Astronomie	Biofizica	Biologie	Botanica	Carti	Chimie	Copii
Educatie civica	Fabule ghicitori	Fizica	Gramatica	Joc	Literatura romana	Logica
Matematica	Poezii	Psihologie psihiatrie	Sociologie

REGRESIE SI CORELATIE - Metode elementare de studiere a legaturilor dintre fenomene

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic

 

y

 

x

Metode analitice de studiere a legaturilor dintre fenomene

Cercetarea concreta a legaturii dintre fenomene numai pe baza metodelor elementare este insuficienta. Informatiile obtinute pe baza lor se completeaza cu metodele analitice.

Metodele analitice permit exprimarea matematica a formei legaturii si masurarea numerica a intensitatii legaturii. Sunt cunoscute sub denumirea de metode de regresie si corelatie.

Modelele de regresie au ca scop reprezentarea alurii distributiei a doua variabile corelate. Prin curbele de regresie se prezinta corespondenta intre perechile de valori (x_i,y_i).

Cele mai utilizate modele de regresie in studiul fenomenelor si proceselor social-economice sunt:

A.    regresie si corelatie liniara

B.     regresie si corelatie curbilinie

C.     regresie si corelatie multipla

Stabilirea si analiza modelului de regresie pp. efectuarea urmatorilor pasi:

-construirea corelogramei, respectiv a norului de puncte;

-aproximarea, pe baza ajustarii corelogramei, a formei legaturii printr-un model teoretic si formularea ecuatiei corespunzatoare modelului de regresie ales;

-estimarea parametrilor ecuatiei de regresie si interpretarea regresiei in functie de semnul si valoarea lor;

-testarea semnificatiei parametrilor de regresie.

A.        Regresie si corelatie liniara

Cazul cel mai simplu al legaturii dintre doua variabile x si y este cel al regresiei liniare de forma:

y = a + bx

Aceasta relatie se numeste ecuatie de regresie si se reprezinta grafic printr-o dreapta definita de parametrii de regresie, si anume:

a = ordonata la origine si arata valoarea variabilei y cand x = 0. Poate lua atat valori pozitive, cat si negative.

b = panta dreptei, se mai numeste si coeficient de regresie. Semnul parametrului b indica directia legaturii dintre cele doua variabile corelate, astfel:

-daca b>0, indica o legatura directa

-daca b=0, nu exista legatura

-daca b<0, indica o legatura inversa.

Valoarea acestui parametru arata gradul de dependenta dintre variabile, respectiv cu cat creste sau scade y la o crestere sau la o scadere a variabilei x cu o unitate.

Determinarea parametrilor dreptei de regresie se poate face prin diverse metode, cea mai utilizata fiind metoda celor mai mici patrate.

Principiul de baza al acestei metode este ca suma patratelor diferentelor dintre valorile reale ale lui y si valorile teoretice date de ecuatia de regresie sa fie minima.

minim, respectiv

minim.

Rezolvarea problemei de minim impune doua conditii:

anularea derivatelor partiale de ordinul I ale sumei in raport cu a si b;

matricea derivatelor partiale de ordinul II sa fie pozitiv definita.

Aplicand conditia ca derivatele partiale ale sumei in raport cu a si b sa fie nule, obtinem sistemul de ecuatii normale:

Prin rezolvarea sistemului de ecuatii normale printr-una din metodele cunoscute se obtin parametrii a si b.

Prin metoda lui Cramer sau a determinantilor, parametrii a si b se determina astfel (pentru seriile simple):

In cazul cand se studiaza legatura dintre doua variabile folosind date grupate intr-un tabel de corelatie, deci serii cu frecvente, sistemul de ecuatii normale devine:

Determinarea parametrilor a si b prin aceeasi metoda conduce la rezultatele:

Pe baza parametrilor a si b astfel determinati se obtine dreapta de regresie. Aceasta ofera doar imaginea formei legaturii dintre doua variabile.

Pentru a determina cat de intensa este legatura dintre variabilele corelate se utilizeaza coeficientul de corelatie si raportul de corelatie.

