Ecuatii diferentiale

Ecuatii diferentiale

Sunt multe probleme economice care se reduc la rezolvarea unor ecuatii, numite ecuatii diferentiale ordinare sau, mai scurt, ecuatii diferentiale, care leaga intre ele o variabila independenta , o functie necunoscuta de , pe care o notam si primele ei derivate .

Fie o functie definita pe un domeniu din cu valori reale, continua in acest domeniu.

Definitia 1. O relatie de forma

se numeste ecuatie diferentiala de ordinul .

Fie o functie de ori derivabila in orice punct al intervalului , unde poate fi , iar poate fi .

Se spune ca functia este solutie a ecuatiei diferentiale (1), daca inlocuind in ecuatia diferentiala (1), functia cu , se obtine o identitate, oricare ar fi adica

Daca in sistemul de coordonate se reprezinta grafic functia se obtine o curba de ecuatie care se numeste curba integrala a ecuatiei (1).

In unele cazuri, in locul solutiilor se gasesc solutii de forma care definesc solutiile ca functii de . De obicei se spune si despre aceste relatii ca sunt solutii, iar curbele pe care le definesc se numesc curbe integrale.

Daca functia , ce intra in definitia ecuatiei diferentiale (1), indeplineste conditii suficiente pentru a putea scoate din ecuatia pe ca functie de celelalte variabile, adica

unde este o functie de variabile definita pe domeniu cu valori reale si continua in acest domeniu. Ecuatia se numeste tot ecuatie diferentiala de ordinul , dar este de o forma particulara fata de (1), fiindca contine pe explicitat in raport cu .

Problema lui Cauchy, pentru ecuatia diferentiala de ordinul de forma (2) consta in determinarea solutiei ecuatiei, care satisfac conditiile initiale , , , ., , unde este un punct constant.

Se poate demonstra ca atunci cand functia satisface anumite conditii, pentru orice punct , exista o unica solutie a ecuatiei diferentiale (2), care satisface conditiile lui Cauchy (rezolva problema lui Cauchy) in acel punct.

Definitia 2 Prin solutie generala a ecuatiei diferentiale (2) se intelege o solutie a ei, ce depinde si de constante considerate ca parametri reali si cu ajutorul careia se poate rezolva o problema a lui Cauchy pentru orice punct din domeniul .