NOTIUNI DE BAZA

Clasa a VII-a

Algebra

Multimea numerelor intregi. Multimi. Produs cartezian

vom numi produs cartezian al multimilor A si B notat AB, multimea perechilor ( a,b ), unde a є A si b є B

Relatiile <", >" intre numerele rationale

un numar rational a este mai mare decat un numar rational b, ceea ce se scrie a > b, daca exista c є Q astfel incat a = b+c

pe axa numerelor, numarul rational maimmare se va afla la dreapta celui mai mic

pentru a compara doua numere rationale se vor aduce la acelasi numitor si se vor compara numaratorii astfel obtinuti

Puterea unui numar rational

se va folosi notatia : a ^-ⁿ = 1/a ⁿ

regulide calcul cu puteri :

a ^m+a ⁿ= a ^m+n

(a ^m)ⁿ = a ^mn

a ^m : a ⁿ = a ^m-n

( a b )ⁿ = a ⁿ b ⁿ

( a/b ) ⁿ = a ⁿ / b ⁿ

Ecuatii in Q

se numeste ecuatie propozitia cu o variabila in care variabila trebuie sa verifice o egalitate

se numeste solutie a ecuatiei un numar sau mai multe numere care puse in locul variabilei formeaza o propozitie adevarata

forma generala a unei ecuatii de gradul I cu o necunoscuta este : ax + b = c, unde a, b, c є Q

rezolvarea ecuatiei inseamna gasirea solutiilor : ax + b = c <=> ax = c b <=> x = c b/a , a ≠ 0

Numere reale

se numesc numere irationale acele numere care scrise zecimal au o infinitate de cifre in dreapta virgulei care nu se repeta periodic

definim multimea numerelor reale ca fiind reuniunea dintre multimea Q a numerelor rationale si multimea numerelor irationale

reguli de calcul in R :

a√b + c√b =( a+c )√b

a√b - c√b = (a - c)√b

√a ∙√b = √a ∙ b

√a : √b = √a:b

scoaterea factorilor de sub radical se efectueaza folosind √a² =|a| => √a²∙b=|a|√b

introducerea sub radical se efectueaza astfel :

a = √a²

a√b = √a² ∙b

se va rationaliza numitorul prin amplificarea fractiei a/√b = a√b /b

pentru ridicarea la putere a unui numar real se va tine seama de (√a) ⁿ=√a ⁿ

Calcularea mediilor

Media aritmetica a numerelor a, a₁, a₂ , a_n este : m_a a+a₁+a₂ a_n / n

Media aritmetica ponderata a numerelor a, a₁, a₂ , a_n avand ponderile p, p₁, p₂, p_n este : m _{a p} = a₁ p₁ + a₂ p₂ ++a_n p_n / p₁+p₂ + +p_n

Media geometrica (proportionala) a numerelor pozitive a₁ si a₂    este :

m_g =√a ∙a₂

Calcul algebric

doi termeni sunt asemenea daca au aceeasi parte literara. La litere identice corespunzand exponenti identici

adunarea si scaderea se poate efectua numai intre termeni asemenea

pentru a efectua inmultirea se tine seama de :

a ∙(b+c) = ab + ac

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

formule de calcul prescurtat:

(a + b)² = a² +2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a - b)(a + b) = a² - b²    

(a + b +c)² = a² + b² + c² +2ab +2ac +2bc

pentru a rationaliza fractia a / b√c + d√e, se va amplifica cu b√c - d√e

pentru a efectua impartirea se tine seama de : (a + b + c): d a:d+b:d+c:d

Descompunerea in factori

metode de descompunere :

scoaterea factorului comun:

a ∙ b + a ∙c = a ∙(b+c)

a ∙ b - a ∙c = a ∙(b - c)

restrangerea patratului unei sume de doi termeni:

a 2ab + b = (a+b)

a 2ab + b = (a - b)

diferenta patratelor:

a - b = (a - b)(a+b)

alte metode:

c(a+b)+d(a+b)= (a+b)(c+d)

x +x(a+b)+a ∙ b = (x+a)(x+b)

Ecuatii de gradul I cu doua necunoscute

forma generala a unei ecuatii de gradul I cu doua necunoscute este ax+by+c = 0

o ecuatie de radul I cu doua necunoscute are o infinitate de solutii sub forma perechilor (x; -c-ax /b)

multimea punctelor din plan care sunt solutiile unei ecuatii de gradul I cu doua necunoscute formeaza o dreapta numita dreapta solutiilor ecuatiei

