FUNCTIA LOGARITMICA.

DEFINITIA LOGARITMULUI UNUI NUMAR POZITIV. Fie a > 0, a 1 si x > 0. Se numeste logaritmul numarului x in baza a, si se noteaza logax, numarul real y definit prin: y = logax ay = x.

OBSERVATII. 1. Nu se poate defini logaritmul unui numar real negativ x, deoarece a^y > 0, y IR.

a^logax = x (identitatea logaritmica fundamentala.)

DEFINITIE Fie a > 0, a 1. Functia g : (0, R, definita prin g(x) = log ax se numeste functia logaritmica de baza a.

GRAFICUL FUNCTIEI LOGARITMICE

Graficul functiei logaritmice se traseaza in doua cazuri:

Baza a I (0, 1) (spunem ca baza este subunitara). In acest caz graficul functiei intersecteaza axa Ox in punctele de coordonate (0, 1), care este simetricul, in raport cu prima bisectoare, punctului (0, 1) in care graficul functiei exponentiale intersecteaza axa Oy. Graficul functiei logaritmice cu baza subunitara este din ce in ce mai apropiat de axele coordonate, cu cat baza este mai mica.

Baza a > 1 (spunem ca baza este supraunitara). In acest caz graficul functiei intersecteaza axa Ox in punctele de coordonate (0, 1), care este simetricul, in raport cu prima bisectoare, punctului (0, 1) in care graficul functiei exponentiale intersecteaza axa Oy.

PROPRIETATI ALE FUNCTIEI LOGARITMICE.

1) Functia logaritmica face sa-I corespunda produsului a doua numere reale pozitive suma valorilor corespunzatoare ale functiei, adica: g(x1x2) = g(x1) + g(x2 x1, x2 > 0.

OBSERVATII. g(x₁ / x₂) = g(x₁) - g(x₂), x₁, x₂ > 0;    (x₁^a a (x₁), x₁ > 0.

OBSERVATIE!    loga1 = 0. Logaritmul lui 1 in orice baza este egal cu 0.

2) Functia logaritmica este inversa functiei exponentiale.

OBSERVATIE. Din faptul ca g este bijectiva avem echivalenta: log_ax = log_ay x = y.

MONOTONIA FUNCTIEI LOGARITMICE. Daca a > 1, atunci g(x) = logax este strict crescatoare. 0 < a < 1, atunci g(x) = logax este strict descrescatoare.

OBSERVATIE. Pentru a > 1, log_ax₁ < log_ax₂ x₁ < x₂

Pentru 0 < a< 1, log_ax₁ < log_ax₂ x₁ > x₂.