Clasa a XII-a - Algebra - Elemente de algebra

Clasa a XII-a - Algebra

Elemente de algebra

Numarul este egal cu:

a) 0; b) 1; c) -1; d) i; e) -i.

Numarul i²⁰⁰⁴ este egal cu:

a) 0; b) 1; c) -1; d) i; e) -i.

Daca , atunci este egal cu:

a) 0; b) 1; c) -1; d) ; e) .

Numarul este egal cu:

a) 2¹⁰⁰³; b) -2¹⁰⁰²; c) 2¹⁰⁰²i; d) -2¹⁰⁰²i; e) -2¹⁰⁰³.

Modulul numarului z= este:

a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) .

Daca x₁ si x₂ sunt radacinile ecuatiei x²+x+1=0, atunci este egal cu:

a) -1; b) 1; c) -2; d) 2; e) 2i.

Fie z, z'C, cu proprietatea ca exista astfel incat z=z'. Atunci |z+z'| este:

a) >|z|+|z'|; b) <|z|+|z'|; c) =|z|+|z'|; d) <|z|-|z'|; e) =|z'|-|z|.

Fie zC, cu proprietatea ca . Cea mai mare valoare posibila a lui |z| este:

a) 1; b) 2; c) ; d) ; e) .

Fie zC, cu proprietatea ca . Cea mai mica valoare posibila a lui |z| este:

a) 1; b) 2; c) ; d) ; e) .

Fie z=x+yiC. Numarul este real, daca:

a)    x +y²-x+y=0; b) x²+y²-x-y=0; c) x²+y²+x+y=0;

d) x²-y²+x+y=0; e) x²-y²-x+y=0.

Fie u, z, vC astfel incat |u|<1 si v=. Daca |v|1, atunci:

a) |z|<1; b) |z| 1; c) |z|=1; d) |z|>1; e) |z|1.

Fie aR si z=(1+ai)(1+ai²)(1+ai³) (1+ai²⁰⁰⁴). Atunci:

a) z=(1+a²)¹⁰⁰²; b) z=(1-a²)¹⁰⁰²; c) z=(1-a⁴)⁵⁰¹;

d) z=(1+a⁴)⁵⁰¹; e) z=(1-a²i)¹⁰⁰².

Fie z, z'C. Expresia |z+z'|²+|z-z'|² este egala cu:

a)    |z|²+|z'|²; b) 2(|z|²-|z'|²); c) 2(|z|²+|z'|²); d) 4(|z|²-|z'|²);

e) 4(|z|²+|z'|²).

Suma S= este egala cu:

a) 0; b) 1; c) 1+i; d) i; e) -1.

Numerele complexe care satisface conditia |z|-3z=12i-4 sunt:

a)    z =3-4i; z₂=-4i; b) z₁=-3-4i; z₂=4i; c) z₁=4+3i; z₂=-4i;

d) z₁=3-4i; z₂=4i; e) z₁=3-4i.

Numerele complexe care satisfac conditia z²= sunt:

a), ; b), ;

c), ; d), ;

e) , .

Solutiile ecuatiei (1+i)z²-2(2+3i)z+19+17i=0 sunt:

a)    z =2+3i; z₂=3-4i; b) z₁=2-3i; z₂=3-4i; c) z₁=2-3i; z₂=3+4i;

d) z₁=2+3i; z₂=3+4i; e) z₁=3+2i; z₂=3-4i.

Numarul solutiilor complexe ale ecuatiei z=z³ este:

a) 5; b) 4; c) 3; d) 2; e) 1.

Valoarea polinomului f=X³-6X+15 pentru este:

a) 5; b) 17; c) 25; d) 42; e) 0.

Fie fC[X] un polinom si a, bC, ab. Restul impartirii lui f la
(X-a)(X-b) este:

a)    ;

b) ;

b)   ;

d) ;

e) .

Se considera polinomul

f=, unde mIR

Multimea valorilor lui m pentru care polinomul are toate radacinile reale este:

a) ; b) R; c) ; d) e) .

Se considera polinomul f=X⁴-4 X +(m²-m+10) X X+20=0, unde mIR. Multimea valorilor lui m pentru care suma a doua radacini ale polinomului este egala cu suma celorlalte doua radacini este:

a) ; b) R; c) ; d) e) .

Catul si restul impartirii polinomului f=X⁴-4X³+16X²-24X+20 la polinomul g=X-2 sunt:

a)    C=, R=20;

b) C=, R=20;

c)    C=, ;

d) C=, ; e) alt raspuns.

Fie f=, unde a, bIQ. Determinati a si b astfel incat o radacina a lui f sa fie :

a) a=22; b=6; b) a=-22; b=6; c) a=22; b=-6; d) a=-22; b=-6;

e) a=6; b=22.

Descompunerea in factori ireductibili peste Q a polinomului
X⁴-2X³-X²-22X+6 este:

a) (X²+4X+1)(X²+2X+6); b) (X²-4X+1)(X²-2X+6);

c) (X²-4X+1)(X²+2X+6); d) (X²+4X+1)(X²-2X+6);

e) polinomul este ireductibil peste Q.

Fie x₁, x₂, x₃ si x₄ radacinile polinomului f=X⁴-2X³-X²-22X+6. Suma este egala cu:

a) 40; b) -40; c) 0; d) -80; e) 80.

Fie x₁ si x₂ radacinile reale ale polinomului f=X⁴-2X³-X²-22X+6 si . O relatie de recurenta pentru este:

a)    S_n +4S_n+1+S_n=0; b) S_n+2+4S_n+1-S_n=0; c) S_n+2-4S_n+1-S_n=0;

d) S_n+2+S_n+1+4S_n=0; e) S_n+2-4S_n+1+S_n=0.

