Schema lui Bernoulli cu bila intoarsǎ cu mai multe stǎri (multinomiala sau polinomialǎ)

Schema lui Bernoulli cu bila intoarsǎ cu mai multe stǎri (multinomiala sau polinomialǎ)

Aceasǎ schemǎ de probabilitate este o generalizare a schemei binomiale. Se aplicǎ atunci cand la fiecare repetare a experimentului, se urmǎreste aparitia a r evenimante, care formeazǎ un sistem complet de evenimante. Probabilitǎtile de aparitie pentru evenimentele considerate nu depind de rangul repetǎrii, deci sunt constante. Se doreste calculul probabilitǎtii ca in n repetǎri independente ale experimentului, cele r evenimante precizate sǎ aparǎ de un numǎr de ori dat.

Modelul probabilistic este realizat printr-o urnǎ ce contine bile de r culori. Din urnǎ se extrag, pe rand, bile cu intoarcerea bilei extrase in urnǎ, dupǎ ce s-a constatat culoarea bilei extrase. Se cere sǎ se calculeze probabilitatea, ca din n bile extrase sǎ fie de culoarea intai, bile de culoarea a doua s.a.m.d. sǎ fie de culoarea a a.

Folosind aceeasi metodǎ ca la schema binomialǎ, se obtine cǎ

unde sunt respectiv probabilitǎtile de-a obtine la o extragere bilǎ de culoarea

Observatia 2.4 Daca se dezvolta urmatorul polinom

atunci probabilitatea este coefcientul monomului din aceasta dezvoltare. De aici si denumirea de schema multinomiala sau polinomiala folosita pentru aceasta schema de probabilitate.

Observatia 2.5 Desigur ca au loc relatiile

si

Exemplul 2.6. Piesele produse de o masina sunt supuse la doua teste. Probabilitatile ca o piesa sa treaca aceste teste sunt respectiv si . Vrem sa calculam probabilitatea ca din cinci piese luate la intamplare, doua sa treaca ambele teste, una numai al doilea test, iar una sa nu treaca nici un test.

Aceasta probabilitate se calculeaza cu schema multinomiala, unde , iar daca se presupune ca cele doua teste sunt independente, avem ca

In acest fel putem scrie