Schema lui Bernoulli cu bila intoarsǎ (binomialǎ) - Probabilitati

Schema lui Bernoulli cu bila intoarsǎ (binomialǎ)

Aceastǎ schemǎ de probabilitate se aplicǎ in cazul in care se fac repetǎri independente ale unui experimant si la fiecare repetare se are in vedere aparitia unui eveniment bine precizat. Evenimentul considerat se presupune cǎ apare cu aceeasi probabilitate la fiecare repetare a experimentului. Se cere calcularea probabilitǎtii ca din n repetǎri ale experimentului evenimnetul precizat sǎ aparǎ de k ori.

Modelul probabilistic se realizeazǎ printr-o urnǎ ce contine bile de douǎ culori, de exemplu albe si negre, intr-o proportie cunoscutǎ. Se extrag bile din urnǎ, una cate una, fiecare bilǎ extrasǎ se reintroduce in urnǎ dupa ce se constatǎ culoarea bilei extrase. Se cere determinarea probabilitǎtii ca din n bile extrase, k sǎ fie de culoarea albǎ.

Dacǎ se noteazǎ prin evenimantul ca la extragerea de rang i sǎ fie extrasǎ o bilǎ de culoare albǎ, atunci este evenimentul ca la extragerea de rang i sǎ fie obtinutǎ o bilǎ de culoare neagrǎ. De asemenea, deoarece la fiecare repetare, bila extrasǎ se depune din nou in urnǎ, probabilitatea de a extrage o bilǎ albǎ, la fiecare repetare, este aceeasi, fie aceasta notatǎ prin . LA fel, obtinerea unei bile negre la fiecare repetare se realizeazǎ cu aceeasi probabilitate

Fie notat prin evenimentul ca din n ble extrase sǎ fie obtinute k bile albe. Acest evenimant se poate scrie sub forma

Evenimentele reuniunii sunt incompatibile douǎ cate douǎ, iar evenimentele din fiecare intersectie sunt independente. Astfel se scrie succesiv

Avand in vedere cǎ toti termenii sumei sunt egali, iar suma are termeni, avem cǎ probabilitatea de a obtine k bile albe in n extrageri de bile din urnǎ este datǎ prin formula

Observatia 2.1. Dacǎ se considerǎ formula binomului lui Newton, avem cǎ

Asadar, probabilitatea este coeficientul din dezvoltatea binomului de aici si denumirea de schemǎ binomialǎ.

Observatia 2.2 Dacǎ se ia in formula de la observatia precedentǎ si dacǎ se are in vedere cǎ , se obtine cǎ

Exemplul 2.3. O unitate hotelierǎ se considerǎ cǎ este normal ocupatǎ, dacǎ cel putin 80% din capacitatea sa este utilizatǎ. Dintr-un studiu statistic s-a obtinut cǎ probabilitatea ca hotelul sǎ fie normal ocupat intr-o zi este Vrem sǎ calculǎm probabilitatea ca unitatea hotelierǎ sǎ fie normal ocupatǎ in cinci zile din cele sapte ale unei sǎptǎmani.

Calculul acestei probabilitǎti se face cu schema lui Bernoulli cu bila intoarsǎ, unde si Astfel se obtine cǎ