Cuprins

Cuprins

Integrala definita

Aria unei suprafete plane marginita de o curba.

Sumele lui Darboux.

Consecinte.

Definitie.

Observatie

Criteriu de integrabilitate.

Demonstratie.

Observatii.

Definitie.

Clase de functii integrabile.

Teorema.

Demonstratie.

Teorema.

Demonstratie.

Observatii.

Proprietatile functiilor integrabile.

Observatie.

Observatii.

Formule de medie.

Teorema.

Demonstratie.

Integrala definita

Aria unei suprafete plane marginita de o curba.

Fie o functie continua, pozitiva si crescatoare in intervalul . Graficul acestei functii este un arc de curba situat deasupra axei 0x. Ne propunem sa calculam aria trapezului mixtiliniu . In acest scop vom construi un sir de poligoane exterioare si un sir de poli-goane interioare de o forma anumita, care ne vor duce la rezultat. Sa impartim intervalul prin punctele in n subintervale, iar prin aceste puncte sa ducem paralele la axa 0y, paralele care taie arcul in punctele astfel incat trapezul mixtiliniu apare ca o reuniune a n trapeze mixtilinii

Daca notam

atunci aria totala A este suma ariilor elementare

A =

Aria a trapezului mixtiliniu este cuprinsa intre aria dreptunghiului exterior si a dreptunghiului interior ; daca notam cu si aceste doua arii

urmeaza ca avem neegalitatile

insumand, obtinem

unde

Sumele s si S se numesc sumele lui Darboux.

Sa observam ca S este aria poligonului exterior, obtinut ca reuniunea dreptunghiurilor    exterioare , iar s este aria poligonului interior obtinut ca reuniunea dreptunghiuri-lor interioare corespunzatoare diviziunii

Inainte de a merge mai departe, sa definim cateva notiuni.

a)      Fie un interval inchis si marginit. O familie unita de puncte

se numeste o diviziune a intervalului . Un interval oarecare al diviziunii se numeste interval partial sau subinterval.

b)      Vom numi norma diviziunii numarul pozitiv

adica lungimea celui mai mare interval partial al diviziunii d; deci pentru orice avem

c)      Vom spune ca o diviziune a intervalului este mai fina decat diviziunea d si se scrie sau daca toate punctele diviziunii d apartin diviziunii (care contine si alte puncte). Daca este mai fina decat d, atunci

(1)

Reciproca nu este insa in general adevarata, adica neegalitatea (1) nu atrage incluziunea , deoarece diviziunea poate fi formata din intervale partiale mai mici decat ale divi-ziunii d, fara ca toate punctele diviziunii d sa apartina diviziunii .

Sa consideram acum un sir de diviziuni ordonate dupa relatia de finete

prin urmare normele lor formeaza sirul descrescator

Sa cerem ca In aceste conditii, sirul sumelor s

si al sumelor S

sunt convergente catre o limita comuna care este aria trapezului mixtiliniu . Intr-adevar, avem

deci si

. (2)

Functia fiind continua in intervalul este uniform continua in , deci pentru orice numar exista un numar astfel incat sa avem

oricare ar fi , care satisfac neegalitatea

Sa consideram acum numarul N astfel incat pentru toate diviziunile sa indepli-neasca conditia

fapt ce este posibil, deoarece cand . Deci pentru doua puncte consecutive oa-recare ale unei diviziuni , avem

deoarece deci si Cu aceste rezultate, neegalitatea (2) se scrie

de unde rezulta imediat ca si au aceeasi limita, anume aria A a trapezului curbiliniu .

Numarul A se numeste si integrala definita a functiei in intervalul si se noteaza

A=

(se citeste integrala de la a la b din ). Semnul se numeste semnul de integrare; a, b se numesc limitele de integrare, a limita inferioara si b limita superioara. Intervalul se numeste interval de integrare, iar functia de integrat sau integrant.

In continuare ne vom ocupa de convergenta sumelor si in conditii mai largi pentru functia

Sumele lui Darboux.

Fie o functie marginita, definita pe un interval

Sa impartim intervalul in n subintervale prin punctele . Notam cu marginile superioara si inferioara ale functiei in intervalul .

Aria a trapezului mixtiliniu este cuprinsa intre ariile dreptunghiului exterior si interior , deci

insumand in raport cu , obtinem

unde

sumele S si s se numesc tot sumele lui Darboux relative la diviziunea considerata, s este suma inferioara Darboux, iar S suma superioara Darboux si au urmatoarele proprietati:

.

Intr-adevar, pentru orice interval avem

deci si

din care prin insumare obtinem

deci

.

Daca este un punct oarecare al intervalului si suma

atunci

(1)

Intr-adevar, pentru orice avem

deoarece sunt marginile functiei in intervalul ; daca inmultim cu si insumam rezulta neegalitatile (1). Sumele se numesc sume Riemann rela-tiv la diviziunea considerata.

Sa observam ca pentru o diviziune data d avem o infinitate de sume , insa numai doua sume Darboux si .

Intre sumele Riemann si sumele Darboux ale unei diviziuni d avem urmatoarele relatii

Intr-adevar, fie ; in orice interval partial exista un punct astfel incat sa avem

daca alegem pentru suma punctele care indeplinesc aceasta conditie, ob-tinem

deci

de unde rezulta ca Pentru egalitatea a doua se procedeaza in mod asema-nator.

Daca diviziunea este mai fina decat diviziunea d, atunci

adica sumele inferioare cresc, iar sumele superioare descresc daca trecem de la o diviziune la o alta diviziune mai fina.

Daca este un subinterval al diviziunii d, atunci punctele apartin si diviziunii insa in intervalul pot sa existe si alte puncte ale diviziunii , fie

Daca sunt marginile inferioara si superioara ale functiei in intervalul , atunci

deci si

insumand acum in raport cu indicii k obtinem

Oricare ar fi diviziunile si avem

adica orice suma inferioara este mai mica sau cel mult egala cu o suma superioara.

Sa consideram diviziunea d formata din toate punctele diviziunilor si . Diviziunea d va fi mai fina decat diviziunea sau , prin urmare, conform proprietatii 4, avem

si

de unde

sau

(2)

Consecinte.

Daca D este multimea tuturor subdiviziunilor intervalului , atunci

cum rezulta imediat din neegalitatea (2).

Multimea este marginita superior, iar multimea este marginita inferior.

Definitie.

O functie marginita se spune ca este integrabila Riemann pe daca pentru orice sir de diviziuni cu norma cand sirurile sumelor Darboux si au o limita comuna finita I, si se noteaza

Observatie

Tinand seama de definitia multimilor masurabile, urmeaza ca definitia de mai sus este echi-valenta cu unde D este multimea tuturor diviziunilor intervalului

De obicei se noteaza si se numesc, respectiv, integrala inferioara Darboux si integrala superioara Darboux.

Criteriu de integrabilitate.

Criteriul lui Darboux. O functie , marginita, este integrabila pe daca pentru orice numar exista un numar astfel incat pentru orice diviziune d cu sa avem

Demonstratie.

Conditia este necesara. Sa presupunem ca f este integrabila. Fie un sir de diviziuni, astfel incat si cu

Deoarece f este integrabila, pentru orice numar exista un numar astfel incat pentru avem , , deci

Conditia este suficienta. Fie un sir de diviziuni (arbitrar) pentru care cand Exista astfel incat pentru orice avem Din neegali-tatile unde am pus , , rezulta ca si cum este oarecare, iar sirul este arbitrar, urmeaza ca deci f este integrabila Riemann.

Observatii.

Daca este o suma Riemann oarecare, relativa la diviziunea , avem iar daca f este integrabila, rezulta ca adica si sumele Riemann sunt conver-gente catre o limita comuna care este aria marginita de arcul de curba , Reciproca acestui rezultat este de asemenea adevarata, astfel incat avem urma-toarea definitie echivalenta a integrabilitatii.

Definitie.

Spunem ca o functie definita pe intervalul este integrabila Riemann pe daca pentru orice sir de diviziuni cu norma cand si pentru orice alegere a punctelor intermediare sirurile Riemann corespunzatoare au o limita comuna, finita I.

O functie marginita nu este neaparat integrabila Riemann.

Daca am dovedit ca o functie f este integrabila Riemann pe un interval , pentru cal-culul efectiv al numarului I este suficient sa luam un sir particular de diviziuni cu cand , precum si un sir particular de puncte intermediare in fiecare diviziune.

Clase de functii integrabile.

Teorema.

Functiile continue pe un interval sunt integrabile pe

Demonstratie.

Fie f o functie continua pe . Functia f este marginita pe , deci

Fie d o diviziune a intervalului si un subinterval al lui d; avem . Exista doua puncte pentru care

Sa consideram sumele lui Darboux relative la diviziunea d

O functie continua intr-un interval inchis este si uniform continua, deci pentru orice numar exista un numar astfel incat pentru orice pereche de puncte situata in intervalul sa avem daca

Sa alegem diviziunea d astfel incat in aceasta situatie

deci

ceea ce dovedeste ca f este integrabila.

Teorema.

Functiile monotone pe un interval sunt integrabile pe

Demonstratie.

Presupunem crescatoare pe ; daca d este o diviziune a intervalului , avem pentru un subinterval oarecare

,

deci

,

si

,

,

.

Pentru , oarecare, sa alegem diviziunea d astfel incat

deoarece

,

rezulta ca

si teorema este demonstrata.

Observatii.

Functiile monotone nu sunt neaparat continue. Am aratat ca functiile pot admite o infini-tate numarabila de discontinuitati de prima speta. Rezulta de aici: clasa functiilor integra-bile este mai cuprinzatoare decat clasa functiilor continue.

Deoarece un segment de dreapta este o multime de arie nula, urmeaza ca daca schimbam valoarea unei functii integrabile f intr-un numar finit de puncte, functia f rezultata este de asemenea integrabila, deci o functie marginita pe , continua pe cu exceptia unui numar finit de puncte, este integrabila pe .

Proprietatile functiilor integrabile.

Fie o functie integrabila pe intervalul . Integrala functiei pe intervalul

se numeste si integrala definita a functiei pe intervalul . Variabila x se numeste variabila de integrare. Integrala definita este un numar, deci nu depinde de variabila de integrare. Din aceasta cauza, variabila de integrare se poate nota cu orice litera

a)      Daca se defineste prin egalitatea

,

de unde urmeaza imediat

b)     Daca si este integrabila pe , atunci

.

Intr-adevar, daca pentru orice , rezulta ca pentru orice diviziune d avem , , deci si , , de unde rezulta .

c)      Daca f si g sunt integrabile pe , functia este integrabila pe si

(proprietatea de aditivitate a integralei fata de functii).

Fie d o diviziune a intervalului si un punct oarecare al intervalului

putem scrie deci

Fie acum un sir de diviziuni ale intervalului cu ; vom avea

si pentru ca f si g sunt integrabile,

, ,

de unde urmeaza ca f +g este integrabila pe si

.

Observatie.

Reciproca acestei proprietati nu este in general adevarata, deci daca f+g este integrabila pe nu trebuie sa deducem ca f si g sunt integrabile pe .

d)     Daca functia f este integrabila pe , atunci functia este integrabila pe

Intr-adevar avem

,

deci

si pentru ca f este integrabila pe urmeaza ca este integrabila pe si

.

Observatii.

Din proprietatile (c) si (d) rezulta ca daca f si g sunt doua functii integrabile pe , functia Af + Bg, A, B fiind constante, este integrabila pe si

.

Proprietatile (c) si (d) arata ca multimea functiilor integrabile pe formeaza un spatiu vectorial.

e)      Daca pentru orice si daca f si g sunt integrabile pe , atunci

(proprietatea de monotonie a integralei).

Functia este nenegativa pe , deci conform proprietatii (b) avem

sau ;

aplicand proprietatea (c) rezulta ca

.

f)       Daca f este integrabila pe , atunci oricare ar fi punctul avem

(1)

Daca , deci si relatia (1) este verificata. In mod asemanator se arata ca relatia (1) este adevarata daca Sa presupunem . Fie un sir de diviziuni ale intervalului cu . Daca este un sir oarecare de sume Riemann relativ la aceste diviziuni, atunci

Fie un sir de diviziuni ale intervalului cu Daca este un sir oarecare de sume Riemann relativ la aceste diviziuni, avem

Daca notam cu am obtinut un sir de diviziuni ale intervalului cu , deoarece .

Fie suma celor doua sume Riemann si ; avem

, ;

la limita, egalitatea de mai sus ne conduce la

.

Relatia obtinuta este adevarata oricare ar fi succesiunea punctelor a, b, c. Intr-adevar, fie ; avem

insa

,

deci

sau

Din demonstratie rezulta si reciproca acestei proprietati, anume

g)      Daca o functie f este integrabila pe intervalele si , atunci f este integrabila pe (proprietatea de aditivitate a integralei fata de intervale).

h)     Daca functia f este integrabila pe intervalul , atunci f este integrabila pe orice subinterval .

Fie , arbitrar si o diviziune d a intervalului . Deoarece f este integrabila, exista astfel incat si .

Fie o diviziune a intervalului cu . Sa completam diviziunea a lui pana la o diviziune a lui , astfel incat , deci cu vom avea

insa

deoarece si si din aceste neegalitati rezulta

ceea ce dovedeste ca f este integrabila pe orice interval

i)        Daca functia f este integrabila pe , atunci si este integrabila pe si

.

Fie d o diviziune a intervalului . Daca notam cu , avem , iar daca este un subintervalui al lui , avem

Avem mai multe cazuri de considerat:

a')     In aceasta situatie si .

b')    Atunci , deci .

c')     Atunci , deci in toate cazurile putem scrie

sau

si pentru ca f este integrabila rezulta din aceasta neegalitate ca f este integrabila. Din

,

aplicand proprietatea (e) rezulta

deci

Toate aceste proprietati sunt folosite des in aplicatii.

Formule de medie.

Daca f este marginita si integrabila pe intervalul , am vazut ca avem

(1)

unde m si M sunt marginile funcsiei f in . Din (1) urmeaza ca exista un numar cuprins intre m si M astfel incat

Sa presupunem ca este si continua pe ; in aceasta situatie exista cel putin un punct astfel incat

deci

care se numeste formula mediei pentru integrale. Aceasta formula are o interpretare geometrica simpla, si anume spune ca exista cel putin un punct astfel incat aria marginita de arcul de curba AB, si de segmentele ab, aA,bB (fig. 10) este egala cu aria dreptunghiului de inaltime si baza b-a.

Un rezultat mai general este continut in urmatoarea teorema.

Teorema.

Daca f si p sunt doua functii marginite si integrabile pe si daca

a)      , ;

b)      este continua pe

atunci exista un punct astfel incat

.

Demonstratie.

Sa presupunem mai intai pe numai marginita si integrabila. Avem si pentru ca urmeaza deci si

,

neegalitatea care arata ca exista un numar cuprins intre m si M astfel incat

(2)

Sa presupunem acum ca este si continua in , deci ca exista un punct astfel incat ; in aceasta situatie relatia (2) se scrie

.

Formula obtinuta se numeste formula generala a mediei pentru integrale.

Pentru obtinem formula mediei.