Progresii aritmetice si geometrice

Progresii aritmetice si geometrice

 

Generalitati

Definitie. Se numeste sir de numere reale orice functie , unde este o submultime finita a lui .

Exemple :

1. , , .
2. , , .
3. , , . Aceasta functie nu este sir deoarece este infinita .
4. , , .

Vom presupune in general ca . Fie deci . Numarul se noteaza in general cu si se numeste termenul de rang al sirului .

Notatie : Vom nota sirul prin sau sau simplu .

Definitie. Sirul se numeste marginit daca exista doua numere reale astfel incat , .

Exemplu :

Sirul definit prin termenul general , este marginit deoarece , (aici si ).

Definitie. Sirul este strict crescator (strict descrescator) daca , (, ) .

Observatii.

1. Un sir care este strict crescator sau strict descrescator se numeste sir strict monoton.
2. Pentru a studia monotonia unui sir se calculeaza diferenta a doi trmeni consecutivi si se compara cu zero.
3. In cazul in care sirul este pozitiv si nu contine termeni nuli, monotonia se poate stabili calculand raportul a doi termeni consecutivi si comaparandu-l cu 1 .

Exemplu :

Fie sirul de mai sus, cu . Pentru a preciza monotonia sirului se calculeaza diferenta , , ceea ce arata ca sau , , adica sirul este strict crescator.

Moduri de a defini un sir :

1. Printr-o regula de calcul. In aceasta situatie se precizeaza o exprimare analitica pentru termenul de rang , , care permite calcularea oricarui termen al sirului.

Exemple :

1. Daca sirul este dat prin , , atunci se poate calcula orice termen din sir. De exemplu , , , etc.

2. Daca este sirul dat prin termenul general , , atunci , , etc.

2. Prin mai multe reguli de calcul.

Fie sirul cu termenul general .

Avem (, impar) , (, par), (, impar).

3. Printr-o relatie de recurenta.

In acest caz un termen al sirului se exprima in functie de unul sau mai multi termeni precedenti. Pentru a determina bine elementele sirului trebuie precizati unul sau mai multi termeni.

Exemple :

1. , , , .

Observam ca aceasta relatie se poate scrie si sub forma , , adica diferenta a oricaror doi termeni consecutivi din sir este constanta .

2. , , , .

In acest caz catul a oricaror doi termeni consecutivi ai sirului este constant.

3. , , , . Un termen al sirului incepand cu al treilea este egal cu suma precedentilor doi.

Determinarea oricarui termen se face din aproape in aproape : ,

, , etc.

Progresii aritmetice

Definitie. Sirul pentru care fiecare termen al sau, incepand cu al doilea se obtine din precedentul prin adaugarea aceluiasi numar se numeste progresie aritmetica. Numarul se numeste ratia progresiei.

Observatie. Deci este progresie aritmetica daca avem relatia de recurenta , . Asadar pentru a proba ca sirul este progresie aritmetica trebuie aratat ca diferenta a doi termeni consecutivi este constanta :

constant, .

Notatie : Faptul ca este o progresie aritmetica se marcheaza prin :

Se spune ca numerele sunt in progresie aritmetica daca sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Exemplu :

Se considera sirul cu termenul general , .

1. Sa se stabileasca daca sirul dat este o progresie aritmetica si apoi sa se calculeze primii cinci termeni .
2. Stabiliti care din termenii de mai jos este termen al sirului : 13988 , 235 , 688.

1. Pentru a preciza daca sirul este progresie aritmetica calculam diferenta a doi termeni consecutivi oarecare , si avem :

constant, .

Cum aceasta diferenta este constanta, egala cu 7, ea reprezinta ratia progresiei aritmtice. Deci . Primul termen este . Avem : .

2. Un numar este termen al sirului daca exista pentru care . A-l determina pe inseamna sa rezolvam ecuatia . Numarul natural (daca exista) reprezinta rangul termenului din sir care este egal cu .

Pentru , avem cu solutia . Deci numarul este termenul .

