Functii reale, de una sau mai multe variabile,

cu valori scalare sau vectoriale. Multimi de definitie.

Functii liniare. Functii patratice

I

I.1) Fie . Sa se demonstreze ca sunt adevarate urmatoarele relatii:

a) ; b) ; c) ;

d) - ; e) ; f) .

( reprezinta notatia pentru functia caracteristica a multimii A)

I.2) Fie o functie cu urmatoarele proprietati:

i) ,

ii) ,

iii) ,

iv) .

Sa se arate ca este o topologie pe si, in spatiul topologic , avem , .

II

II.1) Sa se stabileasca multimile de definitie ale urmatoarelor functii reale:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) .

i) ;

j) ;

k) .

II.2) Sa se gaseasca imaginea geometrica a multimii de definitie in cazul urmatoarelor functii reale:

a) ; b) ;

c) ; d) .

III

III.1) Care din urmatoarele functii reale sunt liniare?

a) , ;

b) , ;

c) , ;

d) , ;

e) , .

Sa se rescrie, matriceal, expresiile acelor functii care sunt liniare (in raport cu bazele canonice in cauza).

III.2) Sa se verifice ca urmatoarele functii liniare reprezinta transformari punctuale ortogonale de la la :

a)    ;

b)    ;

c)    .

III.3) Sa se studieze posibilitatea diagonalizarii urmatoarelor functii liniare reale:

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)      .

IV

IV.1) Sa se stabileasca natura, indicele pozitiv si signatura pentru fiecare din urmatoarele functii patratice:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

IV.2) Sa se gaseasca forma canonica a urmatoarelor functii patratice:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

IV.3) Sa se determine parametrul real astfel incat functiile patratice urmatoare sa fie pozitiv (respectiv negativ) definite:

a) ;

b) ;

c) .

IV.4) Sa se stabileasca entitatea geometrica din sau descrisa de fiecare din ecuatiile / sistemele de ecuatii polinomiale (de gradul I sau II) de mai jos:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ; e) ;

f) ;

g) ;

h) ;

i) ;

j) ;

k) ;

l) ;

m) ;

n) ;

o) .

F. Iacob / 01.10.2006