ECONOMETRIE Functia de repartitie F(x) si valorile tipice

ECONOMETRIE

Seminar 1 Functia de repartitie F(x) si valorile tipice pt. o variabila aleatoare discreta

Foaia de calcul (Discrete - functia din Variabile aleatoare)

Daca , - ordonata crescator .

Pt. orice cu

Pt. calculul lui si al marimilor derivate, se folosesc in Excel doua tabele, ca in figura.

Pt. tabelul din stanga (cu date initiale), in C3 se calculeaza automat valoarea lui n, in coloana A se introduce numarul curent , iar in coloanele B si C - datele initiale si ().

La tabelul din dreapta (cu rezultate), se selecteaza E7:H7 si se remorcheaza cu manerul de completare pana in linia 10 (unde ).

Exemplul Pt. , cu datele din fisierul Repartitie discreta (1).txt inserate incepand din A7, se obtin

.

Astfel , ,

Problema 1 Fie cu datele din fisierul Repartitie discreta (2).txt. Verificati ca datele reprezinta intr-adevar o repartitie de probabilitate. Reprezentati grafic repartitia si calculati urmatoarele probabilitati: a) , b) , c) , d) , e) , f)

Foaia de calcul 3.1 Continue - functia din Variabile aleatoare

Daca nu se cunoaste expresia ei analitica, functia de repartitie a unei variabile aleatoare continue X se poate calcula prin integrarea numerica a densitatii de probabilitate , folosind formula trapezelor. Daca este intervalul de integrare, iar este un sir de valori pt. n subintervale, , iar daca subintervalele sunt disjuncte si egale, atunci .

In foaia de calcul, se folosesc doua tabele. In D4 se scrie, daca se doreste, expresia analitica a lui , iar in D5:D7 - valorile , respectiv si n. Al doilea tabel, in A12:A31 se genereaza valorile lui i (), ca un sir cu baza 0 si ratia 1. Se selecteaza B11:F11 si se remorcheaza cu manerul de completare din coltul stanga-jos, pana in linia 31.

Exemplul Se considera , corespunzatoare repartitiei exponentiale , definita pe , cu . Se calculeaza pe intervalul (deci si ), cu . Rezulta (). Pt. , , , si , iar pt. , . , , , .

Foaia de calcul Discrete - valori tipice din Variabile aleatoare

Media (): pt. discreta finita ; pt. continua ;

momente (initiale) de ordin m     ale lui X - (cu ), iar momente centrate de ordin m - (cu ). Pentru , se obtine dispersia (variance) lui X, . Abaterea standard (standard deviation) este , - marginea inferioara, iar -cea superioara a intervalului la care se refera regula celor 3 . Coeficientul de asimetrie (skewness este , iar coeficientul de exces (kurtosis) ce masoara gradul de "ascutire" al graficului -

Calculul se face cu ajutorul a trei tabele. In C3 se calculeaza automat n, iar pt. primul tabel, in coloana A se introduce numarul curent , iar in coloanele B si C - datele initiale si ().

In al doilea tabel, cu rezultate intermediare, sunt momentele initiale () si momentele centrate (). Tabelul al treilea contine rezultatele finale. Ambele se calculeaza automat.

Exemplul 3 Pt. cu datele tot din fisierul Repartitie discreta (1).txt inserate incepand din A7, se obtin: pt. : 2.61, 9.85, 43.77 si 206.17; pt. : 0, 3.04, 2.20 si 12.59; , , , = , , , deci X este cu asimetrie pozitiva (inclinata spre stanga, cu "coada" spre dreapta), adica predomina valorile mici ale variabilei aleatoare, si este platikurtica (mai aplatizata decat repartitia normala).

Problema 2 Calculati si interpretati valorile tipice pentru din Problema 1.

Foaia de calcul 3.4 Continue - valori tipice din Variabile aleatoare

Pentru o variabile aleatoare continue X, se calculeaza valorile tipice ca in Foaia de calcul 3.2, numai ca , pe langa se adauga , iar se inlocuieste cu , unde . La primul tabel, in D4 se scrie expresia analitica a lui , iar in D5:D7 - valorile , respectiv si n. In al doilea tabel, din A12 se inscriu valorile lui i (), eventual se genereaza ca un sir de numere cu baza 0 si ratia 1. Se selecteaza B12:K12 si se remorcheaza pana in linia 42 (unde ). Celelalte doua tabele sunt ca in foaia de calcul 3.2, cu calcule automate.

Exempul 4 Se considera tot , dar pe intervalul , cu . In al doilea tabel, pentru , se obtine , , , = , , , , , si . In al treilea tabel, pt. : 2.61, 9.85, 43.77 si 206.17; iar pt. : 0, 3.04, 2.20 si 12.59. In final, , , , , , (asimetrie pozitiva, cu grafic inclinat spre stanga) si (repartitie leptokurtica, mai ascutita decat cea normala . Pt. evaluarea medianei , se cauta (in cel de al doilea tabel din Foaia de calcul 3.2 ) valoarea . Se observa ca ea ar fi situata intre si , deci