Pentru se obtine ecuatia cu solutia care insa nu este numar natural. Deci nu exista termen al sirului care sa fie egal cu 235.

In fine, pentru , ecuatia are solutia . Prin urmare numarul este termen al sirului si anume .

Propozitie. Progresia aritmetica este un sir :

• strict crescator, daca ratia ;
• strict descrescator, daca ratia .

Demonstratie. Din , se deduce imediat afirmatia.

Propozitie (Formula termenului general). Daca sirul este o progresie aritmetica, avand primul termen si ratia , atunci termenul general are forma :

, .

Demonstratie. Se face prin inductie matematica :

Consideram propozitia , .

Pasul1. Verificarea : , afirmatie adevarata.

Pasul 2. :

Presupunem adevarata si demonstram , cu alte cuvinte ca propozitia este adevarata. Avem :

si deci este adevarata.

Pasul 3. Finalizarea : , .

Propozitie. Sirul este o progresie aritmetica daca si numai daca orice termen al sau, incepand cu al doilea, este medie aritmetica a vecinilor sai, adica daca

, .

Demonstratie. Daca sirul este o progresie aritmetica de ratie , atunci , . Adunand cele doua relatii, membru cu membru, obtinem , de unde .

Reciproc, din relatia , scrisa sub forma sau

, se deduce ca diferenta a doi termeni consecutivi ai sirului este constanta, ceea ce arata ca sirul este o progresie aritmetica.

Observatie. Are loc relatia mai generala :

, .

Propozitie. Daca numerele sunt in progresie aritmetica, atunci

, .

(Suma oricaror doua numere egal departate de numerele extreme este egala cu suma numerelor extreme ).

Demonstratie. Se scriu toti termenii in functie de primul termen si ratia . Avem :

si

, ceea ce probeza afirmatia.

Propozitie (Suma primilor n termeni). Daca este o progresie aritmetica, atunci

, .

(Suma primilor termeni ai unei progresii aritmetice este egala cu produsul dintre semisuma termenilor extremi si numarul termenilor sumei).

Demonstratie. Scriem de doua ori suma ,

.

Tinand cont de propzitia precedenta, fiecare paranteza este egala cu . Asadar , adica .

Observatie. Suma se poate exprima in functie de primul termen si ratia , astfel :

.

Observatie. Termenul general se poate exprima cu ajutorul sumelor . Mai precis

, .

Exercitii rezolvate :

1. Progresia aritmetica de ratie este definita prin elementele sale. Determinati in fiecare din cazuri, elementul cerut .

a)      , . Calculati ;

b)      . Calculati ;

c)      , . Calculati ;

d)     , . Calculati ;

e)      , . Calculati si ;

f)       . Calculati si .

a) Formula termenului general este : . Pentru , avem

.

b) Din deducem .

c) Din se obtine si deci .

d) Avem , iar de aici . Avem .

e) Avem sistemul cu solutia , .

f) Se scriu cele doua relatii in functie de si si avem sistemul :

cu solutia , .

2. Daca numerele sunt in progresie aritmetica, sa se calculeze sumele :

,

,

in functie de , si .

Ideea este de a scrie un termen oarecare al fiecarei sume ca diferenta de doi termeni de acelasi tip. Pentru prima suma avem :

, . Atunci :

Pentru a doua suma, termenul general este (se rationalizeaza) :

, . Deci :

3. Sa se arate ca numerele , , nu pot fi termenii unei progresii aritmetice.

Presupunem, prin reducere la absurd, ca aceste numere sunt termenii (nu neaparat consecutivi) ai unei progresii aritmetice. Fie deci , , si sa admitem ca sunt diferite intre ele. Atunci , , , . De aici ,

. Impartind membru cu membru aceste relatii, rezulta : . Cum membrul stang este rational, il notam cu . Deci sau , care prin ridicare la patrat devine : , ceea ce este absurd, deoarece membrul stang este irational iar membrul drept este rational. In concluzie , , nu pot fi termenii unei progresii aritmetice.

