Functii implicite

Functii implicite

Fie ecuatia cu si

O functie se numeste solutie (in raport cu ) a ecuatiei pe multimea daca pentru .

Ecuatia poate sa nu aiba solutii, ca in cazul cercului imaginar, , in raport cu nici o variabila. Poate avea o singura solutie ca in cazul primei bisectoare si anume sau poate avea mai multe solutii pe multime ca in cazul ecuatiei . Aceasta ecuatie, in raport cu , are o infinitate de solutii pe multimea , de exemplu:

unde este arbitrar in .

Fie unde

este o solutie in raport cu a acestei ecuatii pe multimea daca pentru orice punct unde este o variabila reala sau vectoriala.

Daca exista o singura functie care sa verifice ecuatia , eventual, si alte conditii suplimentare, se spune ca functia este definita implicit de ecuatia . Rezolvand ecuatia in raport cu (explicitand-o) se obtine functia explicita .

Functiile definite cu ajutorul ecuatiilor se numesc functii definite implicit (functii implicite).

Teorema 1. Fie , ; , , si functia reala definita pe . Daca:

are , , ., , continue pe o vecinatate a lui ;

Atunci:

a)      exista o vecinatate a lui , o vecinatate a lui si o functie unica astfel incat si pentru ;

b)      functia are derivate partiale , , ., continue pe si pentru fiecare atunci , ;

c)      daca are derivate partiale de ordinul continue pe , atunci are derivate partiale de ordinul continue pe .

Fie functia de doua variabile . Daca se diferentiaza formal se obtine . Impartind prin si notand se obtine , adica .