Coeficientul de corelatie se foloseste pentru masurarea legaturii in cazul unei regresii liniare simple. Formulat de statisticianul Pearson, coeficientul de corelatie se calculeaza ca o medie aritmetica simpla a produsului abaterilor celor doua variabile fata de medie, astfel:

, unde:

x_i = caracteristica factoriala;

y_i = caracteristica rezultativa;

= mediile celor doua caracteristici;

= abaterea medie patratica a celor doua caracteristici.

Daca in aceasta relatie inlocuim pe , cu expresiile lor dezvoltate si efectuam simplificarile posibile, se ajunge la formula:

-pt. serii simple

-pt. serii cu frecventa

Valoarea coeficientului de corelatie este cuprinsa intre -1 si +1. Cele doua valori extreme reprezinta o legatura liniara perfecta intre cele doua variabile, directa sau inversa. Valoarea zero semnifica absenta legaturii.

Raportul de corelatie () se bazeaza pe descompunerea dispersiei totale a variabilei y pe factori de influenta. Relatia sa de calcul este:

, unde:

= dispersia valorilor reale ale variabilei y;

= dispersia valorilor teoretice ale variabilei y.

In cazul unei legaturi liniare simple, ecuatia raportului de corelatie devine:

In cazul seriilor cu frecvente:

Raportul de corelatie are valori cuprinse intre 0 si 1, cu urmatoarele semnificatii:

-= 1 arata ca intre variabile exista legatura;

-= 0 intre variabile nu exista legatura.

Valoarea la patrat a raportului de corelatie prezinta raportul de determinatie:

si arata ponderea influentei factorului x asupra variatiei variabilei y.

Ex. Consideram urmatoarele date conventionale privind legatura dintre costul mediu al tomatelor si pretul mediu al acestora:

Sa se studieze forma si intensitatea legaturii dintre cele doua variabile.

Pentru determinarea existentei legaturii dintre cele doua variabile se construieste graficul urmator:

   

Figura 1 Legatura dintre costurile medii si preturilor medii ale tomatelor la S.C. Seromgal S.A. Galati

Corelograma din figura 1 evidentiaza o legatura directa, liniara intre costurile medii ale tomatelor si preturile medii ale acestora. Prin urmare, estimarea preturilor medii in functie de costurile medii se efectueaza cu ajutorul ecuatiei de regresie liniara:

Elementele de calcul necesare pentru determinarea parametrilor ecuatiei de regresie sunt sintetizate in tabel. Pentru determinarea parametrilor ecuatiei de regresie se rezolva urmatorul sistem de ecuatii:

a = 384,58

b = 0,75

Cu aceste valori ale parametrilor, ecuatia estimata devine: . Estimatia parametrului de regresie b, avand o valoare pozitiva, arata ca intre cele doua variabile analizate exista o legatura directa. De asemenea, scoate in evidenta gradul de dependenta dintre variabile, si anume: la o crestere cu o unitate a costului mediu, pretul creste cu 0,75 unitati.

Alaturi de stabilirea liniei de regresie este necesar sa se masoare si intensitatea legaturii dintre variabile cu ajutorul coeficientului de corelatie si al raportului de corelatie.

Coeficientul de corelatie se poate determina prin urmatoarea relatie:

Raportul de corelatie se determina cu ajutorul relatiei:

Se constata ca cei doi indicatori ai intensitatii sunt egali, rezultand ca legatura dintre variabilele considerate este liniara, directa si foarte stransa.

B.        Regresie si corelatie curbilinie

O mare parte a legaturilor dintre variabilele din domeniul economic se incadreaza in modele de regresie curbilinie de tipul: hiperbola, parabola, curba exponentiala.

a. Regresie si corelatie de tip hiperbolic

Legaturile de tip hiperbolic pot fi descrise de ecuatia:

Parametrii modelului se estimeaza pe baza sistemului de ecuatii:

Prin regula lui Cramer obtinem:

Fiind vorba de o legatura curbilinie, intensitatea legaturii se determina numai cu ajutorul raportului de corelatie.

Ex. In scopul cercetarii legaturii dintre volumul productiei (mii lei) si costul unitar de productie (lei), se considera urmatoarele date:

Sa se studieze forma si intensitatea legaturii dintre cele doua variabile.

