DIFEOMORFISME

DIFEOMORFISME

1. DIFEOMORFISME DE CLASA C¹

Fie U si V doua multimi deschise din Rⁿ.

Definitia 1.1 (difeomorfism)

O functie     se numeste difeomorfism de

clasa C¹ (C¹- difeomorfism) de la U la V, daca:

f este bijectiva

f este de clasa C¹ pe U

f ^-1 este de clasa C¹ pe V.

Observatia 1.2

a)      Inversul unui C¹-difeomorfism este C¹-difeomorfism.

b) Compunerea a doua C¹-difeomorfisme este C¹-difeomorfism.

Propozitia 1.3

Daca f: U V este un C¹-difeomorfism atunci pentru orice x U are loc relatia

, unde y =f(x

Demonstratie:

Cum prin ipoteza, f si f^-1 sunt functii continue, diferentiabile iar folosind teorema de diferentiere a functiilor compune, pentru , daca y = f(x ), avem:

de unde .

Teorema 1.4

Fie f:U V un homeomorfism.

Daca f este diferentiabila in x₀ I U si este inversabila, atunci f ^-1este diferentiabila in y₀ = f(x₀).

Demonstratie:

Cum prin ipoteza, f este bijectiva, pentru k I Rⁿ cu proprietatea ca y₀ + k = f(x₀ + h) si anume h =f ^-1(y₀+k) - f ^-1(y₀).

Daca f este diferentiabila in x₀ I U, atunci din egalitatea y₀ + k = f(x₀ + h) obtinem:

(1)

unde.

Pe de alta parte, fiind inversabila, avem:

si atunci

pentru i. y₀ + kI V.

Daca k _Rⁿ, atunci, din continuitatea functiei f^-1 rezulta ca h 0_Rⁿ si deci, deoarece

atunci:

Vom arata ca raportul este marginit pe o vecinatate a originii .

Din egalitatea (1) rezulta:

Cum apartine sferei unitate care fiind marginita si inchisa din Rⁿ, iar aplicatia

fiind continua avem:

.

Cum aIS este nenul si este inversabila, rezulta ca

Pentru suficient de mic avem: , de unde

.

Functia f^-1 fiind continua, pentru suficient de mic, obtinem:

este marginit.

Prin urmare

deci f^-1 este diferentiabila in y₀.

Vom accepta fara demonstratie urmatoarea teorema:

Teorema 1.5

Fie f:U V un homeomorfism.

Daca f este C¹ pe U si df_x este inversabila pentru xIU, atunci f^-1este de clasa C¹ pe V (adica f^-1 este C¹-difeomorfism).

Teorema 1.6 (de inversiune locala)

Fie A Ì Rⁿ o multime deschisa si x₀ I A

Daca f: AÌRⁿ Rⁿ este o functie de clasa C¹ pe A si este inversabila, atunci UÌA deschisa si V I Rⁿ deschisa a.i. functia h: U V, definita prin h(x) = f(x), este C¹-difeomorfism.

Demonstratie:

Consideram aplicatiile:

, unde notam

A_{1 =} j(A), B₁=Y(f(A)). Functiile j si Y sunt difeomorfisme. Consideram functia f :A₁ B₁ f₁ Y f j

Observam ca

Se arata usor ca functia f este diferentiabila in x₀ Û f este diferentiabila in 0.

Aceasta ne permite sa fie suficient sa demonstram teorema pentru functii

f: AIRⁿ Rⁿ de clasa C¹ pe A cu 0I A, f(0) =0 si df₀ inversabila.

.

Conform teoremei de diferentiabilitate a functiilor compuse F este diferentiabila in 0 si

Fie g: AÌ Rⁿ Rⁿ    g = F - 1_Rⁿ

Aplicatia g este diferentiabila in 0 si dg₀ = dF₀ - 1_Rⁿ = 0 (aplicatia liniara identic nula).

Cum gI C¹(A), aplicatia diferentiala dg :A L(Rⁿ, Rⁿ) este continua pe A, deci d > a.i. pentru xI A, cu x < d are loc

.

Conform teoremei de medie, pentru orice x,x¹ID (0,d rezulta:

(2)

In particular, pentru x = 0, din egalitatea (2) obtinem xID(0,d

(3)

Fie: .

Evident V este deschisa si din continuitatea lui F rezulta ca U este deschisa, iar

Consideram fixat.

Definim aplicatia prin:

Atunci pentru

Pe de alta parte, x₁, x₂ I D(0,d

deci j_y este o - contractie.

Conform principiului contractiei, j are un unic punct fix x*ID(0,d j_y(x*) = x*.

Dar j_y(x*) = x* Û y = F(x*) si prin urmare, aplicatia H:U V' definita prin    H(x) = F(x) este o bijectie. Atunci

si de aici .

Prin urmare, pentru y',y''IV', deci H^-1 fiind lipschitziana, este continua.

Din cele prezentate mai sus rezulta ca aplicatia H:U V' este un homeomorfism.

Deoarece dF(0) = 1_Rⁿ rezulta ca matricea J_F(0) este nesingulara, adica det J_F(0) ¹

Cum FIC¹(A), elementele matricii J_F sunt functii continue pe A si prin urmare aplicatia

x: A det J_F(x) I R este continua pe A.

Atunci, UIV(0), UÌU a.i. det J_F(x) ¹ xIU, deci dF_x este inversabila, xIU.

