Consideratii generale asupra vectorilor si valorilor proprii

Consideratii generale asupra vectorilor si valorilor proprii

Fie L un C spatiu liniar.

Definitie 3.1.1 Aplicatia A L L se numeste operator.

Definitie 3.1.2 Un operator A se numeste liniar daca oricare ar fi x, y L si α, β C avem

A(α x+ β y) = Ax+ Ay .

Corolar 3.1.1 Daca x₁, ., x_n L si α_{1, ,} α_n C atunci avem

A(α₁ x₁+ . + α_n x_n Ax₁+ . + α_n A x_n

Demonstratia este imediata prin inductie.

Fie e₁, e₂, ., e_n o baza a C spatiului liniar L iar A L L un operator liniar care transforma vectorii bazei in vectorii A e₁, A e₂, ., A e_n.

Avem:

A e₁ = a₁₁e₁ + a₂₁e₂ + .+ a_n1e_n

A e₂ = a₁₂e₁ + a₂₂e₂ + .+ a_n2e_n

A e_n = a_1ne₁ + a_2ne₂ + .+ a_nne_n

Definitie 3.1.3 Matricea

se numeste matricea operatorului A in baza e₁, e₂, ., e_n.

Corolar 3.1.2 Rezulta ca oricarui operator liniar ii corespunde intr-o baza data e₁, e₂, ., e_n o matrice.

Propozitie 3.1.1 Fie L un C spatiu liniar si e₁, e₂, ., e_n o baza a sa. Atunci unei matrici patratice de ordin n ii corespunde un operator liniar.

Demonstratie. Consideram vectorii

b₁ = a₁₁e₁ + a₂₁e₂ + .+ a_n1e_n

b₂ = a₁₂e₁ + a₂₂e₂ + .+ a_n2e_n

b_n= a_1ne₁ + a_2ne₂ + .+ a_nne_n

Fie A operatorul liniar care transforma vectorii bazei e₁, e₂, ., e_n respectiv in b₁, . , b_n, adica

A e_i = b_i,    

Scriind formullele din Corolarul 3.1.1 pentru acest operator deducem ca matricea care corespunde acestui operator este tocmai A.

Corolar 3.1.3 Intr-un C spatiu liniar n-dimenional L_n, fiind data baza e₁, ., e_n exista o bijectie intre mulsimea operatorilor liniari din L_n si multimea matricolor patratice de ordin n cu elemente in C.

Teorema 3.1.1 Intr-un C spatiu liniar n-dimenional L_n orice operator liniar A are cel putin un vector propriu.

Demonstratie. Fie L un subspatiu unidimensional al lui L_n generat de un vector x ≠ 0 (adica de multimea vectorilor de forma λx cu λ C

Pentru ca L sa fie invariant este necesar si suficient ca vectorul Ax sa fie situat in L adica sa fie multiplu al vectorului x, adica

Ax = λx (3.1)

Fie deci:

x = ξ₁e₁ + ξ ₂e₂ + .+ ξ _ne_n

si

Ax = (λ ξ₁)e₁ + (λ ξ ₂)e₂ + .+ (λ ξ _n)e_n

Din (3.1) rezulta:

(3.2)

sau

Conditia necesara pentru ca sistemul (3.3) sa admita solutii nenule este ca

(3.4)

Se obtine o ecuatie algebrica de gradul n in λ care, conform teoremei fundamentale a algebrei are cel putin o radacina λ₀, λ₀ C

Inlocuind in (3.3) pe λ prin λ₀ obtinem un sistem omogen de ecuatii liniare de determinant egal cu 0 si care prin urmare admite o solutie nenula, fie ea . Atunci vectorul x⁽⁰⁾ devine

si va fi un vector propriu iar λ₀ o valoare proprie. Deci

Ax = λ x⁽⁰⁾.

Observatie 3.1.1 Din Teorema 3.1.1 rezulta ca in orice subspatiu invariant al subspatiului pe care este definit operatorul A exista cel putin un vector propriu al operatorului.

Observatie 3.1.2 Ecuatia (3.4) se mai numeste ecuatie seculara iar polinomul corespunzator in λ se numeste polinom caracteristic.

Observatie 3.1.3 Ecuatia caracteristica mai poate fi scrisa sub forma

det (A - λE) = 0 (3.5)

unde A este matricea ce corespunde operatorului A

Observatia 3.1.4 Ecuatia caracteristica se mai scrie:

λⁿ - σ₁λ^n-1 + σ₂λ^n-2 - . + (-1)^n-1 σ_n-1λ + (-1)ⁿ σ_n = 0

unde

Numarul acestor minori diagonali de ordin k ai matricii A este

(k =)

Rezulta ca pentru a calcula coeficientii polinomului caracteristic este nevoie sa calculam

determinanti.

Tinand cont de identitatea

avem de calculat 2ⁿ - 1 determinanti.

Problema devine dificila pentru n mare.

Exemplu 3.1.1 Fie matricea

Deci

Deci polinomul caracteristic este:

P

cu radacinile λ₁ = λ₂ = 1 si λ₃ = 4.

Am calculat deci determinanti.

Sa calculam vectorii proprii.

I ) Pentru λ₁ = λ₂ = 1 avem:

cu solutia

Alegem c₁ = 1, c₂ = 0, respectiv c₁ = 0, c₂ = 1 si obtinem

II ) Pentru λ₃ = 4 obtinem sistemul:

Avem

Obtinem solutia x₁ = x₂ = x₃ = c. Luam c = 1 si avem