatoare pe se numeste monotona pe . Daca este strict monotona (sau monotona) pe (pe tot domeniul de definitie) spunem simplu ca este strict monotona (sau monotona) fara a mai indica multimea.

O functie monotona pe o multime , ramane monotona pe orice submultime a sa.

Fie functia , unde interval. Se spune ca functia este

     convexa pe , daca si , cu , avem:

.

     concava pe ,daca si , cu , avem :

.

Observatie. 1. Daca este convexa pe , atunci pentru se obtine:

, , iar daca f este concava pe , atunci , .

2. Interpretarea geometrica a concavitatii si convexitatii :

In limbaj trivial spunem despre graficul functiei convexe ca " tine apa " in timp ce graficul functiei concave " nu tine apa ".

Functia de gradul I , , unde , .

     Rezolvarea ecuatiei , unde .

1. Daca , atunci ecuatia admite solutia unica
2. Daca , atunci: - daca , atunci (ecuatia admite o infinitate de solutii)

- daca , atunci (ecuatia nu admite radacini)

     Semnul functiei de gradul I , , unde , :

     Monotonia functiei de gradul I: Daca , atunci este strict crescatoare, iar daca , atunci este strict descrescatoare.

     Graficul: Este o dreapta, pentru reprezentarea grafica sunt necesare 2 puncte distincte.

Functia de gradul II , , unde , .

     Forma canonica: , unde .

     Rezolvarea ecuatiei , unde , . Calculam , distingem cazurile:

     Relatiile lui Viète: , . Mai avem: , , , daca radacinile sunt nenule: .

Observatie. Orice ecuatie de gradul 2 se poate scrie sub forma , unde si reprezinta suma si respectiv produsul radacinilor ecuatiei.

     Descompunerea trinomului , unde , .

     Semnul functiei de gradul II. In functie de valorile lui distingem cazurile:

     Extremul functiei de gradul II. Monotonia functiei de gradul II.

1. Daca atunci functia are un maxim in punctul , valoarea maxima este , functia este strict crescatoare pe si strict descrescatoare pe .
2. Daca atunci functia are un minim in punctul , valoarea minima este , functia este strict descrescatoare pe si strict crescatoare pe .

    Graficul: este o parabola.

Functia exponentiala (de baza ) , , unde , .

     Rezolvarea ecuatiei , unde , , .

1. Daca , atunci ecuatia nu admite solutii, deci .
2. Daca , atunci ecuatia admite solutia unica .

     Semnul functiei exponentiale: (este strict pozitiva), , , .

     Monotonia: Este strict crescatoare (pe ) daca si strict descrescatoare (pe ) daca .

     Graficul functiei exponentiale trece prin punctul , adica , , .

Observatie. Functia exponentiala de baza este bijectiva, deci inversabila, inversa acesteia este functia logaritmica de baza .

Functia logaritmica (de baza ) , , unde , .

Observatie. Daca , atunci se noteaza , daca , atunci se noteaza .

     Rezolvarea ecuatiei ,unde , , . Ecuatia are solutie unica , .

     Semnul functiei logaritmice:

     Monotonia: Este strict crescatoare (pe ) daca si strict descrescatoare (pe ) daca .

Proprietati : Daca , atunci :

     , ; , ; ; ;

     , , ;

     , , ;

     ; , , .

     Graficul functiei exponentiale trece prin punctul , adica , , .

Observatie. In ecuatii sau exercitiile in care apar expresii de forma : se impun conditiile de existenta : .

Elemente de combinatorica

Se numeste multime ordonata, o multime impreuna cu o ordine bine determinata de dispunere a elementelor sale.

Permutari de elemente, notate cu , reprezinta numarul multimilor ordonate formate cu elementele unei multimi cu elemente. Numarul permutarilor de elemente este de

.

Aranjamente de elemente luate cate , notate , reprezinta numarul submultimilor ordonate formate cu elemente din elementele unei multimi cu elemente. Numarul aranjamentelor de luate cate este .

Combinari de elemente luate cate , notate , reprezinta numarul submultimilor cu k elemente ale unei multimi cu elemente. Numarul combinarilor de luate cate este .

Proprietati :

     ;

     ;

     ;

     .

Binomul lui Newton

.

