CURBE PLANE - Forme patratice afine

CURBE PLANE

1 Forme patratice afine

Definitie. Scriere matriceala

Formele patratice afine se definesc pe spatii afine, in particular, pe spatiile punctuale euclidiene E₁,E₂,E₃.

Consideram spatiul euclidian bidimensional E₂ raportat la un reper cartezian . Fie M(x,y) un punct arbitrar din E₂.

Definitia 23 O functie f : E₂ R definita prin functia polinomiala:

f (M)=a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2(a₁₀x+a₂₀y)+a₀₀

se numeste forma patratica afina pe E₂.

Numerele reale a₁₁, a₁₂, a₂₂, a₁₀, a₂₀, a₀₀ se numesc coeficintii sau coordonatele formei patratice f in reperul R.

Unei forme patratice i se pot asocia matricile:

(1)

(2)

Fie X matricea coloana a coordonatelor lui M

Folosind matricele (1) si (2) putem scrie:

f(M)=^tXAX+2A₀X+a₀₀

sau

(3)

Invariantii afini ai unei forme patratice afine

Fie un reper cartezian. Un alt reper din E₂ este determinat daca cunoastem vectorul si baza in raport cu baza initiala. Relatiile:

(4)

cu

;

se numesc formulele de schimbare a reperului R cu reperul R', iar matricea:

(5)

se numeste matricea de trecere de la reperul R la reperul R'.

Fie M un punct de coordonate (x,y) respectiv (x',y') fata de R si R'. Din relatia deducem:

(6)

numite ecuatiile transformarii de coordonate corespunzatoare schimbarii de

repere. O roto-translatie plana este de forma (6) cu |T|=1.

Teorema 1 Fie D, D' matricele coeficientilor unei forme patratice

afine in raport cu reperele carteziene R, R'. Daca trecerea de la R la R' este data prin relatiile (2) atunci:

(7)

unde

Demonstratie. Tinand seama de (3), scrierea matriciala a formei patratice afine f fata de reperul R' este:

(8)

Pe de alta parte inlocuind in (6) matricea X prin expresia:

X=T₀+TX'

si identificand termenii asemenea din expresia obtinuta si din (8) se deduce (7).

Consecinte

1. Relatia (7) este echivalenta cu sistemul de relatii

A'=^tTAT, A'₀=(^tT_oA+A₀)T, a'₀=a₀+2AT₀+^tT₀AT₀ (9)

2. Folosind proprietatea rangului unei matrici de a ramane neschimbat la inmultirea unei matrice cu o alta matrice patratica nesingulara, din relatiile (5) si A'= ^tTAT obtinem:

rang D'= rang D,

rang A'= rang A

Spunem ca r'=rang D si r=rang A sunt invarianti afini ai formei patratice afine f.

Determinantii: D=det D, d =det A se numesc invariantul mare, respectiv invariantul mic al formei f.

Numerele reale r=rang A, r'=rang D, d=det A si D=det D sunt si invarianti izometrici intrucat orice schimbare izometrica (in particular roto-translatia) induce o schimbare de baze ortonormate in E₂.

Din (5) si A'=^tTAT mai rezulta:

D D(det T)², d d(det T)²    (10)

Pentru d 0 din (12) avem:

(12)

adica raportul discriminantilor e un invariant afin al lui f. De asemenea tot din (12) rezulta ca si semnele discriminantilor lui f sunt invarianti afini si-i vom nota cu sig D respectiv sig d

Forma canonica a unei forme patratice afine

Definitia 2 Spunem ca o forma patratica afina f pe un plan E₂ este adusa la forma canonica daca exista un reper in E₂ astfel incat f sa se poata scrie sub una din formele:

a) f(M)=l x²+l y² ;

b) f(M)= l x²+l y² +a a

c) f(M)= l x²+2y

Reperul fata de care f are forma canonica se numeste reper canonic pentru f.

Teorema 2 Daca o forma patratica afina pe E₂ este data prin forma polinomiala, atunci exista cel putin un reper cartezian in E₂ fata de care f sa aiba forma canonica: f are forma canonica de tip

a)      daca r' =r,

b)      daca r' =r+1,

c)      daca r' =r+2.