4. Daca reprezinta suma primilor termeni ai sirului atunci :

a) Sa se determine termenul general ;

b) Sa se arate ca sirul este o progresie aritmetica.

a) Din relatia , , rezulta :

, .

b) Calculam diferenta a doi termeni consecutivi

, , si constatam ca este ratia progresiei in care .

Observatie.S-ar fi putut calcula si din , . De aici si deci . Se verifica usor ca pentru si suma reprezinta suma primilor termeni ai acestei progresii aritmetice.

4. Sa se rezolve ecuatia : .

Sa observam ca termenii sumei sunt in progresie aritmetica de ratie . Notam . Atunci suma din stanga egalitatii devine :

. Rezolvand aceasta ecuatie gasim si deci .

Progresii geometrice

Definitie. Sirul cu (primul termen) pentru care fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, se obtine din precedentul prin inmultirea cu acelati numar se numeste progresie geometrica. Numarul se numeste ratia progresiei.

Observatie. Deci este progresie geometrica daca avem relatia de recurenta , . Asadar pentru a proba ca sirul este o progresie geometrica trebuie aratat ca raportul a doi termeni consecutivi , este constant :

constant, .

Notatie. Faptul ca sirul este o progresie geometrica se marcheaza uneori prin

. Spunem ca numerele sunt in progresie geometrica daca sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Exemplu :

Fie sirul cu termenul general , .

a)      Sa se stabileasca daca sirul dat este o progresie geometrica, calculand apoi primii cinci termeni.

b)      Stabiliti care din numerele de mai jos este termen al progresiei : 24, 96, 123.

a) Pentru a vedea daca sirul este o progresie geometrica se calculeaza raportul a doi termeni consecutivi :

, .

Cum acest raport este constant (nu depinde de rangul ) deducem ca sirul este o progresie geometrica de ratie , avand primul termen . Avem , , , .

b) A stabili daca un numar este un termen al sirului revine la a determina rangul pentru care .

Pentru din rezulta , adica . Asadar . Daca , atunci din rezulta , adica . Deci . In fine, pentru din rezulta . Cum aceasta ecuatie nu are solutie in , deducem ca 123 nu este termen al sirului.

Propozitie. Fie o progresie geometrica de ratie . Daca :

• si , atunci este strict crescator ;
• si , atunci este strict descrescator ;
• si , atunci este strict descrescator ;
• si , atunci este strict crescator.

Demonstratie. Din , si informatiile despre si conduc la concluziile din proprietate.

Propozitie (Formula termenului general). Daca sirul este o progresie geometrica de ratie , atunci termenul general are forma :

, .

Demonstratie. Se procedeaza prin inductie matematica.

Propozitie. Sirul cu termeni nenuli este o progresie geometrica daca si numai daca pentru orice termen al sau, incepand cu al doilea avem :

, .

Demonstratie. Presupunem ca sirul este o progresie geometrica de ratie si deci , . De aici (se face produsul relatiilor) .

Reciproc, din rezulta , . Aceasta ultima egalitate afirma ca raportul oricaror doi termeni consecutivi, incepand cu al doilea este constant. Deci sirul este progresie geometrica.

Observatie. Are loc relatia mai generala :

, .

Propozitie. Daca numerele sunt in progresie geometrica, atunci :

, .

(Produsul oricaror doua numere egal departate de numerele este egal cu produsul numerelor extreme ).

Demonstratie. Screiem termenii in functie de primul termen si de ratia . Avem si , ceea ce probeza afirmatia.

Propozitie (Suma primilor n termeni). Daca este o progresie geometrica de ratie , atunci :

.

Demonstratie. Daca , atunci , deci . Fie acum . Consideram . Din aceasta relatie se scade si rezulta . Cum , de aici rezulta .

