CALCUL DIFERENTIAL PENTRU FUNCTII DE O VARIABILA REALA

Obiective : Insusirea de catre studenti a rolului derivatelor de ordinul intai si doi in studiul functiilor reale de o variabila reala si gasirea extremelor acesteia direct sau cu computerul.

Cuprins

Functii elementare si aplicatii

Rolul derivatelor de ordinul unu si doi in studiul functiilor de o variabila reala

Optimele functiilor de o variabila reala si aplicatii

Metode iterative de rezolvare a ecuatiilor

Rezumat

Intrebari

Bibliografie

Cuvinte-cheie : functie reala de o variabila reala ,derivate de ordin intai si doi , maximele

si minimele unei functii , metode iterative de rezolvarea unei ecuatii .

1 Functii elementare si aplicatii

O functie reala de variabila reala definita pe cu valorile in , este o corespondenta care asociaza fiecarui element , un element unic .

Daca x este factor sau sursa fizica (consum) sau sursa valorica (cheltuieli) iar y este productie fizica sau valorica (venit, profit, rata profit) atunci functia f se numeste functie de productie.

Cheltuielile pentru resurse sunt egale cu consumurile de resurse inmultite cu costurile resurselor iar venitul din produse este egal cu productia fizica inmultita cu pretul de vanzare al produselor. Cheltuielile au drept componente cheltuielile materiale, cele cu forta de munca si cele neproductive (taxe, impozite, TVA). Profitul este diferenta intre venituri si cheltuieli iar rata profitului este raportul intre profit si cheltuieli. Functii de productie concrete gasite din datele reale, sunt functiile de regresie din statistica.

Din definitia functiei rezulta ca daca avem si ca

f(A) = B .

Daca f(x₁ ) = f(x₂ ) implica x₁ = x_{2 ,} functia f se numeste injectiva iar daca f(A) = B , functia se numeste surjectiva. O functie injectiva si surjectiva, se numeste bijectiva. O functie reala se precizeaza prin expresia analitica y = f(x) si multimile A, B sau prin tabel de valori:

cu legea de corespondenta si , .

Orice functie se poate reprezenta grafic intr-un sistem de axe ortogonale printr-o curba

plana in care orice paralela la 0x prin taie graficul lui f cel putin intr-un punct si orice paralela la 0y prin , taie graficul lui f exact intr-un punct. Daca functia f este bijectiva, orice paralela la 0x prin taie graficul lui f exact intr-un punct.

Clase de functii elementare

1.Functia liniara ;

2.Functia polinomiala ;

3.Functia cat de polinoame ;

;

4.Functia putere ;

5.Functia exponentiala ; ,

6.Functia logaritmica , ,

Functiile trigonometrice directe:

a) , A=R ; B=[ -1; 1]

b) , A=R ; B=[ -1; 1]

c) , ; B=R

8.Functiile trigonometrice inverse:

d) , ;

e) , ;

f) , ;

Functiile 1), 4) - 6), 8 d) - f) sunt bijective.

Teorema 1

1)Fie valorile lui x in pregresie aritmetica . Avem daca si numai daca valorile lui y sunt in progresie aritmetica.

2)Fie valorile lui x in progresie geometrica. Avem daca si numai daca valorile lui y sunt in progresie geometrica.

3)Fie valorile lui x in progresie aritmetica. Avem daca si numai daca valorile lui y sunt in progresie geometrica.

4)Fie valorile lui x in progresie geometrica. Avem daca si numai daca valorile lui y sunt in progresie aritmetica.

Demonstratie

1)Fie valorile lui x in progresie aritmetica:

Valorile lui sunt tot in progresie aritmetica: ,

Reciproc, daca valorile lui y sunt in progresie aritmetica: pentru a avea pentru orice n I N , trebuie ca de unde prin identificarea coeficientilor lui n si a termenilor liberi din ambii membri rezulta ;

2)Valorile lui x sunt in progresie geometrica daca si numai daca valorile lui sunt in progresie aritmetica. In adevar, daca avem atunci avem

Reciproc, daca avem atunci avem

devine prin logaritmare log y = B₁ log x +B₀ unde B₀ = log b₀.

Daca valorile lui x sunt in progresie geometrica atunci valorile lui sunt in progresie aritmetica deci conform punctului 1) avem daca si numai daca valorile lui sunt in progresie aritmetica ceea ce se intampla daca si numai daca valorile lui y sunt in progresie geometrica.

3) devine prin logaritmare unde B₀ = log b₀.

Daca valorile lui x sunt in progresie aritmetica, conform punctului 1) avem daca si numai daca valorile lui sunt in progresie aritmetica si aceasta se intampla daca si numai daca valorile lui y sunt in progresie geometrica.

4) devine unde

Daca valorile lui x sunt in progresie geometrica atunci valorile lui sunt in progresie aritmetica deci conform punctului 1) avem daca si numai daca valorile lui y sunt in progresie aritmetica.

In concluzie, transformarile progresiilor aritmetica si geometrica se fac cu ajutorul functiilor liniara, putere, exponentiala si logaritmica dupa schema:

Q.E.D.

Aplicatii ale functiilor elementare

A).Functia exponentiala negativa

Fie y₀ = f(0) si P plafonul functiei .

