FUNCTII

FUNCTII

      Definitie: Prin functie definita pe multimea A cu valori in multimea B intelegem orice lege (procedeu,conventie) notata f care asociaza fiecarui element x din A un singur element f(x) dinB.

A se numeste domeniul de definitie

B se numeste domeniul de valori sau codomeniul

f -legea ; f(x) =y=imaginea lui x prin f sau valoarea lui f in x

      Doua functii f:A→B si g:C→D sunt egale daca 1)A=C

2)B=D

3) f(x)=g(x),oricare x din A

Obs: Daca exista x₀ din A astfel incat f(x₀)≠g(x₀) atunci functiile f si g sunt diferite.

      Graficul unei functii f:A→B este multimea notata G_f=

Obs:1)daca A,B sunt multimi de numere reale , functia se numeste functie numerica sau functie reala de variabila reala.

2)graficul unei functii numerice se poate reprezenta ca o multime de puncte in plan.

      Imaginea unei functii f:A→B este multimea Imf =f(A)=

      Operatii algebrice cu functii numerice :

Fie f,g:D→R.Atunci f+g:D→R ,(f+g)(x)=f(x)+g(x)

f-g:D→R , (f-g)(x)=f(x)-g(x)

fg:D→R, (fg)(x)=f(x)g(x)

      Compunerea functiilor

Fie f:A→B si g:B→C. Functia gof :A→C definita prin (gof)(x)=g(f(x)) pentru orice x din A se numeste compusa functiilor g si f.

Proprietatile compunerii functiilor:

1)asociativitatea :(fog)oh=fo(goh)

2)elementul neutru :fo1_A=1_Aof

3)in general compunerea nu este comutativa

fog≠gof

      Functia inversa

Functia f:A→B este inversabila (are inversa) daca exista functia g:B→A astfel incatfog=1_Bsi gof=1_A   

Functia g se numeste inversa functiei f si se noteaza cu f ^-1

Obs:Pentru functiile numerice ,graficele lui f si f ^-1 sunt simetrice fata de prima bisectoare,iar determinarea functiei inverse se face rezolvand ecuatia f(x)=y din care se obtine x=f ^-1(y)(unicul element pentru care f(x)=y)

      Clase de functii

1)Functii    injective : Functia f:A→B se numeste injectiva daca :

# ( la argumente diferite avem imagini diferite )

#

Daca f este functie numerica atunci ea este injectiva daca orice paralela la axa Ox dusa printr-un punct al codomeniului intersecteaza graficul functiei in cel mult un punct,adica ecuatia f(x)=y are cel mult o solutie,oricare y din codomeniu.

Pentru functii multiforme f:A₁UA₂→B ,A₁∩A₂=Ø , f(x)= avem f este injectiva daca si numai daca f₁,f₂ sunt injective iar Imf₁∩Imf₂=Ø

2)Functii surjective :Functia f:A→B se numeste surjectiva daca :

#

#Imf=B

Daca f este functie numerica atunci ea este surjectiva daca orice paralela la axa Ox dusa printr-un punct al codomeniului intersecteaza graficul functiei in cel putin un punct,adica ecuatia f(x)=y are cel putin o solutie,oricare y din codomeniu.

Pentru functii multiforme f:A₁UA₂→B f(x)=Ø avem f este surjectiva daca si numai daca Imf₁∩Imf₂=B (codomeniul)

3)Functii bijectiveFunctia f :A→B se numeste bijectiva daca este si injectiva si surjectiva,adica (vezi toate definitiile echivalente)

Teorema Functia f :A→B este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

4)Functii monotone Monotonia este o proprietate specifica functiilor numerice.

Fie f:A→B ,A,B.

Spunem ca f este -crescatoare pe I daca

-descrescatoare pe I daca

Daca inegalitatile de mai sus sunt stricte atunci functia se numeste strict crescatoare(descrescatoare).

O functie crescatoare sau descrescatoare se numeste monotona.

Pentru functii multiforme f:A₁UA₂→B,A₁ si A₂ disjuncte f(x)=, f este monotona daca f₁,f₂ au aceeasi monotonie (ambele crescatoare sau ambele descrescatoare) si in plus Imf₁∩Imf₂=Ø

O alta metoda de a demonstra monoyonia unei functii multiforme este:

Daca f₁,f₂ crescatoare(descrescatoare) si limita lui f₁ la capatul din dreapta este ≤(≥) decat limita lui f₂ la capatul din stanga atunci f este crescatoare (descrescatoare).

5)Functii pare ,functii impare (proprietate specifica functiilor numerice)

Multimea A se numeste multime simetrica daca

Functia f:A→R , se numeste -para daca f(x)=f(-x), oricare x din A

-impara daca f(-x)= - f(x) , oricare x din A

Graficul unei functii - pare este simetric fata de axa Oy

- impare este simetric fata de originea sistemului de coordonate O(0,0)

6)Functii periodice

O functie f:R→R se numeste periodica daca exista T>0 astfel incat f(x+T)=f(x) oricare x real.

Numarul real T se numeste perioada.

Cea mai mica perioada nenula se numeste perioada principala

Exemle de functii periodice: functiile trigonometrice,functia parte fractionara

7)Functii convexe ,functii concave

Functia f:I→R, I interval se numeste -convexa daca

- concava daca

Pentru functiile convexe graficul functiei "tine apa", iar tangenta in orice punct al graficului se afla sub grafic.

Pentru functiile concave graficul functiei "nu tine apa", iar tangenta in orice punct al graficului se afla deasupra graficului.

Proprietati utile

1)Daca f,g injective atunci gof este injectiva

2)Daca f,g surjective atunci gof este surjectiva

3)Daca f,g sunt bijective atunci gof este bijectiva

4)Daca gof este injectiva atunci f este injectiva

5)Daca gof este surjectiva atunci g este surjectiva

6)Daca gof este bijectiva atunci g este surjectiva iar f este injectiva

7)Daca f,g sunt crescatoare atunci f+g si fog sunt crescatoare

8)Daca f,g sunt descrescatoare atunci f+g este descrescatoare iar fog este crescatoare

9)Daca f este crescatoare si g este descrescatoare atunci fog este descrescatoare

10)Daca f este strict monotona atunci f este injectiva

11)Functiile f si (-f) au monotonii diferite

12)Daca f este bijectiva si monotona atunci f ^-1 monotona de aceeasi monotonie cu f

13)Daca f,g sunt pare atunci f+g,fg,f-g,fog sunt pare

14)Daca f,g sunt impare atunci f+g,f-g,fog sunt impare iar fg este para

15)Daca f este para atunci gof este para

16)Daca f este para si g este impara atunci fog este para

17)Daca f este periodica atunci gof este periodica

VEZI    FUNCTIILE ELEMENTARE !