Exemrcitii rezolvate :

1. Progresia geometrica de ratie este definita prin anumite elemente date. Determinati in fiecare din cazuri, elementele cerute.

a)      . Calculati si ;

b)      . Calculati si ;

c)      , , . Calculati ;

d)     , , . Calculati ;

e)      , . Calculati ;

f)       . Calculati ;

g)      , . Calculati ;

h)      . Calculati .

a) Din rezulta , ceea ce da . Acum .

b) Din rezulta , iar de aici . Acum cunoscand si , avem .

c) Din deducem sau . Din , avem sau tinand seama ca mai putem scrie .

De aici si din prima egalitate , adica .

d) Rescriem relatiile in functie de primul termen si de ratie. Avem sistemul :

.

Sistemul format din primele doua ecuatii devine :

.

Impartind membru cu membru, cele doua ecuatii gasim , adica . Din a doua ecuatie . In fine, din ultima ecuatie a sistemului initial gasim .

e) Avem egalitatile (din scrierea lui , cu ajutorul lui si ) :

.

Daca , atunci si devin relatii imposibile. Prin urmare . Impartind membru cu membru, cele doua ecuatii rezulta ecuatia cu solutiile , , . Retinem numai ultimele doua valori.

Daca , atunci si deci , iar pentru se obtine cand .

f) Din reulta sau , iar de aici da . Daca si gasim , iar din si deducem .

g) Pentru a exprima avem nevoie de si . Din egalitatea deducem sau , adica . Din avem sau . Acum se calculeza usor.

h) Din egalitatea sau rezulta , iar raportul .

2. Sa se calculeze sumele :

a)      ;

b)      .

a) Sa observam ca termenii sumei sunt in progresie geometrica de ratie , primul termen fiind . In suma avem termeni si deci

.

b) Pentru a calcula aceasta suma o vom imparti in mai multe sume, care fiecare in parte reprezinta suma unor termeni in progresie geometrica. Avem scrierea

In total avem sume. Fiecare suma este formata din termeni in progresie geometrica de ratie . In dreapta fiecarei sume am aplicat formula de calcul . Deci are valoarea data prin insumarea numerelor de la fiecare suma partiala, adica

=

.

3. Sa se calculeze suma .

Folosim scrierea zecimala a unui numar si avem :

Observand ca in fiecare paranteza rotunda avem de insumat termeni care sunt in progresie geometrica de ratie .

Deci

Subiecte propuse

1. Progresia aritmetica de ratie este definita prin anumite elemente date. Determinati in fieacre din cazuri, elementele cerute.

a)      , . Calculati ;

b)      , . Calculati ;

c)      , . Calculati ;

d)     , . Calculati ;

e)      . Calculati ;

f)       , . Calculati ;

g)      , . Calculati ;

h)      , . Calculati ;

i)        , . Calculati ;

j)        , . Calculati .

2. Progresia aritmetica de ratie este definita prin anumite elemente date. Determinati in fieacre din cazuri, elementele cerute.

a)      , . Calculati si ;

b)      . Calculati si ;

c)      , , . Calculati si ;

d)     , . Calculati si ;

e)      , , . Calculati si ;

f)       , . Calculati si ;

g)      . Calculati ;

h)      , . Calculati si ;

i)        , , . Calculati ;

j)        . Calculati ;

k)      , . Calculati si ;

l)        , . Calculati si ;

m)    . Calculati ;

n)      , , . Calculati ;

o)      , , . Calculati ;

p)      , , . Calculati ;

q)      , . Calculati ;

r)       . Calculati ;

s)       , ,. Calculati ;

t)       , . Calculati .

3. Progresia geometrica de ratie este definita prin anumite elemente date. Determinati, in fiecare din cazuri, elementele cerute .

a)      , . Calculati ;

b)      , . Calculati ;

c)      , . Calculati ;

d)     , . Calculati ;

e)      , . Calculati ;

f)       , . Calculati ;

g)      , . Calculati ;

h)      , . Calculati .

4. Progresia geometrica de ratie este definita prin anumite elemente date. Determinati, in fiecare din cazuri, elementele cerute .

a)      , , . Calculati si ;

b)      , , . Calculati si ;

c)      , , . Calculati , ;

d)     , , . Calculati si ;

e)      , , . Calculati , ;

f)       , , . Calculati , ;

g)      , , . Calculati ;

h)      , , . Calculati ;

i)        , , . Calculati si ;

j)        , . Calculati ;

k)      , . Calculati .