1) y₀ < P deci P este plafon superior pentru f(x)

Functia este :

Pentru b > e avem logistica , crescatoare de la y₀ la P , cu punctul de inflexiune

x_i = ( ln b ) / a si cu graficul :

Pentru b≤ e avem curba de saturatie ,crescatoare de la y₀ la P si cu graficul :

2) y₀ > P deci P este plafon inferior pentru f(x)

Functia este :

Pentru b > e avem logistica , descrescatoare de la y₀ la P , cu punctul de inflexiune

x_i = ( ln b ) / a si cu graficul :

Pentru b ≤ e avem curba de saturatie , descrescatoare de la y₀ la P si cu graficul :

B). Functia de concentrare/diluare

1)Functia de concentrare este y = y₀ + x ^a .e^{- bx} unde y₀ = f(0) .

Ea are punctul de maxim x₀ = b / a si punctele de inflexiune :

Graficul are forma :

2) Functia de diluare este y = y₀ - x ^a .e^{- bx} unde y₀ = f(0) .

Ea are punctul de maxim x₀ = b / a si punctele de inflexiune :

Graficul are forma :

C). Functia seismica asimetrica

Parametrii din expresiile precedente au semnificatia urmatoare :

a = momentul mijlocului undei maxime absolute (separa unda ascendenta de cea descendenta) ;

b = momentul incetarii undei ;

h = numarul de maxime ale undei ascendente ;

k = numarul de minime ale undei descendente ;

x₁ = ((4h-3) / (4h-2)).a este punctul de maxim absolut al undei iar valoarea maxima absoluta este M ;

x₂ = ((4k-1) / (4k-2)).a este punctul de minim absolut al undei iar valoarea minima absoluta este M ;

r = parametru de unda ( r > 1) ;

De exemplu pentru h = 2 si k = 3 avem graficul :

4)Calculul concentratiei pe termen lung

In administrarea ingrasamintelor, ierbicidelor, insecticidelor, vaccinurilor, etc., concentratia acestora se calculeaza astfel: vom presupune ca materialele precedente se administreaza in doze egale cu d la intervale de timp egale cu x.

Avem ; deci dupa un numar mare de administrari ale dozei constante d la intervale de timp egale cu x, concentratia apartine intervalului:

de lungime d.

Grafic, valorile concentratiei y in raport cu lungimea x a intervalului de timp intre doua administrari succesive, sunt cuprinse in aria hasurata de inaltimea d:

Exemplu

Un ierbicid se administreaza in doze constante egale cu la intervale de timp egale cu luni. Sa se afle intervalul de variatie al concentratiei ierbicidului dupa un numar mare de administrari.

Solutie

Pentru ; avem:

5)Calculul dobanzilor

a)Dobanda simpla

Fie suma imprumutata de la banca si care trebuie restituita in x ani cu dobanda anuala . Suma imprumutata este rambursata in x ani in rate anuale de y₀ / x lei.La aceste rate se adauga dobanzile anuale in lei pentru debitele existente in anul respectiv.

In primul an debitul este lei deci dobanda este lei.

In al x - lea an, debitul este lei deci dobanda este lei.

Dobanda totala in x ani in lei va fi:

Dobanda anuala pe x ani in procente este deci o functie liniara de x.

Suma totala ce se restituie in X ani este: . Dobanda D ajunge egala cu P daca rambursarea se face in ani.

Exemplu

O asociatie agricola imprumuta de la Banca Agricola suma de y₀ = 12000 lei, care vor fi rambursati in ani cu dobanda anuala . Se cere dobanda totala D si suma totala y ce trebuie restituita in ani. In cati ani avem ?

Solutie

de unde

de unde y = 15300 lei.

in ani

b) Dobanda compusa

Fie suma depusa la banca in momentul zero pentru care de adauga dobanda anuala d .

In primul an, depozitul este deci valoarea dobanzii este lei.

In al doilea an, depozitul este deci valoarea dobanzii este lei.

In al x - lea an, depozitul este deci valoarea dobanzii este lei.

Dobanda totala pe x ani in lei va fi:

Dobanda totala pe x ani in procente este: adica o functie exponentiala de x.

Suma totala acumulata dupa x ani este:

Dobanda ajunge egala cu P dupa trecerea a ani

Exemplu

Un fermier depune la banca anual suma y₀ = 500 lei pentru care se acorda dobanda anuala . Se cere dobanda totala D si suma totala acumulata y dupa ani. In cati ani avem ?

Solutie

Avem de unde

Avem de unde y = 815 lei

in ani

6).Evaluarea numarului de fructe pe pom

Date necesare:

N_F = Numarul de flori pe pom = 2542

q_F = Proportia de flori viabile = 0.9

S = Numarul de ovule pe floare = 10

q = Proportia de ovule fertile pe floare = 0.6

m = Numarul de vizite ale insectelor pe ora si pe floare = 0.4

q = Probabilitatea ca o vizita de insecta sa fecundeze un ovul dat intr-o floare = 0.1

Parametrii perioadei de polenizare efectiva: si

= viteza de cadere a fructelor cu k seminte

= factor de stress = 0.99

Rezultate

1)Numarul de fructe cu k seminte pe pom la momentul zero este:

2)Numarul de fructe cu zero seminte pe pom la momentul zero este:

3)Numarul de fructe cu k seminte pe pom la momentul t este:

4)Numarul de fructe total pe pom la momentul t este:

Diferenta intre numarul de fructe pe pom la momentele 0 si t este numarul de fructe cazute din pom (cu sau fara seminte).

2 Rolul derivatelor de ordinul unu si doi in studiul functiilor de o variabila reala

Fie functia reala de o variabila reala , si fie .

