Altermativa Fredholm

Altermativa Fredholm

In acest paragraf vor fi mentionate conditiile pe care trebuie sa le indeplineascaun operator liniar continuu T care aplica spatiul Banach X in el insusi , pentru ca sa aiba loc alternativa Fredholm. In particular se va vedea ca daca o putere a operatorului liniar U este operator compact , atunci pentru T = I - U este valabila alternativa Fredholm. Rezultatele expuse mai jos apartin lui S.M Nikolski

1. Sa consideram ecuatia

si adjuncta ei

Vom considera de asemenea ecuatiile omogene corespunzatoare

Amintim ca valabilitatea alternativei Fredholm pentru operatorul T inseamna ca :

fie ecuatiile (1) si (2) au solutii pentru orice membru drept si atunci solutiile lor sunt unice

fie ecuatiile omogene (3) si (4) au acelasi numar infinit de de solutii liniar independente respectiv , in acest caz pentru ca ecuatia (1) respectiv ecuatia (2) sa aiba solutie , este necesar si suficient ca

respectiv ca

In plus solutia generala a ecuatiei (1) este data de egalitatea

iar solutia generala a ecuatiei (2) de

unde (respectiv ) este o solutie oarecare a ecuatiei (1) iar sunt constante arbitrare

Teorema urmatoare arata ca clasa operatorilor T pentru care are loc alternativa Fredholm se deosebeste in esenta putin de clasa operatorilor de forma T = I - U , unde U este operator compact.

Teorema 1. Fiecare din urmatoarele doua conditii este necesara si suficienta pentru ca alternativa Fredholm sa aiba loc pentru operatorul T.

1. Operatorul T poate fi reprezentat sub forma

unde operatorul W are invers bilateral continuu, iar operatorul V este compact.

2. Operatorul T poate fi reprezentat sub forma

unde operatorul are invers bilateral continuu, iar operatorul este finit dimensional.

Demonstratie. Evident ne putem margini la demonstrarea suficientei conditiei 1) si necesitatii conditiei 2)

Suficienta conditiei 1) Fie

unde W are invers bilateral continuu, iar V este compact. Ecuatia (1) este echivalenta in acest caz cu ecuatia

Mai departe exista operatorul invers bilateral de aceea ecuatia (2) este echivalenta cu ecuatia

in sensul ca daca este o solutie a ecuatiei(6) atunci va fi solutie a ecuatiei (2) iar daca va fi solutia ecuatiei (2) atunci va fi solutia ecuatiei (6)

Sa introducem notatia Tinand cont de faptul ca putem reprezenta ecuatiile (5) si (6) sub forma

Deoarece operatorul U este compact pentru ecuatiile (7) si (8) este valabila concluzia teoremei 1.4. Prin urmare ecuatiile omogene

au acelasi numar(finit) de solutii liniar independente Ecuatia omogena (3) va avea evident acelasi sistem complet de solutii liniar independente ca si ecuatia (9) anume. Sa demonstram ca functionalele

formeaza un sistem complet de solutii liniar independente ale ecuatiei(4). Faptul ca fiecare din functionale(11) este solutia ecuatiei (4) rezulta dinechivalenta ecuatiilor (2) si (6) mentionate mai sus. Functionalele (11) sunt liniar independente deoarece relatia

rezulta

ceea ce este posibil doar daca In sfarsit daca ecuatia (4) ar avea o solutie care sa nu fie combinatie liniara de functionale (11) atunci functionala ar fi o solutie a ecuatiei (10) care ar fi o conbinatie liniara de functionale ceea ce nu ar fi posibil.

Astfel ecuatiile (3) si (4) au acelasi numar finit de solutii liniar independente . Apoi pe baza teoremei 1.4. ecuatia (5) si prin urmare si ecuatia (1) are solutie atunci si numai atunci cand

Aceasta conditie este echivalenta , in virtutea definitiei (11)

Analog se verifica faptul ca pentru solubilitatea ecuatiei (2) conditiile

sunt necesare si suficiente.