     Formula termenului general : ;

     Formula de recurenta : .

Fie o multime finita cu elemente. Atunci:

     numarul submultimilor lui este ;

     numarul submultimilor nevide ale lui este ;

     numarul submultimilor cu elemente, unde , ale lui este .

Fie , o multime finita cu elemente si o multime cu elemente. Atunci:

     numarul functiilor definite pe cu valori in este ;

     numarul functiilor injective definite pe cu valori in este , daca si 0 in rest;

     numarul functiilor bijective definite pe cu valori in este , daca si 0 in rest.

Probabilitatea unui eveniment

.

Polinoame

Forma algebrica a polinomului in nedeterminata este:

, cu conventia .

     numerele se numesc coeficientii polinomului

     notam cu:

1.        multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi in nedeterminata

2.        multimea polinoamelor cu coeficienti reali in nedeterminata

3.        multimea polinoamelor cu coeficienti rationali in nedeterminata

4.        multimea polinoamelor cu coeficienti intregi in nedeterminata

     se numeste gradul polinomului si se noteaza cel mai mare numar natural cu proprietatea , gradul polinomului nul este prin conventie .

     fie , si . Functia , , se numeste functie polinomiala asociata polinomului .

     daca , atunci numarul se numeste valoarea polinomului in .

     numarul este radacina a polinomului daca .

Fie doua polinoame, , , atunci:

     , , in paticular , .

     ; .

     ; cu egalitate daca .

     se numeste ecuatie algebrica cu o necunoscuta, o ecuatie de forma , unde este un polinom nenul. Gradul polinomului se numeste gradul ecuatiei.

     fie , si . Numarul se numeste radacina multipla de ordinul , daca divide si nu divide .

Observatie. Daca , atunci:

(determinarea termenului liber)

(determinarea sumei coeficientilor)

(determinarea sumei coeficientilor de rang par)

(determinarea sumei coeficientilor de rang impar).

Teorema. (a impartirii cu rest) Fie , . Atunci exista si sunt unice doua polinoame astfel incat cu .

Teorema. (a restului) Fie si . Atunci restul impartirii lui prin este .

Teorema. (a lui Bzout ) Fie , . Numarul este radacina a polinomului divide .

Teorema. Fie , cu , . Daca sunt radacinile lui , atunci .

Teorema. (relatiile lui Viète) Numerele complexe sunt radacinile polinomului , , , daca si numai daca au loc relatiile :

.

Observatie. Particularizam pentru cazurile in care gradul lui va fi 2, 3 sau 4.

1. Daca , , are radacinile , atunci relatiile lui Viète sunt :

.

2. Daca , , are radacinile , atunci relatiile lui Viète sunt :

.

3. Daca , , are radacinile , atunci relatiile lui Viète sunt:

.

Observatie. Daca notam cu prima si respectiv a doua relatie a lui Viète, atunci suma patratelor radacinilor se obtine din .

Teorema. 1. Orice polinom nenul cu coeficienti reali, , daca admite radacina complexa , cu , atunci admite si radacina si cele doua au acelasi ordin de multiplicitate.

2. Orice polinom nenul cu coeficienti rationali, , daca admite radacina , unde , , , atunci admite si radacina si cele doua au acelasi ordin de multiplicitate.

3. Fie un polinom cu coeficienti intregi, de grad . Daca , unde este o radacina a lui , atunci si .

Consecinte. 1. Orice polinom cu coeficienti reali are un numar par de radacini complexe.

2. Orice polinom cu coeficienti reali de grad impar are cel putin o radacina reala.

3. Daca polinomul admite radacina , , , atunci admite si radacinile , , .

4. Daca polinomul admite radacina intreaga , atunci este divizor al termenului liber.

Elemente de algebra liniara

Fie si , . Se numeste matrice de tipul (cu m linii si n coloane) cu elemente din , o functie , .

Observatie. 1. Notam matricele sub forma: .

2. Daca , o matrice de tipul se numeste matrice linie; daca , o matrice de tipul se numeste matrice coloana; daca , o matrice de tipul se numeste matrice patratica de ordinul .

3. Se noteaza cu multimea tuturor matricelor cu m linii si n coloane cu elemente din D. Daca multimea D este finita cu d elemente, atunci numarul tuturor matricelor cu elemente din D este .