Numarul real L este limita functiei f in x₀ (Notatie ) daca pentru orice exista astfel ca daca sa avem

Pentru ca f sa aiba limita L in , trebuie ca L sa existe, sa fie unica si finita.

O definitie echivalenta pentru limita este: daca pentru orice sir de numere reale cu , sa avem sirul de numere reale convergent catre . Limita L a functiei f in exista, este finita si unica daca si numai daca limitele laterale , exista, sunt finite si egale.

Proprietati ale functiilor reale

Functia reala f este continua in daca exista, este unica si finita si in plus .

Functia reala f este derivabila in daca exista, este unica si finita limita:

se numeste valoarea derivatei a functiei f(x) in x₀ si este egala cu panta tangentei in la graficul lui f :

Ecuatia acestei tangente este:

Corespondenta defineste o noua functie cu , numita derivata intai a functiei f. Marimea se numeste diferentiala de ordinul intai a lui f in x₀.

Derivata derivatei intaia se numeste derivata a doua a functiei .

Marimea se numeste diferentiala de ordinul doi a functiei f.

Mai general, derivata de ordin n a lui f se defineste inductiv .

este cresterea valorica a variabilei x iar Dx / x₀ este cresterea procentuala a variabilei x.

este cresterea valorica a functiei iar Dy / y₀ este cresterea procentuala a functiei .

este derivata valorica in timp ce este derivata procentuala si se numeste elasticitatea functiei f in x₀. Avem

Fie . Conform teoremei Lagrange, exista astfel ca si deci .

In adevar, M₂ este intersectia graficului cu coarda M₁M₂ paralela cu tangenta M₀T iar este abcisa lui M₂. In concluzie, derivata instantanee este egala cu derivata medie iar elasticitatea instantanee este egala cu elasticitatea medie calculate pe un interval convenabil ales care contine pe .

Formule de derivare pentru functii elementare

1.

2. ( x^a ) = ax^a-1 (aIR)

3. (a^x) = ; (e^x) = e^x

;

Formule de derivare in operatii cu functii

I.   

II.   

III.   

Formulele 1. - 10. si I. - III. le admitem fara demonstratie.

Derivata logaritmica a functiei f in x₀ este f_L'(x₀) , data de relatia :

Exemple

3)Functia reala f este crescatoare pe daca pentru orice cu rezulta . In mod analog se defineste functia descrescatoare pe : . O functie reala care este fie crescatoare fie descrescatoare pe A se numeste functie monotona pe A.

Functia reala f este convexa pe daca pentru orice cu rezulta . Graficul unei functiei convexe pe A are deschiderea in directia pozitiva a axei 0y iar coarda care uneste doua puncte ale graficului, este deasupra graficului:

O definitie echivalenta a convexitatii este: pentru orice si orice avem adica ordonata tangentei in la graficul lui f este sub acest grafic:

In mod asemanator se defineste functia concava pe A: respectiv

Functia reala f este marginita pe A daca exista m, M I R astfel ca pentru orice .

Functia reala f este periodica pe A daca exista astfel ca pentru orice .

Exemple

Functiile , sunt periodice cu perioada iar functia este periodica cu perioada

Fie , , .

Rolul derivatelor de ordin I si II in studiul functiei reale f, este dat de:

Teorema 2

1)Daca pe intervalul atunci este crescatoare pe intervalul . Daca pe intervalul atunci este descrescatoare pe intervalul .

2)Daca pe intervalul atunci este convexa pe intervalul . Daca pe intervalul atunci este concava pe intervalul .

Demonstratie

Daca f este functie cu derivate de toate ordinele continue pe intervalul atunci pentru orice avem formula Taylor (fara demonstratie):

unde .

1)Avem formula Taylor pentru : cu . Pentru x suficient de aproape de , ultimul termen din membrul II este neglijabil fata de cei precedenti deci si au acelasi semn. Daca atunci implica deci f este crescatoare pe .

2)Avem formula Taylor pentru : cu .

Pentru x suficient de aproape de , ultimul termen din membrul doi este neglijabil fata de cei precedenti, deci si au acelasi semn.

Daca atunci implica deci f este convexa pe . Daca atunci implica deci f este concava pe .Q.E.D.

3 Optimele functiilor monofactoriale si aplicatii

Functia reala f:A R B R are un maxim relativ (local) in daca pentru orice avem si pentru orice avem , deci pe intervalul valoarea este cea mai mare.

Functia reala f:A R B R are un minim relativ (local) in daca pentru orice avem si pentru orice avem , deci pe intervalul valoarea este cea mai mica.

Punctele de maxim sau minim relative (local) se numesc cu un cuvant puncte de extreme relative (locale).

Daca functia f are cel putin un maxim relativ, cel mai mare maxim relativ se numeste maxim absolut (global).

Daca functia f are cel putin un minim relativ, cel mai mic minim relativ se numeste minim absolut (global).

Teorema 3 (Fermat)

Fie functia f:A R B R si . Daca f este derivabila in si este punct de maxim sau minim relativ, atunci .

Demonstratie

Fie de exemplu = punct de maxim relativ. Pentru avem deci si la limita pentru avem . Pentru avem deci si la limita pentru avem . Rezulta .Q.E.D.

Punctele cu se numesc puncte stationare pentru ca in aceste puncte tangenta la grafic este orizontala (valorile functiei stationeaza in avand viteza de variatie nula).

Conditia din teorema 3 este necesara dar nu suficienta pentru puncte de maxim sau minim relativ, adica nu orice punct stationar este punct de maxim sau minim relativ. Conform teoremei 2, este punct de maxim relativ daca si in plus deci = crescatoare pentru iar deci = descrescatoare pentru .

