Aplicatiile trigonometriei in geometrie

Aplicatiile trigonometriei in geometrie

1.Teorema sinusurilor.In orice triunghi ABC avem

cu R raza cercului circumscris triunghiului.

2.Teorema.Daca numerele strict pozitive verifica relatiile:

atunci exista un triunghi ABC ale carui elemente sunt respectiv cele 6 numere date.

Consecinta.Daca in triunghiul ABC unghiul A este drept , atunci

b = a sin B = a cos C = c tg B = c ctg C

c = a sin C = a cos B = b tg C = b ctg B

sin = cateta opusa

ipotenuza

cos = cateta alaturata

iptenuza

tg = cateta opusa

cateta alaturata

ctg = cateta alaturata

cateta opus

3.Teorema cosinusului.In orice triunghi ABC avem:

4.Teorema.Daca numerele strict pozitive satisfac relatia:

atunci exista un triunghi ABC cu

.

Rezolvarea triunghiurilor

Cazul L.U.L.Se dau doua laturi si unghiul cuprins intre ele,de exemplu a,b,C.

- triunghiul poate fi construit , deci existenta lui e asigurata

- c se determina din teorema cosinusului

- A se afla din teorema sinusurilor

Cazul U.L.U.Se dau o latura si unghiurile alaturate ei , de exemplu a,B,C

- triunghiul exista daca si numai daca

- b,c se calculeaza cu ajutorul teoremei sinusurilor

-

Cazul L.L.L.Se dau cele trei laturi a,b,c.

- triunghiul exista daca a < b + c ; b < c + a ; c < a + b

- A se calculeaza din teorema cosinusului

- B se calculeaza din teorema cosinusului sau teorema sinusurilor

-determinarea lui A se poate face si cu ajutorul formulelor:

Cazul L.L.U.Se dau doua laturi si unghiul opus uneia dintre ele , de exemplu a,b,A.

In acest caz tinand seama de teorema 4 ,triunghiul ABC exista daca ecuatia

cu necunoscuta c are cel putin o solutie strict pozitiva.

Problema are una,doua sau nici o solutie dupa cum ecuatia admite una ,doua sau nici o solutie

pozitiva.

Rezolvarea si discutia cazului se poate face si pe baza teoremei 2.

In orice triunghi ABC avem :

Formule pentru aria triunghiului

- aria unui triunghi este egala cu jumatatea produsului a doua laturi inmultit cu sinusul unghiului

dintre ele:

- formula lui Heron :

7.Teorema.In orice triunghi ABC , raza cercului circumscris se exprima prin:

8.Teorema.In orice triunghi ABC , raza cercului inscris se exprima prin: