Cuadraturi numerice

Cuadraturi numerice

Formule repetate. Fie f:[a,b] R integrabila pe [a,b] , h=(b-a)/n si nodurile echidistante x_k=a+kh, k=0,1, , n.

Formula repetata a trapezului:

unde

Formula repetata a lui Simpson:

unde n=2*m; h=(b-a)/2m; x_k=a+kh; k=0,1, , 2m, iar

Formula dreptunghiurilor

unde

Cuadraturi adaptive. Fie met(a,b,f,n) o formula repetata oarecare. Ideea este de a imparti [a,b] in subintervale si de a folosi un numar mic de noduri pe subintervalele pe care oscilatia este lenta si un numar mai mare de puncte pe subintervalele pe care oscilatia este mai rapida. Algoritmul este de tip divide and conquer:

function adaptquad(a,b:real;f:func_ie;tol:real):real;

if ½met(a,b,f,m)-met(a,b,f,2*m)½<tol

then adaptquad:=met(a,b,f,2*m)

else adaptquad:=adaptquad(a,(a+b)/2,f,tol)+

adaptquad((a+b)/2,b,f,tol);

unde m este o constanta convenabil aleasa.

Metoda lui Romberg. Se bazeaza pe metoda trapezelor si pe extrapolarea Richardson. Fie h=b-a. Se incepe cu evaluarea lui

apoi se evalueaza

In general nu este nevoie sa recalculam    valorile in anumite puncte deoarece

Avand calculat I_0,b-a _i I_0,(b-a)/2 calculam

si in general

Calculele se pot aranja sub forma tabelara.

Un posibil criteriu de oprire este

Exemplu numeric. Sa calculam

Valoarea exacta a integralei este I=2 , iar prin aplicarea metodei se obtine

Pentru formula trapezelor cu acelasi numar de argumente se obtine

i=1.895, iar pentru Simpson cu 4 noduri 2.005.

Probleme propuse.

1)Implementati metoda lui Romberg.

2)Implementati o metoda de cuadratura adaptiva pentru formula repetata a lui Simpson, una pentru metoda trapezelor si una pentru metoda dreptunghiurilor.

3)Concepeti o reprezentare grafica intuitiva pentru formula trapezelor si formula repetata a lui Simpson (facultativ).

4) Implementati formula repetata a trapezului, dreptunghiului si a lui Simpson.

Probleme practice.

1) Generati formule Newton-Cotes inchise si deschise pentru un numar de noduri dat.

2) Pentru o pondere data si un numar de noduri dat generati formule de tip Gauss.

3) Testati rutinele de integrare din MATLAB pentru diverse functii a caror primitiva nu este exprimabila prin functii elementare.