Criteriul Eisenstein

Criteriul Eisenstein

(1). Daca p este un numar prim, polinomul X^p-1 + X^p-2 + X + 1 nu se poate descompune in produsul a doua polinoame cu coeficienti intregi.

Solutie

f = X^p-1 + X^p-2 + + X+1 =

f este ireductibil daca f(X+1) ireductibil f(X+1) = = X^p-1 + X^p-2 + + este ireductibil cu criteriul lui Eisenstein ( p | , 1 < k < p-1) rezulta f ireductibil.

(3). Sa se arate ca polinomul

f = X⁵² + X⁵¹ + X⁵⁰ + + X + X + 1 nu se poare scrie ca    produsul a doua polinoame cu coeficienti intregi.

Solutie:

f(x) = p = 53

f(x+1) = = x⁵² + x51 + + este ireductibil in Z[X] : 53^x |

(4). Sa se arate ca polinomul f = x⁴ - 120 (n≥1) nu se poare descompune in produs a doua polinoame cu coeficientii intregi.

Solutie

f = x² + 1 si f(x+1) = (x+1)² + 1 = X² + + + + + 2. Conform cirteriului Eisenstein 2 | pentru orice 1 < k < 2n - 1.

(5) Sa se determine numerele intregi a, b astfel incat polinomul x⁴ + ax² + bx + 1 sa se descompuna in produsul a doua polinoame de grad mai mic decat 4, cu coeficienti intregi.

Solutie

Polinomul este un produs dintre un polinom de gradul 1 si unul de gradul 3, deci are o radacina intreaga

= +1, este o radacina a + b + 2 = 0

= -1 este o radacina a - b +2 = 0