- forma legaturii: hiperbola -

- intensitatea legaturii - raportul de corelatie:

> 0 exista legatura intre cele doua variabile.

b. Regresie si corelatie de tip parabolic

Pentru exprimarea acestui model se utilizaeza, de regula, parabola de gradul doi, de forma:

y = a+bx+cx²

Parametrii a, b, c se determina prin metoda celor mai mici patrate, din sistemul:

Intensitatea corelatiei parabolice se masoara cu ajutorul raportului de corelatie:

Ex. Analizandu-se o serie de probe de minereu de cupru pentru continutul in arsen si telur (miimi de procente ), s-au obtinut datele:

Sa se studieze forma si intensitatea legaturii dintre cele doua variabile.

-forma legaturii: parabola: y = a+bx+cx²

a = -5,83; b = 0,73; c = -0,0085

b > 0 → legatura directa

-intensitatea legaturii:

→ exista legatura stransa.

c. Regresie si corelatie multipla

Cazul regresiei si corelatiei intre doua variabile este o situatie particulara. In practica, variatia unei variabile y este dependenta de actiunea complexa a unei multitudini de factori.

In acest caz este vorba de legaturi multiple.

Legaturile multiple de corelatie se stabilesc intre doua sau mai multe caracteristici factoriale si o caracteristica rezultativa. Astfel de legaturi se intalnesc si in cazul fenomenelor economice complexe.

In cazul legaturilor multiple, variabilele factoriale au influente diferite asupra variabilei rezultative. Factorii cauzali se ierarhizeaza in ordinea importantei actiunii lor asupra fenomenului efect si se iau in calcul cei care au o actiune importanta.

Considerand o vaxriabila dependenta y si k variabile independente (x₁, x₂, , x_k) legate intre ele printr-o functie, atunci in cazul unei legaturi liniare multiple va avea forma:

, unde:

a₀ = parametrul care exprima influenta celorlalti factori considerati cu actiune constanta, in afara de factorii cauzali luati in calcul;

a_i = coeficienti de regresie multipla care arata cu cat variaza variabila rezultativa, atunci cand variabila factoriala x_i se modifica cu o unitate.

Parametrii a₁, a₂, , a_k se determina cu ajutorul metodei celor mai mici patrate, punand conditia impusa de aceasta.

Masurarea intensitatii corelatiei multiple se poate efectua cu ajutorul raportului de corelatie multipla, in cazul unei regresii neliniare sau cu ajutorul coeficientului de corelatie multipla si a raportului de corelatie multipla, in cazul unei regresii multiple liniare.

Raportul de corelatie multipla are forma:

.

Corelatia neparametrica

Coeficientii corelatiei neparametrice se determina independent de forma legaturii. Ei se stabilesc fie in functie de abaterile individuale ale variabilelor corelate fata de media lor, fie in functie de rangurile perechilor de valori ale variabilelor corelate.

Pentru aceasta, unitatile statistice se ordoneaza in sens crescator sau descrescator a valorii variabilei factoriale si apoi se atribuie cate un rang fiecarei variante. Deoarece nu opereaza direct cu nivelurile caracteristicilor, aceste metode sunt aplicabile si in cazul corelatiei dintre caracteristici calitative.

In cadrul metodelor neparametrice de studiere a corelatiei, cele mai cunoscute sunt:

coeficientul de concordanta Fechner,

coeficientii de corelatie a rangurilor,

coeficientul de asociere.

Coeficientul de concordanta Fechner

Statisticianul german G. Fechner a stabilit la sfarsitul secolului 19 un indicator al intensitatii corelatiei calculat pe baza concordantelor si discordantelor diferentelor dintre termenii consecutivi ai fiecarei dintre cele doua variabile corelate sau cu ajutorul concordantelor si respectiv discordantelor abaterilor calculate fata de mediile variabilelor corelate. Se calculeaza sub doua forme:

-coeficient simplu

-coeficient ponderat.

Coeficientul de concordanta simplu - se defineste prin relatia:

, unde:

c = numar de concordante de semn ale abaterilor;

d = numar de disconcordante de semn ale abaterilor.

n = numarul perechilor de valori corelate.

Daca unele diferente sau sunt nule, atunci nu se considera nici concordanta, nici discordanta, ci este exclusa din calcul.

