Conditii necesare si suficiente de potentialitate: Teorema Kerner-Vainberg si Teorema lui Gavurin

Conditii necesare si suficiente de potentialitate: Teorema Kerner-Vainberg si Teorema lui Gavurin

Teorema 4(Kerner-Vainberg

Fie X un spatiu normat real, o multime convexa si deschisa si Presupunem ca :

1) exista pentru orice si orice

2)pentru orice ,functionala :

este continua in orice hiperplan bidimensional ce trece prin x.Cu aceste ipoteze,necesar si suficient pentru ca F sa fie potential pe este ca:

(23)

Demonstratie

Necesitatea

Presupunem ca exista o functionala astfel incat:

(24)

Fie si numerele alese astfel incat:

Fie functionala :

(25)

si de asemenea functionala:

(26)

In virtutea faptului ca f este derivabila dupa Gateaux pe ,rezulta ca este derivabila dupa Gateaux pe ,si:

(27)

Fie injectia de scufundare a lui X in X.Aplicand formula de tip Lagrange pentru operatori(teorema 13 din capitolul II),avem:

(28)

Pe de alta parte,este evident ca:

,

de unde,cu ajutorul formulei de tip Lagrange pentru functionale(teorema 9 din capitolul II) se obtine:

(29)

Din (28) si (29) rezulta imediat:

(30)

Cu un rationament analog facut pentru functionala:

se obtine:

(31)

Din (30) si (31) se obtine:

,

in care,trecand la limita cu ,si tinand seama de ipoteza 2),rezulta:

Suficienta

Este suficienta conditia (23) pentru ca sa existe o functionala f pe care sa satisfaca (24).Vom indica aceasta functionala astfel:

(32)

Integrala scrisa in (32) exista pentru ca F este diferentiabil pe ,deci continuu pe directii (vezi lema 7 din capitolul II),ceea ce atrage continuitatea functiei numerice:

Vom verifica direct ca functionala f definita de (32) satisface (24).Intr-adevar,avem:

Dar:

astfel ca,in definitiv,avem:

De aici,tinand seama de continuitatea pe directii a lui F,rezulta:

Demonstratia este incheiata.

Enuntam acum teorema de potentialitate a lui Gavurin.

Teorema 5(Gavurin)

Fie X un spatiu Banach real, o multime simplu conexa si deschisa, o aplicatie continua.O conditie necesara si suficienta pentru ca sa fie potential pe este ca sa nu depinda de curba C dupa care se integreaza in .