Deasemenea este punct de minim relativ daca si in plus deci = descrescatoare pentru si deci = crescatoare pentru .

Daca dar pentru orice respectiv pentru orice atunci este punct de inflexiune cu tangenta orizontala. O conditie suficienta de maxim sau minim relativ este data de:

Teorema 4

Fie functia reala f cu derivate continue de toate ordinele in si cu . Fie numarul natural minim , astfel ca dar . Daca k este numar par, avem situatiile:

a)    in care caz este punct de minim relativ.

b)    in care caz este punct de maxim relativ.

Daca k este numar impar, este punct de inflexiune cu tangenta orizontala.

Demonstratie

In conditiile din enunt, formula Taylor devine: cu . Pentru x suficient de aproape de , ultimul termen din membrul doi se poate neglija in raport cu primul termen. Daca k este numar par, si au acelasi semn si avem subcazurile:

a)    pentru orice deci si pentru orice adica este punct de minim relativ.

b)    pentru orice deci si pentru orice adica este punct de maxim relativ.

Daca k este numar impar, fie de exemplu deci si au acelasi semn.

Daca avem iar daca avem deci este punct de inflexiune cu tangenta orizontala caci .Q.E.D.

Exemple

Sa se calculeze unghiul optim de ramificatie intre doua vase sanguine de raze si .

Solutie

Vasul sanguin AD are raza sectiunii iar vasul sanguin DC are raza sectiunii .

Rezistenta la inaintarea sangelui este direct proportionala cu lungimea vasului si invers proportionala cu raza sectiunii sale.

Rezistenta totala a portiunii va fi: unde k este o constanta care depinde de vascozitatea si densitatea sangelui.

Avem ; cosec x deci are solutia . Avem deci este punct de minim. Valoarea minimului este . De exemplu pentru avem .

La ce inaltime trebuie plasata o sursa de lumina intr-o baterie pentru pasari astfel ca intensitatea iluminarii pardoselii sa fie maxima?

Solutie

Fie A punctul cel mai departat al pardoselii de verticala sursei luminoase SN.

Fie ; ; . Intensitatea luminoasa in punctul A este .

Avem si deci: .

Avem cu radacina deci

Avem deci este punct de maxim. Valoarea maximului este

Sa se confectioneze o adapatoare de beton cu sectiune trapezoidala astfel ca volumul adapatorii sa fie maxim.

Solutie

Lungimea adapatorii fiind constanta, trebuie sa maximizam aria sectiunii.

Baza mica a sectiunii este a, cea mare este iar inaltimea sectiunii este deci aria trapezului va fi:

are radacina pozitiva . Avem deci este punct de maxim. Valoarea maximului este .

Cazuri particulare

a)    deci asa ca

b)    deci asa ca

Sa se dimensioneze un canal trapezoidal deschis pentru irigatii astfel ca, costul saparii lui sa fie minim.

Solutie

Fie raportul intre latimea fundului canalului a si adancimea canalului h.

Costul sapaturii canalului este direct proportional cu aria sectiunii deoarece lungimea canalului si costul sapaturii (lei / m³) este constanta.

Trebuie sa minimizam aria sectiunii in raport cu x astfel ca pe canal sa fie asigurat un debit Q dat de apa. Fie m = tg a panta taluzului

Aria sectiunii este: . Dar deci

h se determina cu conditia sa se asigure pe canal debitul Q, panta fundului canalului este i iar n este rugozitatea peretilor si fundului canalului la curgerea apei

(n = 0.025 pentru canale de pamant si n = 0.014 pentru canale dalate cu beton).

Avem relatia:

Rezulta: unde este o constanta hidraulica a canalului. Trebuie sa avem: adica:

deci dupa efectuarea calculelor obtinem:

cu punctul de minim:

In locul minimizarii volumului sapaturii se mai pot minimiza:

a)    costul apei pierdute prin infiltratii pe fundul si peretii canalului;

b)    profitul pierdut anual de pe suprafata scoasa din circuitul agricol de catre canal.

Dintr-o foaie dreptunghiulara din fier sau carton cu lungimea a si latimea b se taie in fiecare colt cate un patrat de latura x iar marginile ramase se indoaie, obtinand o cutie paralelipipedica fara capac de tip ladita de fructe. Sa se afle x astfel ca volumul cutiei sa fie maxim.

Solutie

Avem . are radacina:

Avem deci este punct de maxim. Valoarea maximului este .

Pentru avem .

6) Optimizarea nivelului preturilor de vinzare sub aspectul maximizarii venitului din

vinzarea produselor agricole, a stimularii consumului de produse agricole ca o cale principala

de relansare a productiei agricole .

Fie x pretul de vinzare variabil (lei / Kg) al unui produs agricol , fie y cantitatea variabila din podus , vanduta intr-un interval de timp de lungime T , la pretul de vanzare x si fie z =x.y valoarea variabila in lei a cantitatii vandute la pretul de vanzare x .

Fie x_c pretul de vanzare curent al produsului , fie y_c cantitatea vanduta

la pretul de vinzare curent x_c si fie z_c = x_c.y_c valoarea in lei a cantitatii vandute la pretul de vanzare

curent x_c .

Fie x_p un pret de vanzare de proba pentru testarea pietii , pentru care avem in acelasi interval de timp

de lungime T , cantitatea de produs vanduta y_p si valoarea in lei a cantitatii vandute z_p la pretul de

vanzare x_p.