Fie f=X⁴+aX³+bX+cR[X]. Valorile lui a, b, c pentru care f este divizibil cu X³-X sunt:

a)    a=b=0; c=1; b) a=b=0; c=-1; c) a=c=0; b=1;

d) a=c=0; b=-1; e) nu exista.

Fie f=X³-2X²+8X-40 si x₁, x₂ si x₃ radacinile lui f. Valoarea expresiei este:

a) 0; b) 1; c) -1; d) 8; e) 24.

Polinomul fIR[X], de gradul trei, care satisface conditia f(1)+f(2)+f(3)++f(n)=n⁴, oricare ar fi nN^* este:

a) f=X³-4X²+3X+1; b) f=4X³-6X²+4X-1; c) 2X³-3X²-X+3;

d) f=4X³-4X²-2X+3; e) f=6X³-8X²-4X+7.

Polinomul fIR[X] care satisface conditia (X-1)f(X)=(X+2)f(X-1), oricare ar fi XIR, este:

a)    f=k(X²+3X+2); b) f=k(X³-3X²+2X); c) f=k(X³+3X²+2X+1);

d) f=k(X³+3X²+2X); e) f=k(X³+3X²-2X).

Fie f=. Numarul radacinilor duble ale polinomului f este:

a) 0; b) 1; c) 2; d) 1002; e) alt raspuns.

Fie X₁, X₂, X₃ solutiile ecuatiei X³-2X²+5X+3=0. Ecuatia in y, care are solutiile y₁=X₂+X₃, y₂=X₁+X₃, y₃=X₁+X₂ este:

a) y³+4y²+9y+13=0; b) y³+4y²-9y+13=0; c) y³-4y²+9y-13=0;

d) y³-4y²-9y+13=0; e) y³-4y²-9y-13=0.

Fie X₁, X₂, X₃ solutiile ecuatiei X³+5X²-4X-3=0. Ecuatia in y, care are solutiile y₁=, y₂=, y₃= este:

a) 3y³+4y²-5y-1=0; b) 3y³+4y²+5y-1=0; c) 3y³+4y²+5y+1=0;

d) 3y³-4y²-5y-1=0; e) 3y³+4y²-5y+1=0.

Valoarea lui mIR pentru care ecuatia

X -10X³+7(m+2)X²+50X-56=0 are solutiile in progresie aritmetica este:

a) 3; b) -3; c) 5; d) -5; e) 8.

Valoarea lui mIR pentru care ecuatia

X -3(m+2)X³+70X²-120X+64=0 are solutiile in progresie aritmetica este:

a) 5; b) -5; c) 3; d) -3; e) 8.

Multimea valorilor lui mIR pentru care polinomul f=X⁴+X²+mX+1 se poate descompune in produsul a doua polinoame cu coeficienti intregi este:

a) ;    b) R; c) ; d) ; e) .

Multimea valorilor lui pIN , p numar prim, pentru care polinomul f=X^p-1+X^p-2++X²+X+1 se poate descompune in produsul a doua polinoame cu coeficienti intregi este:

a) ; b) R; c) ; d) ; e) .

Valoarea lui a pentru care legea de compozitie , definita pe R, prin x_*y=2xy-2x-2y+a, este asociativa este:

a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4.

Valorile nenule ale lui a si b pentru care legea de compozitie _*, definita pe R, prin x_*y=xy+ax+by, este asociativa si comutativa sunt:

a) a=1, b=-1; b) a=-1, b=1; c) a=b=1; d) a=b=-1; e) a=2, b=-2.

Valorile lui a si b pentru care legea de compozitie _*, definita pe R, prin x_*y=xy+ax+by, admite element neutru sunt:

a) a=1, b=-1; b) a=-1, b=1; c) a=b=1; d) a=b=-1; e) a=1, .

Elementul neutru al legii de compozitie _*, definita pe R, prin x_*y=xy-2x-2y+6 este:

a) 2; b) 3; c) -2; d) -3; e) 0.

Elementul neutru al legii de compozitie _*, definita pe , prin

x y= este:

a) 1; b) e; c) 1-e; d) 1+e²; e) 1+e.

Fie M=. Elementul neutru pentru inmultirea pe M este:

a) O₃; b) I₃; c) E=; d) E=; e) nu exista.

Fie M=. Elementul simetric al lui A₁ in raport cu inmultirea pe M este:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) nu exista.

Multimea valorilor lui a pentru care este grup, este:

a) ; b) R; c) (0;1]; d) ; e)

Pe multimea R se defineste    legea de compozitie _*, definita prin x_*y = . (R, _*) este:

a) monoid necomutativ; b) monoid comutativ;

c) grup necomutativ; d) grup comutativ; e) inel.

(Z, +, ) este:

a)    inel necomutativ; b) inel comutativ fara divizori ai lui zero;

c) inel comutativ cu divizori ai lui zero; d) corp necomutativ;

e) corp comutativ.

(M₃(R), +, ) este:

a)    inel necomutativ; b) inel comutativ fara divizori ai lui zero;

c) inel comutativ cu divizori ai lui zero; d) corp necomutativ;

e) corp comutativ.

(R[X], +, ) este:

a)    inel necomutativ; b) inel comutativ fara divizori ai lui zero;

c) inel comutativ cu divizori ai lui zero; d) corp necomutativ;

e) corp comutativ.