5. Determinati termenul general al sirului definit prin relatia de recurenta , daca .

6. Se considera sirul definit prin relatia de recurenta , .

a)      Daterminati formula termenului general.

b)      Numarul este termen al sirului ?

7. Se considera sirul cu termenul general , .

a)      Stabiliti daca sirul este o progresie aritmetica .

b)      Stabiliti care din numerele de mai jos este termen al sirului dat :

1) 600,4; 2) 300; 3) 300,4.

8. Aratati ca numerele , , nu pot fi termenii unei progresii geometrice.

9. Fie patru numere in progresie aritmetica. Daca din aceste numere se scad numerele 2, 5, 7 si respectiv 7 se obtin alte patru numere in progresie geometrica. Sa se determine .

10. Fie sirul definit prin , , . Sa se determine termenul general al sirului.

11. Calculati in functie de si suma , daca este o progresie geometrica de ratie .

12. Aratati ca daca sunt sumele primilor teremeni, termeni si respectiv termeni ai unei progresii geometrice, atunci :

.

13. Sa se arate ca daca :

1. numerele sunt in progresie aritmetica, atunci si numerele sunt in progresie aritmetica.
2. numerele sunt in progresie aritmetica, atunci si numerele , , sunt in progresie aritmetica.
3. numerele , , sunt in progresie aritmetica, atunci si numerele sunt in progresie aritmetica.

14. Daca este o progresie aritmetica de ratie , atunci sa se calculeze sumele :

in functie de si .

15. Fie o progresie aritmetica. Definim sirul prin , . Aratati ca este de asemenea o progresie aritmetica.

16. Aratati ca numerele nu pot fi termenii unei progresii aritmetice.

17. Se considera sirul definit prin , , .

1. Aratati ca , , iar sirul nu este progresie aritmetica :
2. Daca , , atunci sirul este o progresie aritmetica. Determinati expresia lui in functie de .

18. Daca , reprezinta suma primilor termeni ai sirului , atunci :

a)      Sa se determine ;

b)      Sa se arate ca sirul este o progresie aritmetica.

19. Calculati suma numerelor pare de doua cifre.

20. Sa se rezolve ecuatiile :

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      .

21. Progresiile aritmetice 17,21, 25, si au si termeni comuni. Sa se arate ca suma primilor termeni comuni este egala cu .

22. Sa se determine astfel incat sirul de numere definit prin si , sa fie o progresie aritmetica.

23. Sa se calculeze sumele :

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;

f)       , si apoi aratati ca , ;

g)      , .

24. a) Aratati ca numarul este patrat perfect.

b) Demonstrati egalitatea : .

25. Determinati trei numere in progresie geometrica daca suma lor este 26, iar suma inverselor lor este .

26. Determinati in progresie geometrica, daca si .

27. Determinati sase termeni in progresie geometrica daca suma primilor trei este egala cu 168, iar suma ultimilor trei este 21.

28. Deteminati patru numere in progresie geometrica daca suma termenilor extremi este 27, iar suma termenilor din mijloc este 18.

29. Unsprezece numere sunt in progresie aritmetica. Primul termen este 24. Daca primul, al cincilea si al unsprezecelea termen sunt in progresie geometrica, atunci determinati cei unsprezece termeni.

30. Trei numere sunt in progresie geometrica. Daca se aduna 8 la al doilea numar, atunci aceste numere sunt in progresie aritmetica. Daca apoi 64 se aduna la al treilea numar (din ultimele trei), atunci numerele obtinute sunt in progresie geometrica. Sa se determine cele trei numere.

31. Intr-o progresie aritmetica al doilea termen este medie geometrica intre primul si al patrulea termen. Aratati ca al patrulea, al saselea si al noualea termen sunt in progresie geometrica.