Necesitatea conditiei 2). Fie sisteme complete de solutii liniare independente ale ecuasiilor (3) si (4). Folosind teoreme V.4.7. si lema III.3.1. vom gasi functionalele si elementele

Sa notam Fiecare element poate fi reprezentat unic sub forma

Intradevar daca punem

atunci in virtutea relatiei (14)

deci ecuatia are solutie si prin urmare . Unicitatea reprezentarii (15) rezulta din faptul ca daca

atunci ecuatia trebuie sa aiba solutie si de aceea

Sa notam acum

Se demonstreaza analog ca fiecare element poate fi reprezentat in mod unic sub forma

Vom construi operatorul W punand

si vom demonstra ca W realizeaza o aplicatie bijectiva a spatiului X pe el insusi si prin urmare are un invers bilateral continuu

Pentru aceasta fie y un element arbitrar din X, reprezentarea lui sub forma (15). Aici

adica ecuatia are o solutie care poate fi considerata a fi un element din

Punand

si tinand cont ca si totodata de relatia (13) obtinem

Sa aratam ca in afara de elementul x nu exista alte solutii ale ecuatiei y. Intradevar in caz contrar ar exista un element astfel ca

adica

Aici iar

In virtutea unicitatii reprezentarii unui element sub forma (15) ajungem la relatiile

Pentru a incheia demonstratia teoremei este suficient sa definim

Observatie. Propunem cititorului sa demonstreze daca operatorul T este inlocuit in conditiile 1) sau 2) prin operatorul se obtin doua conditii de asemenea necesare si suficiente pentru ca alternativa Fredholm sa aiba loc pentru operatorul T .

2. Expunerea ulterioara se bazeaza pe 2 leme simple

Lema 1. Fie A si B doi operatori liniari continui care aplica spatiul narnat X in el insusi. Daca acesti operatori comuta iar operatorul C = AB are invers (bilateral ) atunci si operatorii A si B sunt inversabili

Demonstratie. Sa demonstram intai ca operatorii A si comuta, intradevar avem

Inmultind aceasta relatie la dreapta cu obtinem Mai departe folosind faptul demonstrat ca A si comuta putem scrie

de unde rezulta ca exista Analog se demonstreaza ca exista

Observatie. Daca operatorul este continuu atunci si operatorii si vor fi continui.

Lema 2. Fie U un operator continuu in spatiul X . Multimea caracteristica a operatorului U si multimea caracteristica a operatorului sunt legate prin relatia

adica daca,

Demonstratie. Sa notam Avem

Daca atunci punand

rezulta ca exista inversul continuu Prin urmare pe baza observatiei la teorema 1 exista inversul continuu

3. Presupunand ca X este spatiul Banach , ca in sectiunea 1. sa consideram un operator liniar continuu U in X .

Teorema 2. Sa presupunem ca emista un numar natural m astfel incat operatorul sa fie compact. Atunci pentru operatorul este valabila alternativa Fredholm.

Demonstrasie. Conform lemei 2 multimea caracteristica consta din puncte izolate, de aceea pe cercul unitate al planului complex se afla doar un numar finit de puncte

Daca p parcurge multimea tuturor numerelor prime numerele

sunt distincte si de aceea pentru suficient de mare

Se poate presupune ca m este un numar prim si ca . Sa scriem descompunerea

unde

Ca urmare a relatiei (17) operatorii sunt inversabili si prin urmare exista operatorul continuu Dar atunci

Deoarece operatorul este inversabil iar operatorul este compact se poate aplica teorema 1 .

Teorema este demonstrata

4. Teorema asupra multimii caracteristice a unui operator compact se extinde la operatorii de forma considerata in teorema anterioara . Anume are loc

Teorema 3. Daca pentru un m oarecare operatorul este compact atunci

1) multimea caracteristica a operatorului U consta numai din valori caracteristice iar fiecare valoare caracteristica are rang finit si subspatiul propriu corespunzator este finit dimensional ; 2) in fiecare disc al planului complex se afla numai un numar finit de valori caracteristice

Demonstratie. Tinand seama de rezultatul lemei 2 ne putem limita la demonstrarea primului punct al teoremei. In plus prima parte rezulta in mod evident din teorema 2. Prin urmare ramane de demonstrat doar finitudinea dimensiunii subspatiului propriu corespunzator.

Fara a se restrange generalitatea se poate presupune ca valoarea proprie considerata este Pe baza dezvoltarii (18) se poate scrie

Deoarece operatorii comuta intrei ei avem

De aici rezulta ca

Astfel deoarece este operator compact si tinand seama ca pentru astfel de operatori afirmatia a fost deja stabilita putem conchide pe baza relatiei (19) ca aceasta afirmatie este valabila si in cazul considerat.

In incheiere sa dam un exemplu de operator liniar continuu U care nu este compact dar este compact.

Fie X unul din spatiile Pentru sa punem

Evident

Observatie. Intrucat teoremele din cap. 4 demonstrate pentru operatorii comnacti, au folosit doar acele proprietati ale operatorilor compacti care sunt incluse in teorema 1.1. si teorema 3.1. iar acele teoreme se extind fara modoficatie la cazul operatorilor de forma considerata mai sus, rezultatele mentionate sunt de asemenea adevarate daca se presupune doar ca o anumita parte a operatorului U este compacta.