Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile

Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile

Fie o functie de doua variabile definita pe o multime si un punct interior al lui .

Definitia 1 Se spune ca functia este diferentiabila in punctul daca exista doua numere reale si si o functie definita pe , continua in si nula in acest punct, astfel incat in orice punct

Daca este o multime deschisa se spune ca este diferentiabila pe daca este diferentiabila in orice punct din .

Se va nota , deci egalitatea de mai sus se scrie

unde .

Lema 1. Daca functia definita pe , are limita 0 in , atunci exista doua functii si definite pe care au limita 0 in si

, .

Reciproc, daca functiile si definite pe , au limita 0 in punctul atunci exista o functie cu limita 0 in care sa verifice egalitatea precedenta.

Folosind aceasta lema, rezulta imediat:

Propozitia 3. Functia este diferentiabila in punctul daca si numai daca exista doua numere reale si si doua functii si definite pe , continue in si nule in acest punct, , , astfel incat pentru orice ,

Aceasta egalitate se mai scrie

Propozitia 4. Daca functia este diferentiabila in , atunci ea are derivate partiale in si , .

Egalitatea de definitie a diferentiabilitatii se scrie atunci astfel:

Corolar. Daca este diferentiabila pe , atunci ea are derivate partiale si pe .

Propozitia 5. Daca este diferentiabila in punctul , atunci ea este continua in acest punct.

Corolar. Daca este diferentiabila pe atunci ea este continua pe .

Ultimele doua propozitii arata ca existenta unei derivate partiale si continuitatea unei functii sunt conditii necesare (dar nu suficiente) pentru diferentiabilitatea sa. Propozitia urmatoare da conditii suficiente de diferentiabilitate.

Propozitia 6. Daca are derivate partiale si intr-o vecinatate a lui si daca aceste derivate partiale sunt continue in , atunci functia este diferentiabila in .

Reciproca propozitiei nu este adevarata.

Fie o functie reala definita pe si diferentiabila in . Cum are limita 0 in avem aproximarea:

Definitia 2. Functia de doua variabile

se numeste diferentiala lui in .

Fie functiile date de atunci , si , , deci si .

Notand    si vom avea

sau

Pentru o functie de variabile diferentiala este

unde este diferentiala functiei .