Este clar ca avem functia y = f(x) descrescatoare in raport cu x , datorita limitarii puterii de

cumparare a cumparatorilor potentiali .Avem z = x.f(x) .

Dorim sa calculam pretul de vanzare economic x_e pentru care valoarea in lei a cantitatii

vandute z_e = x_e.f(x_e) este maxima .

a) Cazul produselor de necesitate nespecificata

In acest caz cantitatea de produs y scade direct proportional odata cu cresterea pretului de vinzare

x , deci cantitatea de produs vanduta are forma y = a.x + 2.b cu a < 0 .

Coeficientii a , b se gasesc din conditiile :

y_c = a.x_c + 2.b ; y_p = a.x_p +2.b deci a = (y_p - y_c ) / (x_p - x_c) si b = (xp.yc - x_c.y_p) / 2.(x_p - x_c)

Avem z = x.y = a.x² + 2.b.x deci z = maxim pentru z' = 2a.x + 2.b = 0 asa ca

x_e = b / -a deci y_e = b si z_e = x_e.y_e = maxim .

Exemplu:

Un vanzator a vandut la piata cu pretul curent x_c = 2.5 lei / Kg in T =10 ore o cantitate y_c = 8 kg

fasole boabe pentru care a primit suma z_c = 20 lei .

A doua zi a vandut la aceeasi piata cu pretul de proba x_p = 3 lei tot in T = 10 ore o cantitate y_p = 6 Kg fasole boabe pentru care a primit suma z_p= 18 lei.Din formulele de mai sus rezulta pretul de vinzare economic x_e = 2.25 lei /Kg cu care in T = 10 ore , s-ar vinde cantitatea y_e = 9 Kg fasole boabe si s-ar primi suma maxima z_e = 20.25 lei .

b) Cazul produselor de necesitate mare

In acest caz cantitatea de produs y scade lent odata cu cresterea pretului de vinzare x , deci cantitatea de produs vanduta are forma y = a.x² + b cu a <0 .

Coeficientii a , b se gasesc din conditiile :

y_c = a.x_c² + b ; y_p = a.x_p² + b

Avem z = x.y = a.x³ + b.x deci z = maxim pentru z' = 3a.x² + b = 0

asa ca x_e = (b / ( - 3a))^{1 / 2} deci y_e = 2b / 3 si z_e = x_e.y_e = maxim .

Trebuie sa avem b / ( - 3a) > 0 si cum a < 0 , trebuie ca sa avem b >0 ,

conditie totdeauna indeplinita pentru ca functia f este descrescatoare .

Exemplu:

Un vanzator a vandut la piata cu pretul curent x_c = 1 leu / Kg in T =10 ore o cantitate

y_c = 60 kg cartofi pentru care a primit suma z_c = 60 lei .

A doua zi a vandut la aceeasi piata cu pretul de proba x_p = 1.2 lei tot in T = 10 ore o cantitate

y_p = 50 Kg cartofi pentru care a primit suma z_p= 60 lei..

Din formulele de mai sus rezulta pretul de vinzare economic x_e = 1.1015 lei /Kg cu care in

T = 10 ore , s-ar vinde cantitatea y_e = 55.15 Kg cartofi si s-ar primi suma maxima z_e = 60.7502 lei .

c) Cazul produselor de necesitate mijlocie

In acest caz cantitatea de produs y scade mai intai lent apoi brusc odata cu cresterea pretului

de vinzare x , deci cantitatea de produs vanduta are forma y = 1 / (a.x² + b ) cu punctul de inflexiune

x_i = (b / 3a )^{1 /2}

Coeficientii a , b se gasesc din conditiile :

1 / y_c = a.x_c² + b ; 1 / y_p = a.x_p² + b

Avem z = x.y = x / (a.x² + b) deci z = maxim pentru z' = ( - a.x² + b ) / (a.x² + b )² = 0 asa ca x_e = (b / a)^{1 / 2} deci y_e = 1 / 2b si z_e = x_e.y_e = maxim .

Trebuie sa avem b / a > 0 de unde x_p > x_c.(y_c / y_p)^{1 / 2} .

Daca aceasta conditie nu este indeplinita , trebuie sa alegem alt x_p .

Exemplu:

Un vanzator a vandut la piata cu pretul curent x_c = 2 lei / Kg in T =10 ore o cantitate y_c = 10 kg conopida pentru care a primit suma z_c = 20 lei .

A doua zi a vandut la aceeasi piata cu pretul de proba x_p = 2.5 lei / Kg , tot in T = 10 ore , o

cantitate y_p = 8 Kg conopida pentru care a primit suma z_p= 20 lei.

Conditia x_p > x_c.(y_c / y_p)^{1 / 2} este indeplinita .

Din formulele de mai sus rezulta pretul de vinzare economic x_e = 2.2361 lei /Kg cu care in

T = 10 ore , s-ar vinde cantitatea y_e = 9 Kg conopida si s-ar primi suma maxima z_e = 20.1246 lei .

d) Cazul produselor de necesitate mica

In acest caz cantitatea de produs y scade brusc odata cu cresterea pretului de vinzare x , deci cantitatea de produs vanduta are forma y = 1 / (a.x + b )²

Coeficientii a , b se gasesc din conditiile :

1 / y_c = (a.x_c + b)² ; 1 / y_t = (a.x_t + b)²

Avem z = x.y = x / (a.x + b)² deci z = maxim pentru z' = (b - a.x) / (a.x+b)³

= 0 asa ca x_e = b / a deci y_e = 1 / 2b si z_e = x_e.y_e = maxim .