Daca luam V = H(U), atunci V este o multime deschisa.

Fie ^H _U restrictia lui H la multimea U.

Deoarece ^H _U:U V este un homeomorfism de clasa C¹ pe U si pentru x IU, dH_x = dF_x este inversabila, rezulta ca ^H _U este C¹-difeomorfism.

Fie h:U V, h(x) = f(x). Atunci din ^H _U = (df₀) o h rezulta h = df₀ o ^H _U si deci h este C¹ -difeomorfism.

Aplicatie (Schimbari de variabile)

Fie U, V doua multimi deschise din Rⁿ si

f: (x₁, x₂, ., x_n) I U Ì Rⁿ y = f(x₁, x₂, ., x_n) IR o functie de clasa C^k, k³1, pe multimea U.

Presupunem ca aplicatia j : V U

j: (u₁, u₂,., u_n) (x₁, x₂, ., x_n) = (j (u₁, u₂,., u_n)),., j_n(u₁,.,u_n))

este un difeomorfism de clasa C^k de la V pe U.

Se stie ca atunci functia g : V R, g = f o j, este de clasa C^k pe V. Ne propunem sa calculam derivatele partiale ale lui g.

In cazul ca putem explicita pe j , atunci pentru calculul derivatelor partiale punem

Y j Y Y Y_n) si ne folosim de formula

unde x = (x₁, x₂,., x_n), u = (u₁, u₂, .,u_n).

Folosind formula de derivare a functiei compuse f = g o j avem

, unde u = y(x).

In cazul cand nu putem explicita pe j , atunci din relatia matriciala     J_g(u) = J_f(x)J_j(u) unde x = j(u) se obtine sistemul Cramer

in necunoscutele (determinantul

sistemului este jacobianul lui j in u). Prin rezolvarea sistemului se obtin in functie de

Teorema 1.7 (a functiei implicite)

Fie o functie de clasa C¹ pe multimea deschisa A:

Daca (x_o, y_o) I A, astfel incat

f(x_o, y_o) = 0_R^p

atunci

a)     

b)      , astfel incat y_o = g(x_o) si f(x, g(x)) = 0_R^p , xIU.

c)     

Demonstratie:

Fie h: A Ì Rⁿ R^p Rⁿ R^p definita prin, h(x,y) = (x, f(x, y)). Atunci

si acesta este nenul conform ipotezei 2).

In plus, h este de clasa C¹ pe A.

In baza Teoremei de inversiune locala, si o vecinatate

deschisa V* a lui h(x_o,y_o) = (x_o, f(x_o, y_o)) = (x_o, 0_R^p), V* = h(U*), astfel incit functia j:U* V*, definita prin este un C¹ -difeomorfism.

Multimea U* poate fi aleasa de forma U* = U V, unde U este o multime deschisa din Rⁿ cu x_oI U, iar V este o multime deschisa din R^p, cu y_oIV.

Asadar, j:U V V* este un C¹ -difeomorfism, iar inversul sau j : V* U V este de forma j (x,y) = (x, Y(x,y)), unde Y:UxV R^p este de clasa C¹ pe UxV.

Fie p:U V R^p, definita prin p(x,y) = y.Atunci p o j = f si

deci f(x,y(x,0_R^p)) = 0_R^p.

Aplicatia cautata este g:U V, g = (g₁,., g_p) definita prin g(x) = y(x, 0_R^p).

Unicitatea lui g rezulta din unicitatea lui y

Pentru a deduce formula de derivare de la punctul c) observam ca pentru x I U

sau

Sistemul (4) este liniar si neomogen, cu p ecuatii si p necunoscute. Cum prin ipoteza, determinantul sistemului (4)

este nenul, sistemul are solutie unica si prin rezolvarea lui cu regula lui Cramer se obtine formula c

In continuare, in ipotezele Teoremei 4.4, vom considera urmatoarele cazuri particulare:

I.          Cazul n = p = 1: Functia f:AÌ R R R, (x,y) f(x,y) se anuleaza in punctul (x₀,y₀) I A, adica f(x₀,y₀) = 0 si .

Atunci astfel incat:

, gIC¹(U) pentru care f(x, g(x)) = 0, xIU si .

II. Cazul n ¹ 1, p =1: Functia f: A Ì Rⁿ R R, unde x = (x₁, x₂, ., x_n) se anuleaza

in punctul (x₀, y₀) IA, adica f(x₀, y₀) = 0 si .

Atunci, o vecinatate U a punctului x₀ = (a_1,a₂,., a_n), U Ì Rⁿ, o vecinatate deschisa V a punctului y₀, VÌ R si o unica functie g : U V, de clasa C¹ pe U astfel F(x, g(x)) = 0, x I U si

III. Cazul n = 1, p ³ 2: Fie f: A Ì R R^p R^p, f = (f₁, f₂, ., f_p), unde x I R,    y = (y₁, y₂, ., y_p) I R^p.

Ecuatia f(x,y) = 0_R^p este echivalenta cu sistemul

Daca pentru (x₀, y₀) I A, f(x₀, y₀) = 0_R^p si atunci exista o vecinatate deschisa U Ì R, a lui x₀, o vecinatate deschisa VÌ R^p, a lui y₀ si o unica functie g: U V,    g = (g₁, ., g_p) de clasa C¹ pe U astfel incat