PIRAMIDA

ELEMENTE

AB = l = latura bazei (muchia bazei)

OM = ap_b =apotema bazei

OA = R_b = raza cercului circumscris bazei

VO = h =inaltimea piramidei

VM = ap = apotema piramidei

VA = m = muchia laterala

FORMULE

Din triunghul VOA care este dreptunghic, prin aplicarea Teoremei lui Pitagora, vom obtine:

VA² =VO² +AO² => m²=h² +R_b²

Din triunghul VOM care este dreptunghic, prin aplicarea

Teoremei lui Pitagora, vom obtine:

VM² =VO² + OM² => ap²= h² + ap_b²

Din triunghul VMC care este dreptunghic, prin aplicarea

Teoremei lui Pitagora, vom obtine:

VB² =VM² + MB² => m² =ap² + (l/2)²

DISTANTE

Distanta de la un varf al bazei la o fata laterala opusa

Pir. tr. AP I VM

VM I BC => AP I (VBC) =>d(A,(VBC))=AP

AM I BC AP∙VM = VO∙ AM => AP∙ap = h ∙ h_{triughi baza}

Pir. patr. AD II BC => AD II (VBC)

N Є AD =>d(A,(VBC))=d(N,(VBC)=NP

NP I VM

VM I BC => NP I (VBC) =>d(N,(VBC))=NP

NM I BC NP∙VM = VO∙NM => NP∙ap = h ∙ 2∙ap_b

Pir. hexag. FE II BC => FE II (VBC)

N Є FE =>d(F,(VBC))=d(N,(VBC)=NP

NP I VM

VM I BC => NP I (VBC) =>d(N,(VBC))=NP

NM I BC NP∙VM = VO∙NM => NP∙ap = h ∙ 2∙ap_b

Distanta de la un varf al bazei la o fata alaturata acestuia (pir. hexag.)

AD II BC => AD II (VBC) =>d(A,(VBC))=d(O,(VBC))

Distanta de la centrul bazei la o fata laterala

OQ I VM

VM I BC =>OQ I (VBC) => d(O,(VBC)) = OQ

OM I BC

In triunghiul dreptunghic VOM, OQ este inaltimea =>

UNGHIURI

Unghiul dintre o muchie laterala si planul bazei

(VA ABC)) = VAO se calculeaza din triunghiul dreptunghic VAO )

Unghiul dintre o fata laterala si planul bazei

((VBC) ABC))= VMO (se calculeaza din triunghiul dreptunghic VMO)

Unghiul dintre doua fete laterale alaturate

Pir.triungh. ((VBC) VAC)) = ARB Se calculeaza cu Teorema

Pir patr. si hex. ((VBC) VDC)) = DRB lui Pitagora generalizata:

a² =b² + c² - 2cb ∙ cos(b,c)

Unghiul dintre doua fete laterale opuse( numai pentru pir. patr. si hex.)

((VBC) VAD)) sau ((VBC),(VFE)) =MVN

Se calculeaza din triunghiul MVN care este isoscel, laturile congruente fiind apoteme ale piramidei.

ELEMENTE

AB = L = latura bazei mari(muchia bazei mari)

OM ap_B =apotema bazei mari

OA = R_B = raza cercului circumscris bazei mari

A'B' l = latura bazei mici(muchia bazei mici)

O'M' =ap_b =apotema bazei mici

O'A' =R_b = raza cercului circumscris bazei mici

A'A = m = muchia laterala

M'M = ap = apotema trunchiului

O'O = h =inaltimea trunchiului

FORMULE

Din trapezul dreptunghic OAO'A', construind o paralela la OO'si aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic obtinut, vom avea:

A'A² =O'O² +(AO - A'O')² => m²=h² +(R_B R_b)²

Din trapezul dreptunghic OMO'M' construind o paralela la OO'si aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic obtinut, vom avea:

M'M²= O'O²+(OM - O'M')² =>ap²= h² + (ap_B - ap_b)²

Din trapezul dreptunghic MCM'C' construind o paralela

la MM'si aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic obtinut, vom avea:

B'B² =M'M² + (MB - M'B')² => m² =ap² +

RELATII INTRE TRUNCHIUL DE PIRAMIDÃ SI PIRAMIDA DIN CARE PROVINE TRUNCHIUL

Notatii Al_PM =aria laterala a piramidei din care provine trunchiul

Al_pm = aria laterala a piramidei mici, obtinuta prin sectionarea

piramidei initiale

Al_tr = aria laterala a trunchiului de piramida

V_PM =volumul piramidei din care provine trunchiul

V_pm = volumul piramidei mici, obtinuta prin sectionarea

piramidei initiale

V_tr = volumul trunchiului de piramida

VO= h_PM = inaltimea piramidei din care provine trunchiul

VM=ap_PM = apotema piramidei din care provine trunchiul

AB = L

VO'= h_pm= inaltimea piramidei mici

VM'= ap_pm= apotema piramidei mici

A'B'= l

OO'= inaltimea trunchiului de piramida

MM'= apotema trunchiului de piramida

Al_{PM =} Al_{tr +} Al_pm

V_{PM =} V_{tr +} V_pm