Sisteme de ecuatii

forma generala a unui sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute este :

ax+by = c unde a, b, a`, b` sunt coeficienti si c, c` termeni liberi

a`c+b`y = c`

se numeste solutie a unui sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute o pereche de forma (x, y)є RR care verifica ambele ecuatii ale sistemului

in rezolvarea sistemelor de doua ecuatii cu doua necunoscute se pot intalni urmatoarele situatii:

sistemul are o unica solutie

sistemul nu are solutii(sistem incompatibil)

sistemul are o infinitate de solutii(sistem nedeterminat)

Geometrie

Patrulatere. Paralelogramul

se numeste paralelogram patrulaterul convex care are laturile opuse paralele doua cate doua

proprietatile paralelogramului:

laturile opuse sunt congruente doua cate doua

unghiurile opuse sunt congruente doua cate doua

unghiurile consecutive sunt suplementare

diagonalele se intersecteaza una pe cealalta in parti congruente

Linia mijlocie intr-un triunghi

segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale unui triunghi senumeste linie mijlocie

intr-un triunghi segmentul care uneste mijloacele a doua laturi este paralel cu cea de-a treia latura si are lungimea jumatate din lungimea acesteia

intr-un triunghi ABC, paralela prin mijlocul D al laturii [AB] la latura [BC] contine mijloul E al laturii [AC] si avem DE=1/2 BC

Dreptunghiul

se numeste dreptunghi un paralelogram care are un unghi drept

proprietati caracteristice:

are toate unghiurile congruente, deci drepte

are diagonalele congruente

un patrulater convex este dreptunghi daca are toate unghiurile congruente

paralelogramul care are diagonalele congruente este dreptunghi

Rombul

se numeste romb un paralelogram care are doua laturi consecutive congruente

- proprietati caracteristice:

toate laturile rombului sunt congruente

diagonalele rombului sunt perpendiculare intre ele

diagonalele rombului sunt bisectoare pentru unghiurile rombului

patrulaterul convex cu toate laturile congruente

paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb

paralelogramul in care o diagonala este bisectoarea unui unghi este romb

Patratul

se numeste patrat un dreptunghi care are doua laturi consecutive congruente

patratul are toate proprietatile dreptunghiului si rombului

intr-un triunghi dreptunghic mediana corespunzatoare ipotenuzei are lungimea egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei

daca intr-un triunghi o mediana are lungimea cat jumatatea lungimii laturii care ii corespunde, atunci triunghiul este dreptunghic

Trapezul

se numeste trapez patrulaterul care are doua laturi paralele si celelalte doua neparalele

un trapez este isoscel daca laturile neparalele sunt congruente

un trapez este dreptunghic daca o latura neparalela este perpendiculara pe baza

intr-un trapez unghiurile alaturate unei baze sunt congruente daca si numai daca trapezul este isoscel

intr-un trapez diagonalele sunt congruente daca si numai daca trapezul este isoscel

Linia mijlocie in trapez

segmentul care uneste mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numeste linie mijlocie in trapez

linia mijlocie a trapezului este paralla cu bazele si are lungimea jumatate din suma lungimilor bazelor

lungimea segmentuui inclus in linia mijlocie a unui trapez cuprins intre intersectiile sale cu diagonalele este egala cu smidiferenta lungimilor bazelor

Arii

aria unui dreptunghi este egala cu produsul dintre lungime si latime

aria unui patrat este egala cu patratul lungimii laturii

aria unui romb este egala cu semiprodusul lungimii diagonalelor

aria unui trapez este egala cu produsul dintre semisuma lungimilor bazelor sale si lungimea inaltimii

Relatii metrice. Teorema lui Thales

o paralela la una din laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente proportionale

mai multe paralele determina pe doua secante segmente proportionale

intr-un triunghi o bisectoare determina pe latura opusa doua segmente proportionale cu celelalte doua aturi

daca o dreapta determina determina pe laturile unui triunghi segmente respectiv proportionale cu aceste laturi atunci aceasta dreapta este paralela cu cea de-a treia latura a triunghiului

Asemanarea triunghiurilor

doua triunghiuri se numesc asemenea daca au toate laturile respectiv proportionale si unghiurile opse lor respectiv congruente

teorema fundamentala a asemanarii:

O paralela dusa la una din laturile unui unghi formeaza cu celelalte    sau cu prelungirile lor un unghi asemenea cu cel dat.

cazurile de asemanare:

daca doua triunghiuri au doua unghiuri respectiv congruente, atunci ele sunt asemenea

daca doua triunghiuri au cate un unghi congruent si laturile ce-l formeaza respectiv proportionale, atunci ele sunt asemenea

daca doua triunghiuri au cele trei laturi respectiv proportionale, atunci ele sunt asemenea

Relatii metrice in triunghiuri dreptunghice

in triunghiul dreptunghic ABC, m A=90s, AD inaltime, D є (BC) se cunosc urmatoarele relatii:

teorema inaltimii: AD = DB DC

teorema catetei: AB = BD BC

AC = CD BC

3. teorema lui Pitagora: BC = AB+AC

reciproca teoremei lui Pitagora :

Daca intr-un triunghi suma patratelor lungimilor a doua laturi este egala cu patratul lungimii laturii a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.