32. Determinati o progresie aritmetica si o progresie geometrica daca primul termen din fiecare este egal cu 2, al treilea termen in cele doua progresii este acelasi, iar al unsprezecelea teremen al progresiei aritmetice este egal cu al cincilea termen al progresiei geometrice.

33. Primul termen dintr-o progresie aritmetica si geometrica este egal cu 3. Al doilea termen al progresiei aritmetice este mai mare cu 6 decat al doilea termen al progresiei geometrice. Termenul al treilea din cele doua progresii este acelasi. Determinati aceste progresii.

34. Suma a trei numere in progresie aritmetica este egala cu 21. Daca 2, 3 si 9 se aduna acestor numere, atunci se obtin alte trei numere in progresie geometrica. Determinati cele trei numere.

35. Se dau patru numere in progresie geometrica. Daca la aceste numere se adauga 3, 9, 11 si respectiv1, atunci se obtin alte patru numere in progresie aritmetica. Determinati numerele initiale.

36. Daca sunt in progresie geometrica, atunci :

a)      ;

b)      ;

c)     

sunt de asemenea in progresie geometrica.

37. Fie sirul definit prin , , .

Aratati ca sirul nu este o progresie geometrica, dar sirul cu , reprezinta o progresie geometrica.

38. Aratati numerele nu pot fi teremenii unei progresii geometrice.

39. Daca sunt radacinile ecuatiei , iar sunt radacinile ecuatiei . Numerele , sunt in progresie geometrica strict crescatoare. Determinati pe si .

40. a) Daca este suma primilor termeni ai unei progresii geometrice de ratie , atunci aratati ca , .

b) Aratati ca :

.

41. Se considera sirul definit prin , , . Aratati ca sirul , este o progresie geometrica si calculati .

42. Fie sirurile , definite prin , , , .

a)      Aratati ca nu este progresie geometrica ;

b)      Aratati ca este progresie geometrica ;

c)      Determinati pe si in functie de .

43. Sa se gaseasca suma primilor douazeci de termeni ai unei progresii aritmetice, stiind ca .

44. Sa se calculeze urmatoarele sume :

a)      ;

b)      , unde , , .

45. Sa se arateca daca sunt in progresie geometrica atunci are loc relatia .

46. Daca sunt in progresie aritmetica, sa se calculeze suma :

.

Sa se calculeze suma .

47. Sa se calculeze suma stiind ca sunt in progresie aritmetica. Caz particular : . Sa se calculeze

.

48. Sa se calculeze urmatoarele sume :

a)      ;

b)      .

49. Daca sunt sumele primilor termenei din progresii aritmetice in care primul termen este 1 si ale caror ratii sunt sa se arate ca aceste sume formeaza o progresie aritmetica. Sa se arate ca :

.

50. Sa se determine termenul al -lea al unei progresii aritmetice , daca si , unde .

51. Fie numerele pozitive in progresie geometrica crescataore si un numar natural nenul. Sa se arate ca raportul sumelor

si nu depinde de n.

52. Sa se determine teremenul general al sirului definit prin :

si pentru orice avem .

53. Sa se calculeze sumele :

a)      ;

b)      , fiind un numar real.

54. Sa se calculeze suma

.

55. Fie sirul de numere , unde , si pentru orice numar natural , avem :

. Sa se demonstreze ca , oricare ar fi .

56. Fie sirul de numere reale , unde , si pentru orice numar natural , avem . Sa se gaseasca formula termenului general.

57. Fie sirul de numere astfel incat si . Sa se gaseasca formula care defineste termenul geberal.

58. Fie sirul , definit astfel : si . Sa se demonstreze ca oricare ar fi , avem .

59. Fie suma primilor termeni ai sirului :

.

a)      Sa se gaseasca o formula pentru ;

b)      Sa se arate ca , unde sunt numere naturale cu .

60. Fie si sirul definit prin relatia . Fie , si , radacinile ecuatiei . Daca , atunci este de forma

, iar daca , atunci este de forma , unde si sunt numere reale.