Spatii euclidiene

Definitie Fie V spatiu vectorial peste corpul de scalari K. O aplicatie , notata se numeste produs scalar daca satisface:

pentru

Definitie. Un spatiu vectorial E peste corpul K pe care s-a definit un produs scalar se numeste spatiu euclidian.

Definitie. Intr-un spatiu euclidian real sau complex, doi vectori se numesc vectori ortogonali daca produsul loc scalar este nul, deci

Definitie. Fie E spatiu euclidian. Un sistem se numeste sistem ortogonal de vectori daca fiecare vector este ortogonal pe toti ceilalti vectori. Deci pentru orice , .

Propozitie In orice spatiu euclidian n-dimensional peste corpul K exista cel putin o baza ortogonala car e se poat e determina cu procedeul lui Gramm - Schmidt.

Se pleaca de la o baza oarecare a spatiului E, si se construiesc vectorii:

Scalarii se vor determina punand conditia ca oricare doi vectori din sa fie ortogonali, obtinand

si prin recurenta

Procedeul descris mai sus poarta numele de procedeul lui Gramm - Schmidt.

Exemplu. Sa se construiasca o baza ortogonala a spatiului euclidian

Solutie: Fie vectorii si . Matricea A formata cu acesti trei vectori avand inplica faptul ca acesti vectori formeaza o baza a spatiului Se construiesc vectorii:

Vectorii formeaza o baza ortogonala a spatiului deoarece sunt trei vectori liniar independenti si ortogonali doi cate doi.

Definitie. Fie V spatiu vectorial peste corpul K. O functie , notata se numeste norma vectorului x, daca verifica:

Norma unui vector pe un spatiu euclidian se poate defini in mai multe feluri. Noi vom folosi norma definita cu ajutorul produsului scalar:

Definitie. Un spatiu vectorial pe care s-a definit o norma se va numi spatiu vectorial normat.

Propozitie: In orice spatiu vectorial normat exista o baza ortonormata adica o baza ortogonala in care norma fiecarui vector este egala cu unitatea.