4. Doua matrice sunt egale daca sunt de acelasi tip si elementele corespondente sunt egale.

5. Daca este o matrice de tipul , atunci se numeste transpusa matricei , o matrice notata , de tipul , obtinuta din prin trasformarea liniilor in coloane (si a coloanelor in linii).

6. Daca avem doua matrice de tipul si de tipul , atunci are sens produsul si se va obtine o matrice de tipul .

7. Inmultirea matricilor este asociativa.

Proprietati ale determinantilor

1. Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse.

.

2. Daca toate elementele unei linii (sau coloane) sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.

3. Daca o matrice are doua linii (sau doua coloane) identice, atunci determinantul sau este nul.

4. Daca elementele a doua linii (sau doua coloane) ale unei matrice sunt proportionale, atunci determinantul este nul.

5. Daca toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt inmultite cu un scalar , atunci obtinem o matrice al carei determinant este egal cu determinantul matricei initiale inmultit cu .

6. Daca intr-o matrice schimbam doua linii (sau doua coloane) intre ele obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei initiale.

7. Daca la o linie (sau coloana) a matricei adunam elementele altei linii (sau coloane) inmultite cu acelasi scalar, atunci aceasta matrice are acelasi determinant ca si matricea .

8. Daca o linie (sau o coloana) a unei matrice patratice este o combinatie liniara de celelalte linii

(sau coloane), atunci determinantul matricei este nul.

9. Fie este o matrice patratica de ordinul . Presupunem ca elementele liniei sunt de forma . Daca , respectiv , este matricea care se obtine din inlocuind elementele de pe linia cu (respectiv ) , atunci .

.

10. .

11. .

12. Daca este o matrice triunghiulara (sau diagonala), atunci determinantul este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principala.

13. Determinantul produsului a doua matrici este egal cu produsul determinantilor acelor matrici.

.

Consecinta:

Fie o matrice nenula. Spunem ca matricea are rangul si scriem , daca are un minor nenul de ordin si toti minorii de ordin mai mare decat sunt nuli.

Fie o matrice patratica de ordin . Spunem ca este inversabila daca exista o matrice patratica de ordin astfel incat . Inversa matricei , daca exista, se noteaza .

Observatie. O matrice patratica de ordinul n este inversabila daca si numai daca este inversabil, in plus .

Legi de compozitie. Structuri algebrice

Fie o multime nevida. O aplicatie definita pe produsul cartezian cu valori in , , se numeste lege de compozitie.

Fie o multime finita, . In acest caz o lege de compozitie pe , , poate fi data prin ceea ce este cunoscut sub numele de tabla operatiei , care consta dintr-un tabel cu linii si coloane afectate celor elemente ale lui . Tabla legii de compozitie contine la intersectia liniei lui cu coloana lui , elementul .

Fie M o multime pe care este data o lege de compozitie . O submultime nevida a lui cu proprietatea : , se numeste parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie .

O lege de compozitie , , se numeste:

     asociativa, daca : .

     comutativa, daca : .

Un element se numeste element neutru pentru o lege de compozitie , , daca : .

Un element se numeste simetrizabil in raport cu legea de compozitie (asociativa si cu element neutru, fie acesta ) , , daca exista astfel incat : .

O multime nevida se numeste monoid in raport cu o lege de compozitie definita pe , , , daca sunt satisfacute urmatoarele axiome :

;

astfel incat , .

Spunem ca monoidul este comutativ (sau abelian) daca operatia acestuia satisface si axioma :

.

Un cuplu format cu o multime nevida si cu o lege de compzitie pe , se numeste grup daca sunt satisfacute urmatoarele axiome :

Observatie. 1. Un monoid cu proprietatea ca orice element este simetrizabil (in raport cu operatia acestuia) se numeste grup.

2. Spunem ca cuplul este grup abelian sau grup comutativ, daca satisface si axioma :

.

3. Daca are un numar finit de elemente , atunci spunem ca ordinul grupului g este n.

Teorema. Intr-un grup sunt adevarate regulile de simplificare la stanga si la dreapta :

si respectiv

.

Teorema. Fie un grup. Oricare ar fi , ecuatiile :

si

au solutii unice in , anume , respectiv , unde este simetricul lui .