Elemente de trigonometrie

intr-un triunghi dreptunghic se definesc:

sinusul unui unghi ascutit este egal cu raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului si lungimea ipotenuzei

cosinusul unui unghi ascutit este egal cu raportul dintre lungimea catetei alaturate unghiului si lungimea ipotenuzei

tangenta unui unghi ascutit este egala cu raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului si lungimea catetei alaturate

cotangenta unui unghi ascutit este egala cu raportul dintre lungimea catetei alaturate unghiului si lungimea catetei opuse

se vor retine urmatoarele relatii:

sin x + cos x = 1 sin (90s - x)= cos x

tg x = sin x / cos x = 1/ ctg x cos (90s - x)= sin x

tg(90s - x)= ctg x

ctg(90s - x)= tg x

Cercul

se numeste cerc locul geometric al punctelor egal departate de un punct fix numit centru

se numeste coarda un segment cu capetele pe cerc

se numeste diametru coarda care contine si centru cercului(capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse)

un unghi cu varful in centrul unui cerc se numeste unghila centru. Masura unui unghi la centru este egala cu masura arcului mic cuprins intre laturile unghiului

in acelas cerc sau in cercuri congurente, la arce congurente corespund coarde congurente

perpendiculara din centrul cercului pe coarda injumatateste coarda

in acelas cerc sau in cercuri congurente, daca doua coarde sunt congurente, atunci ele se afla la aceeasi distanta de centru si reciproc

o dreapta poate sa intersecteze un cerc astfel:

intr-un punct si se numeste tangenta la cerc

in doua puncte si se numeste secanta

tangenta la cerc este perpendiculara pe raza cercului in punctul de contact

se numeste unghi inscris in cerc, unghiul cu varful pe cerc si care are ca laturi doua coarde. Masura unui unghi inscris in cerc este egala cu jumatate din masura arcului cuprins intre laturile sale

masura unui unghi cu varful pe cerc care are o latura coarda si cealalta latura tangenta la cerc este egala cu jumatate din masura arcului cuprins intre laturi

toate unghiurile inscrise intr-un semicerc sunt unghiuri drepte

dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce doua tangente la acest cerc cu urmatoarele proprietati:

tangentele sunt congruente(segmentele cu capetele in punctul de tangenta si punctul exterior de unde se duce tangenta)

semidreapta dusa din punctul exterior cntine si centtrul cercului este bisectoarea unghiului format de tangente

se numeste patrulater inscris, un patrulater care are varfurile pe cerc

un patrulater se numeste circumscris daca laturile sale sunt tangente unui cerc

patru puncte se numesc conciclice daca apartin unui cerc

un patrulater se numeste inscriptibil daca varfurile sunt puncte conciclice

un patrulater in care unghiurile formate de diagonale cu doua laturi opuse, sunt congruente, este patrulater inscriptibil

un patrulater este inscriptibil daca si numai daca unghiurile opuse sunt suplementare

Poligoane regulate

se numeste poligon convex, un poligon in care oricare ar fi o latura a sa, toate varfurile nesituate pe latura considerata se afla de aceeasi parte a dreptei in care este inclusa latura respectiva

suma masurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi este (n - 2)180s

se numeste poligonregulat un poligon convex cu toate laturile sale congruente si toate unghiurile sale congruente

orice poligon regulat se poate inscrie in cerc

se numeste apotema a unui poligon regulat segmentul care uneste mijlocul unei laturi a poligonului cu centru cercului circumscris acelui poligon

intre latura, apotema, aria poligonului si raza cercului circumscris acelui poligon exista reltiile:

pentru triunghiul echilateral:

a₃ = l₃√3/6    = R/2

A₃ = l₃√3/4 = 3R√3/4

pentru patrat:

l₄ = R√2

a₄ = l₄ / 2 = R√2 /2

A₄ = l₄ = 2R

pentru hexagonul regulat:

l₆ = R

a₆ = l₆√3 /2 = R√3 /2

A₆ = 60 l₆ √3 /4 = 3R√3

lungimea unui cerc este 2πR

aria unui cerc este πR

se numeste sector circular portiunea din interiorul unui cerc cuprinsa intre doua raze

aria unui sector circular este    πusR /360s , unde us este masura arcului cuprins intre razele sectorului

lungimea unui sector circular corespunzator unui arc de cerc avand masura de us este 2πRus /360s