Exemplu:

Un vanzator a vandut la piata cu pretul curent x_c = 3 lei / Kg in T =10 ore o cantitate

y_c = 10 kg capsuni pentru care a primit suma z_c = 30 lei .

A doua zi a vandut la aceeasi piata cu pretul de proba x_p = 4 lei / Kg , tot in T = 10 ore ,

o cantitate y_p = 7 Kg capsuni pentru care a primit suma z_p= 28 lei.

Din formulele de mai sus rezulta pretul de vinzare economic x_e = 2.1222 lei /Kg cu care in

T = 10 ore , s-ar vinde cantitatea y_e = 14.56 Kg capsuni si s-ar primi suma maxima z_e = 30.9077 lei .

Programul PRET face aceste calcule .

7)Fie x = cheltuieli de productie si y = venitul anual la cultura porumbului (lei).

Avem deci profitul este . Profitul este maxim daca deci cu solutia si profitul maxim . Avem deoarece .

8) Inlocuirea optima a echipamentelor

Echipamentele sufera in timpul utilizarii uzura fizica deci necesita cheltuieli de intretinere si reparare.

Aparitia de echipamente noi provoaca uzura morala a celor vechi care trebuie inlocuite.

Momentul optim al inlocuirii echipamentelor vechi are ca scop minimizarea cheltuielilor medii de

intretinere si reparare luand in calcul si cheltuielile de cumparare si instalare si valoarea de recuperare prin revinzare sau casare(valorificarea materialelor refolosibile si reconditionarea pieselor vechi) a acestor echipamente .

A.    Modele discrete de inlocuire optima a echipamentelor

Fie C₀ cheltuielile de cumparare si instalare a unui echipament la momentul 0 si fie C₁ ,., C_n

cheltuielile de intretinere si reparare a echipamentului la momentele de timp 1,., n .

Fie V_n valoarea de recuperare prin revanzare sau casare a echipamentului la momentul de timp n .

Cheltuielile medii pe perioada de timp 0 ; n sunt :

f(n) = ( C₀ - V_n ) + (C₁+.+C_n ) / n

care trebuie sa fie minime la momentul optim n₀ cu f(n₀ - 1) > f(n₀) < f(n₀ + 1) .

In cazul in care dorim actualizarea cheltuielilor , fie d rata dobanzii si d = 1 / (1+d) coeficientul de actualizare ( 0 < d < 1 ) .

In acst caz cheltuielile medii pe perioada de timp 0 ; n vor fi :

g(n) = ( C₀ - dⁿ. V_n ) + (C₁+ d.C₂ +.+d ^{n - 1} .C_n ) / n

care trebuie sa fie minime la momentul optim n₀ cu g(n₀ - 1) > g(n₀) < g(n₀ + 1) .

Pentru d = 0 deci d = 1 reobtinem modelul fara actualizarea cheltuielilor .

Exemplu

Fie un echipament cu C₀ = 50 unitati monetare si valorile descrescatoare V₁,.,V_n si respectiv

crescatoare C₁,.,C_n in aceleasi unitati monetare , date de tabelul urmator penztru n = 10 ani :

a)      Se cere momentul optim n₀ al inlocuirii echipamentului fara actualizarea cheltuielilor ;

b)      Se cere momentul optim n₀ al inlocuirii echipamentului cu actualizarea cheltuielilor la o rata a dobanzii d = 5 % deci d

Solutie

a)      Calculele se exprima in tabelul de mai jos.

Avem n₀ = 3 ani cu cheltuieli medii minime f(n₀) = 14.33 unitati monetare .

b)      Calculele se exprima in tabelul de mai jos .

Avem n₀ = 3 ani cu cheltuieli medii minime actualizate f(n₀) = 15.04 unitati monetare .

B.     Modele continue de inlocuire optima a echipamentelor

Fie C₀ cheltuielile de cumparare si punere in functiune a unui echipament la momentul de timp

t = 0

Fie a(t) functia de depreciere a echipamentului in intervalul de timp 0 ; t ; ea este o functie descrescatoare cu a(0) = 1 si a(t) 0 pentru t

Valoarea de recuperare prin revanzare sau casare a echipamentului va fi C₀. a(t) .

Fie C(t) cheltuielile de intretinere si reparare a echipamentului la momentul de timp t deci cheltuielile cumulate de intretinere si reparare a echipamentului in intervalul de timp 0 ; t vor fi

Avem β(0) = 0 si β(t) este crescatoare pe [0 ; +∞] .

Cheltuielile medii pe perioada de timp [0 ; t] sunt f(t) = / t care trebuie sa fie minime la momentul de timp t₀ care este radacina pozitiva a ecuatiei f '(t) = 0 .

Deoarece f ''(t₀ ) > 0 , t₀ va fi valoare de minim a cheltuielilor medii f(t).Cheltuielile medii minime vor fi f₀ = f(t₀) .

In cazul in care dorim actualizarea cheltuielilor , fie d rata dobanzii si δ(t) = 1 / (1+d)^t functia de actualizare a cheltuielilor .

In acest caz cheltuielile medii pe perioada de timp [0 ; t] vor fi :

g(t) = / t

care trebuie sa fie minime la momentul de timp t₀ care este radacina pozitiva a ecuatiei g '(t) = 0 .

Deoarece f ''(t₀ ) > 0 , t₀ va fi valoare de minim a cheltuielilor medii actualizate g(t).