Coeficientul de concordanta ponderat - se determina prin relatia:

, unde:

C = suma produselor pozitive,

D = valoarea absoluta a sumei produselor negative.

O alta varianta a coeficientului ponderat de concordanta Fechner se apropie de coeficientul de corelatie Pearson si se determina astfel:

Coeficientul Fechner poate varia intre -1 si +1, cu semnificatia unei legaturi directe sau inverse mai mult sau mai putin intense.

Ex. Gruparea a 10 judete dupa nr. cinematografelor si nr. spectatorilor:

Sa se stabileasca intensitatea legaturii dintre cele doua variabile cu ajutorul coef. de concordanta Fechner.

- Coeficientul simplu de concordanta :

legatura directa slaba

- Coeficientul de concordanta ponderat:

legatura directa stransa

- Coeficientul pearsonian:

legatura directa slaba.

Coeficientii de corelatie a rangurilor

Rangul este o anumita treapta de ordine a variantelor variabilei intr-o serie. Pentru stabilirea rangurilor, valorile empirice ale variabilelor corelate sunt grupate dupa marimea lor in ordine crescatoare sau descrescatoare. De obicei, in functie de variabila independenta se ordoneaza si variabila dependenta.

Coeficientii de corelatie a rangurilor sunt:

a.       coeficientul Spearman;

b.      coeficientul Kendall

a. Coeficientul Spearman este o extensie a coeficientului de corelatie Pearson, in care valorile empirice ale variabilelor corelate sunt inlocuite cu rangurile lor corespunzatoare. Coef. Spearman deriva din coeficientul de corelatie clasic si se calculeaza dupa relatia:

, unde:

d = diferentele dintre rangurile celor doua variabile;

n = nr. perechilor de valori x_i, y_i.

Pentru aplicarea acestui coeficient se procedeaza astfel:

-se atribuie ranguri variabilelor x_i si y_i, de la numarul 1 a celei mai mari valori, in continuare;

-se calculeaza diferentele- d- dintre rangurile variabilei x_i si y_i;

-se calculeaza sirul d² si se insumeaza;

-se aplica formula.

Coef. de corelatie Spearman are valori cuprinse intre -1 si +1.

b.    Coeficientul Kendall se defineste prin relatia:

, unde:

.

p_i = nr. rangurilor superioare ale variabilei y_i ordonate dupa x_i, care exista dupa fiecare rang;

q_i = nr. rangurilor inferioare ale variabilei y_i ordonate dupa x_i, care exista dupa fiecare rang;

n = nr. unitatilor observate.

Acest coef. poate lua valori cuprinse intre -1 si +1, cu aceleasi semnificatii.

Ex. Legatura dintre productia si consumul de energie primara (in kg echivalent carbune), pe tari, se prezinta astfel:

Sa se stabileasca intensitatea legaturii dintre cele doua variabile cu ajutorul coef. de corelatie a rangurilor.

-coef. Spearman: legatura directa stransa

-coef. Kendall: legatura directa

.

Coeficientul de asociere

Se noteaza cu Q si a fost propus de Yule. Se foloseste pentru stabilirea corelatiei intre caracteristici alternative, reprezentand o masura a gradului de asociere.

Determinarea coef. de asociere se bazeaza pe tabelul de asociere de forma:

Coef. de asociere este definit de formula:

Valoarea coef. de asociere are ca interval de variatie (-1;+1) si se interpreteaza ca oricare coef. de corelatie.

Ex. Sa se stabileasca legatura dintre distributia populatiei unui judet pe medii si pe sexe, cu ajutorul coef. de asociere:

Intre distributia pe sexe si distributia pe medii exista o legatura directa slaba.

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Vizualizari: 5669
Importanta:

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved

Distribuie URL
https://www.scrigroup.com/educatie/matematica/REGRESIE-SI-CORELATIE-Metode-e34828.php

Adauga cod HTML in site
<a href="https://www.scrigroup.com/educatie/matematica/REGRESIE-SI-CORELATIE-Metode-e34828.php" target="_blank" title=" - https://www.scrigroup.com/educatie/matematica/REGRESIE-SI-CORELATIE-Metode-e34828.php">REGRESIE SI CORELATIE - Metode elementare de studiere a legaturilor dintre fenomene</a>