Continuitatea functiilor vectoriale

Continuitatea functiilor vectoriale

Definitia continuitatii functiilor reale de o singura variabila se extinde si pentru functii vectoriale.

Definitia 1. Fie functia si un punct . Functia este continua in daca pentru orice vecinatate a lui exista o vecinatate a lui astfel incat oricare ar fi , atunci .

Urmatoarele propozitii dau definitii echivalente ale continuitatii:

Propozitia 1. Functia este continua in punctul daca si numai daca pentru orice sir , , atunci .

Propozitia 2. Functia este continua in daca si numai daca pentru orice numar exista un numar astfel incat oricare ar fi cu , atunci .

Propozitia 3. Functia este continua in daca si numai daca pentru orice numar exista o vecinatate a lui , ( depinde de ) astfel incat oricare ar fi , atunci .

Propozitia 4. Functia este continua in punctul daca si numai daca pentru orice vecinatate a lui exista un numar (care depinde de ) astfel incat oricare ar fi cu sa avem .

Propozitia 5. Functia este continua in punctul daca si numai daca .

Se spune ca functia este continua pe multimea daca este continua in fiecare punct din . Proprietatile functiilor reale continue care nu implica relatia de ordine, raman variabile si pentru functiile vectoriale continue.

Propozitia 6. Faca functia este continua in punctul (sau pe ) atunci functia este continua in (respectiv pe ).

Propozitia 7. Functia vectoriala este continua intr-un punct daca si numai daca fiecare din componentele sale reale este continua in .