Cheltuielile medii minime vor fi f₀ = f(t₀) .

Pentru d = 0 deci δ = 0 reobtinem modelul continuu fara actualizarea cheltuielilor.

Exemplu

Fie un echipament cu α(t) = b / (at+b) care indeplineste conditiile a(0) = 1 si a(t) 0 pentru

t

Fie C(t) = C.t deci β(t) = C.t² / 2 care verifica conditiile β(0) = 0 si β(t) este crescatoare pe

Avem f(t) = / t adica f(t) = (aC₀) / ( at+b) + (C.t ) / 2 asa ca :

f '(t) = - (a².C₀ ) / (at+b)² + C / 2 = 0 cu solutia pozitiva t₀ = ( 2C₀ / C) ^1/2 - b / a .

Cum f ''(t₀ ) > 0 , t₀ este punct de minim al cheltuielilor medii f(t) . iar f₀ = f(t₀) sunt cheltuielile medii minime .

In cazul actualizarii cheltuielilor cu rata dobinzii d , avem functia de actualizare a cheltuielilor

δ(t) = 1 / (1+d)^t deci cheltuielile medii au forma :

t₀ va fi solutia pozitiva a ecuatiei g'(t) = 0 . Cum g ''(t₀) > 0 , t₀ va fi punct de minim iar valoarea

cheltuielilor medii actualizate minime este g₀ = g(t₀) .

4 Metode iterative de rezolvare a ecuatiilor

Conform teoremei Fermat 3 punctele de maxim sau minim ale unei functii se gasesc printre radacinile ecuatiei . Este deci necesara aflarea radacinilor reale ale unei functii, adica a punctelor de intersectie ale graficului functiei cu axa 0x.

Daca functia este un polinom atunci ecuatia se numeste ecuatie algebrica. In caz contrar functia contine in expresia ei alte functii elementare (, , , , , , , , etc.) si ecuatia se numeste transcendenta.

De cele mai multe ori ecuatiile de forma nu au radacini exacte (intregi sau rationale) ci radacini aproximative.

Aceste radacini aproximative se afla prin metode iterative care vor fi prezentate in continuare.

Prima problema in rezolvarea ecuatiilor prin metode iterative este localizarea radacinilor reale adica gasirea de intervale in care se gaseste cate o radacina (simpla sau multipla).

O radacina a ecuatiei , este de multiplicitate m 2 daca dar .

Prima etapa in localizarea radacinilor reale ale ecuatiei este gasirea unui interval care sa contina toate radacinile reale ale ecuatiei. Pentru ecuatii polinomiale de forma: avem:

Teorema 5

Daca a este radacina reala a lui si , vom avea

Demonstratie

Impartind la nevoie cu , putem presupune ecuatia de forma: cu .

a)Daca se poate arata prin inductie ca pentru :

Fie , , .

Daca rezulta pentru deci in final pentru .

b)Avem: de unde:

Rezulta: deci polinomul: are proprietatea .

Pe de alta parte pentru deci : Q.E.D.

Localizarea propriu zisa a radacinilor ecuatiei se poate face cu sirul Rolle.

Conform teoremei lui Rolle, daca functia este derivabila pe R , intre doua radacini ale functiei se gaseste cel putin o radacina a derivatei sau cu alte cuvinte, intre doua radacini ale derivatei se gaseste cel mult o radacina a functiei (in cazul unei schimbari de semn a functiei pentru cele 2 radacini ale derivatei sale).

Deci daca cunoastem radacinile ecuatiei putem localiza radacinile ecuatiei . Pentru ecuatii polinomiale avem:

Aici sunt aranjamentele de n luate cate k:

Localizarea radacinilor ecuatiei polinomiale se va face astfel:

are o radacina reala cu care se localizeaza radacinile lui .

are cel mult 2 radacini reale cu care se localizeaza radacinile lui , etc.

are cel mult radacini reale cu care se localizeaza radacinile lui .

Vom prezenta in continuare patru metode iterative de rezolvare a ecuatiei , unde f este continua pe , si exista o singura radacina necunoscuta .

I)Metoda bisectiei (injumatatirii)

1)Luam a₀ =a; b₀ = b;

2)Cunoscand pe a_{n - 1} , b_{n - 1} , c_{n - 1} vom defini pe a_n, b_n, c_n astfel:

Daca luam a_n = c_{n - 1} ; b_n = b_{n - 1} si .

Daca luam a_n = a_{n - 1} ; b_n = c_{n - 1} si.

Daca luam a_n = a_{n - 1} ; b_n = b_{n - 1} si c_n = c_{n - 1} .

Sirul c_n tinde catre radacina necunoscuta unica a ecuatiei .

Eroarea antecalculata este deoarece

Eroarea poscalculata este deoarece

Eroarea de verificare este

Exemplu

Fie ecuatia pentru care se stie ca exista si este unica radacina . Luam iteratii deci avem radacina a c₁₀ = 0.682129 (3 zecimale exacte)

; ;

Programul BISEC face aceste calcule.

II)Metoda coardei (secantei)

1)Luam a₀ =a; b₀ = b;

2)Cunoscand pe a_{n - 1} , b_{n - 1} , c_{n - 1} vom defini pe a_n, b_n, c_n astfel:

Daca luam a_n = c_{n - 1} ; b_n = b_{n - 1} si .

Daca luam a_n = a_{n - 1} ; b_n = c_{n - 1} si .

Daca luam a_n = a_{n - 1} ; b_n = b_{n - 1} si c_n = c_{n - 1} .