Demonstratie. Consideram o forma patratica afina f pe E₂. Expresia ei, (13), contine si o forma patratica:

f₂(M)=a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y², de matrice A. (13)

Daca l l sunt valori proprii ale matricei A atunci exista o transformare de coordonate:

X=TY, det T

astfel incat f₂ sa aiba expresia canonica,

f₂(M)= l x'²+l y'² deci (14)

f(M)= l x'²+l y'²+2(b₁x'+b₂y')+b₀₀    (15)

In legatura cu forma (15) pot exista urmatoarele situatii:

l l 0, deci r=2. Facand o translatie:

(16)

obtinem:

f(M)= l (x")²+l (y")²+c₀    (17)

unde c₀ e dat de (8) ultima relatie cu T=I₂ (matricea unitate). Daca c₀=0, r'=2, deci r'=r si f are forma canonica de tip a) ; daca c₀ 0, r'=3, deci r'=r+1 si f are forma canonica de tip b)..

Una din valorile proprii l l este nula, deci r=1. Fie l =0 si l 0. Efectuand translatia:

(18)

obtinem pentru f expresia:

f(M)= l (x")²+2c₂y"+c₀

unde c₂ si c₀ sunt dati de (8) cu

T=I₂ si T₀=. (19)

Avem trei subcazuri:

Daca c₂=c₀=0 avem r' =1, deci r'=r si f are forma canonica de tip a). Daca c₂=0, c₀ 0 avem r'=2, deci r'=r+1 si f este de tip b).

Daca c₂ 2 efectuam o transformare de coordonate de forma:

prin care f se reduce la tipul c). in acest caz r' =3 deci r'=r+2. Transformarea de coordonate care determina reperul canonic se obtine compunand transformarea (14) cu (15) sau cu (17) si (19).

Consideram spatiul punctual euclidian E₃.

Definitia 3. O forma patratica afina pe E₃ este o functie f:E₃ R definita prin functia polinomiala:

(20)

unde a_ij=a_ji, i,j,=0,1,2,3.

Definitia 4. O forma patratica afina f pe E₃ spunem ca este adusa la forma canonica daca exista un reper cartezian in E₃ astfel incat f sa se poata scrie sub una din formele:

f(M)=l x²+l y²+l z²;

f(M)= l x²+l y²+l z²+a a (21)

f(M)= l x²+l y²+2z

Folosind un procedeu analog cu cel folosit in demonstratia teoremei 9 se poate demonstra teorema urmatoare.

Teorema 2 Daca o forma patratica afina pe E₃ este data prin (20) atunci exista cel putin un reper cartezian in E₃ care sa fie reper canonic pentru f. Mai mult, f are forma canonica de tip a), b), c), dupa cum r'=r,r'=r+1, r'=r+2 respectiv, unde r' =rang D; r=rang A; D=[a_ij], i,j=1,2,3; A=[a_ij], i,j=.

2 Conice

Definitie si ecuatie

Prin nucleul unei forme patratice afine f pe un spatiu punctual euclidian se intelege multimea punctelor din acel spatiu pentru care forma se anuleaza.

Definitia 5. Nucleul unei forme patratice afine f pe un plan E₂ se numeste conica sau curba de ordinul doi, adica:

G=ker f=f^-1(0)=

Daca forma patratica afina este data prin (3), atunci relatia:

a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2(a₁₀x+a₂₀y)+a₀₀=0 (22)

se numeste ecuatia generala a conicei G. Uneori vom scrie aceasta ecuatie sub forma:

f(x,y)=O (23)

Daca forma patratica afina f este scrisa sub forma canonica, atunci ecuatia conicei corespunzatoare se numeste ecuatie canonica, iar reperul respectiv, reper canonic pentru conica G

Ecuatia redusa (normala) a unei conice

Intrucat o forma patratica afina admite o scriere canonica rezulta ca printr-o transformare de coordonate ecuatia unei conice se poate scrie intotdeauna sub una din formele:

l x²+l y²=0,    daca r'=r (24)

l x²+l y²+a a 0 daca r'=r+1 (25)

l x²+2y=0,    daca r'=r+2 (26)

O astfel de ecuatie se numeste ecuatie canonica. Scrierea unei astfel de

ecuatii mai poate fi simplificata. De exemplu ecuatia (24) dupa impartire cu l l (presupunand l l 0) devine ecuatia:

(cu l a², l b²) numita ecuatie redusa (normala) a conicei de ecuatie canonica (24).

Procedand la fel cu ecuatiile (25), (26) obtinem ecuatiile reduse

ale conicelor in aceste cazuri. Analizand toate situatiile posibile in functie de l l a, obtinem rezultatul prezentat in urmatoarea teorema.

Teorema 4. Daca o conica G E₂ este data prin ecuatia sa generala, exista intotdeauna un reper in E₂ astfel incat ecuatia sa redusa sa aiba una din formele:

1) x² + y²- r² = 0, cerc (27)

Fig.1

2) , elipsa (28)

Fig.2