Sirul c_n tinde catre radacina necunoscuta unica a ecuatiei .

a)Daca pe atunci este crescatoare pe si este convexa pe . In acest caz eroarea antecalculata este: caci .

b)Daca pe atunci este descrescatoare pe si este concava pe . In acest caz eroarea postcalculata este: caci .

Fie derivabila pe si marginita pe : pentru orice . In acest caz eroarea poscalculata este: caci avem: . Eroarea de verificare este

Exemplu

Fie ecuatia pentru care se stie ca exista si este unica radacina . Avem strict descrescatoare pe iar pe .

este marginita pe si iar . Luam iteratii deci avem radacina a c₅ = 0.6821758 cu trei zecimale exacte. Pentru EA folosim relatia de la punctul b) deci avem EA = 0.2373047

Deasemenea EP = 0.0001212 ;

Programul SECAN face aceste calcule.

III)Metoda aproximatiilor succesive

Presupunem ca ecuatia are o radacina reala unica .

Scriem ecuatia sub forma: unde ; g : [ c - r ; c + r } R .

Radacina a a ecuatiei satisface relatia adica a este punct fix al functiei g. Radacina a se poate obtine ca limita a sirului recurent , . Pentru ca sirul recurent sa fie convergent, sunt suficiente doua conditii:

Functia g trebuie sa fie contractie adica exista astfel ca pentru orice sa avem:

a)Daca de exemplu este derivabila pe si derivata sa are o margine superioara subunitara , atunci conform teoremei Lagrange, functia g este contractie.

b)Deasemenea daca functia f : [ c - r ; c + r ] R este monoton crescatoare iar derivata este marginita pe adica exista cu pentru orice , atunci pentru orice functia cu este contractie.

Functia g trebuie sa indeplineasca conditia:

c)Aceasta conditie este indeplinita de exemplu daca unde este constanta de contractie.

d)In conditiile punctului 1) b), daca atunci pentru orice contractia indeplineste conditia (2).

Teorema 6 (de punct fix)

Daca este contractie pe cu constanta de contractie si este punctul fix unic al lui g si in plus atunci sirul recurent cu este convergent catre a

Demonstratie

Avem:

Dar asa ca . Avem cu deci pentru conform criteriului comparatiei (clestelui) rezulta .Q.E.D.

Eroarea antecalculata este: deoarece .

Eroarea postcalculata este: deoarece .

Eroarea de verificare este

Exemplu

Fie ecuatia pentru care se stie ca exista si este unica radacina . Fie cu .

Avem

In plus . Luam iteratii deci avem radacina a c₃₀ = 0.7390823 cu 5 zecimale exacte. EA = 0.0056386; EP = 0.0000301; EV = 0.0000048

Programul APROX face aceste calcule.

IV)Metoda tangentei (Newton)

Fie ecuatia care are radacina unica in intervalul

Presupunem ca este derivabila de doua ori pe intervalul si ca exista astfel ca:

pentru orice .

Fie sirul recurent cu

Teorema 7

Fie functia derivabila de doua ori pe si care satisface relatiile (1), (2).

Daca atunci pentru orice sirul recurent: este convergent catre a

Demonstratie

Avem formula Taylor in punctul a

cu .

Rezulta:

Avem:

conform relatiilor (1) si (3)

Avem:

.

Rezulta

Dar deci pentru .Q.E.D.

Pentru a alege valoarea initiala x₀ a sirului recurent vom proceda astfel: fie f : [ p₁ ; p₂ ] R derivabila de doua ori pe cu si care satisface conditiile (1), (2) pe intervalul .

Prin metoda bisectiei putem ajunge la un interval astfel ca si . In acest caz asa ca si alegem:

Eroarea antecalculata rezulta din demonstratia teoremei 7: deoarece .

Eroarea postcalculata este: deoarece .

Eroarea de verificare este:

Exemplu

Fie ecuatia cu radacina unica .

Avem ; deci avem: ; ;

Prin metoda bisectiei gasim cu si

Rezulta ; deci alegem de exemplu

Sirul recurent are forma:

Dupa iteratii gasim radacina: a 0.6823719 cu 4 zecimale exacte.

Eroarea antecalculata este: EA = 0.0000153

Eroarea postcalculata este: EP = 0.0071547

Eroarea de verificare este: EV = 0.0001056

Programul TANG face aceste calcule.

Rezumat

In acest capitol se defineste functia reala de o variabila reala , se enumera proprietatile ei , se prezinta rolul derivatelor de ordinul unu si doi in studiul functiei , in special la gasirea maximelor

si minimelor functiei . Capitolul se incheie cu metodele iterative de rezolvare a ecuatiilor cu computerul.

Intrebari

Care este rolul derivatei de ordinul unu in studiul functiei de o variabila reala ?

Care este rolul derivatei de ordinul doi in studiul functiei de o variabila reala ?

Cum se gasesc maximele si minimele unei functii de o variabila reala ?

Ce aplicatii au in agricultura maximele si minimele unei functii de o variabila reala ?

Bibliografie

1. Stanasila O. " Analiza liniara si geometrie "Vol. I - II,Editura ALL ,2000 - 2001

2. Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti " Editura CISON,2000

3. Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti - culegere de probleme" Editura CISON,2000

4. Ene D. " Matematici (I) " Editura CERES , 2004

5. Gogonea S. , Ene D. " Analiza numerica " Editura Cartea Universitara , 2005

6. Ene D.,Gogonea S. "Metode numerice" Editura Cartea Universitara , 2005