Referat la Matematica

Cuprins.

I.Multimea polinoamelor cu

coeficineti complecsi.....................3

I.1. Definirea polinoamelor................3

I.2. Adunarea si inmultirea.................3

I.3. Forma algebrica...................6

I.4. Gradul unui polinom..................6

I.5 Val pol. intr-un punct..................7

I.6. Impartirea polinoamelor................7

I.7. Divizibilitatea polinoamelor................9

I.8. Radacinile polinoamelor.................11

II. Multimea polinoamelor cu

coeficienti reali........................13

III. Multtimea polinoamelor cu

coeficienti intregi si rationali..................14

IV. Aplicatii..........................15

IV.1. Probleme rezolvate.................15

IV.2. Probleme propuse...................19

Polinoame cu coeficienti complecsi

I. Multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi

I.1.Definirea polinoamelor

Fie C[X] multimea sirurilor(infinite) de numere(complexe)

, care au numai un numar finit de termeni a_i,nenuli, adica exista un numar natural m, astfel incat a_i=0, pentru orice i>m.

De exemplu, sirurile ; ; sunt siruri infinite care au un numar finit de termeni nenuli. Sirul g are 3 termeni nenuli, iar h are 4 termeni nenuli. Deci aceste siruri sunt elemente din multimea C[X].

I.2. Adunarea si inmultirea polinoamelor

Definim pe multimea C[X] doua operatii algebrice: adunarea si inmultirea.

Adunarea polinoamelor:

Fie , doua elemente din multimea C[X]; atunci definim:

,

Proprietatile adunarii polinoamelor:

(C[X],+) se numeste grup abelian

Asociativitatea

^C[X]

Intr-adevar, daca ,si atunci avem si deci .

Analog, obtinem ca . Cum adunarea numerelor este asociativa, avem , pentru orice .

Comutativitatea

, C[X]

Intr-adevar, daca si , avem,

Cum adunarea numerelor complexe este comutativa, avem pentru orice . Deci .

Element neutru

Polinomul constant 0=(0,0,0,.) este element neutru pentru adunarea polinoamelor, in sensul ca oricare ar fi C[X],avem:

Elemente inversabile

Orice polinom are un opus, adica oricare ar fi C[X], exista un polinom, notat , astfel incat:

De exemplu, daca este un polinom, atunci opusul sau este

Inmultirea polinoamelor:

Fie ,

Atunci definim:

c_k

Proprietatile inmultirii:

Asociativitatea

Oricare ar fi C[X], avem:

Comutativitatea

Oricare ar fi C[X],avem:

Intr-adevar, daca , , atunci notand si , avem

si . Cum adunarea si inmultirea numerelor complexe sunt comutative si asociative, avem c_r=d_r, pentru orice . Deci .

Element neutru

Polinomul 1=(1,0,0,.) este element neutru pentru inmultirea polinoamelor, adica oricare ar fi C[X],avem:

Elemente inversabile

C[X] este inversabil daca exista ,a.i.:

Singurele polinoame inversabile sunt cele constante nenule: , a

Distributivitatea

Oricare ar fi polinoamele C[X],are loc relatia:

1.3. Forma algebrica a polinoamelor

Notatia introdusa pentru polinoame nu este prea comoda in operatiile cu polinoame. De aceea vom folosi alta scriere.

Daca consideram , atunci se va scrie sub forma: . Au loc notatiile:

Exemplu:

Atunci:

I.4. Gradul unui polinom

Fie . Se numeste gradul lui , notat prin , cel mai mare numar natural n astfel incat .

Exemple: 1. Polinomul are gradul 1;

2. Polinomul are gradul 5;

3. Polinomul constant , unde ,are gradul 0.

Referitor la gradul sumei si produsului a doua polinoame si , au loc urmatoarele relatii:

i) ;

ii) .

I.5. Valoarea unui polinom intr-un punct

Fie , atunci functia polinomiala asociata polinomului f este:

, .

I.6. Impartirea polinoamelor

* Teorema de impartire cu rest:

, , cu

Polinomulse numeste deimpartit,impartitor,cat,iar r rest.

Vom efectua impartirea polinomului la polinomul .

Acest tabel ne reda regula(algoritmul) de impartire a polinoamelor, pe care o vom aplica in practica pentru obtinerea catului si restului impartirii.

Exemplu: Fie polinoamele si . Sa determinam catul si restul impartirii lui f la g.

q

r

Deci catul este , iar restul . Formula impartirii cu rest se scrie,in acest caz astfel:

Impartirea prin X-a. Schema lui Horner.

Fie . In cele ce urmeaza ne vom folosi de schema lui Horner pentru a imparti polinomul f la polinomul .

In randul de sus al tabelului se scriu coeficientii polinomului f, iar in randul de jos coeficientii ai catului si restul r.

Exemplu: Utilizand schema lui Horner, sa se determine catul si restul impartirii polinomului si binomul .

Deci catul si restul impartirii sunt si .

I.7. Divizibilitatea polinoamelor

Def. , asa incat , cu .

Spunem ca f se divide la g sau g divide pe f, daca .

Proprietati

Reflexivitatea

Simetria

si , a.i.

In acest caz spunem ca f este asociat cu g

Tranzitivitatea

Daca si

Daca si

Cel mai mare divizor comun

Def. = C.m.m.d.c

1. si

2. si

Algoritmul lui Euclid:

Cel mai mare divizor comun a doua polinoame este unic pana la inmultirea cu o constanta(asociere).

Daca , atunci f si g sunt prime intre ele.

Exemplu: Sa se gaseasca cel mai mare divizor comun al polinoamelor:

si .

Vom aplica algoritmul lui Euclid. Impartim pe f la g.

Pentru a evita coeficientii fractionari, vom inmulti in prealabil pe g cu 3 si restul impartirii cu -1. impartim acum impartitorul la rest:

Acum, pentru a evita din nou coeficientii fractionari, vom inmulti pe cu 2 si continuam operatia.

3

Am obtinut restul . Pentru a evita din nou coeficientii fractionari, vom imparti restul cu -19 si impartim impartitorul la rest.

-- -- Ultimul rest nenul este polinomul si deci .

Cel mai mic multiplu comun

Def. Fie f si g doua polinoame. Un polinom m se numeste cel mai mic multiplu comun al polinoamelor f si g daca verifica urmatoarele conditii:

1. si

2. , si

Daca d este c.m.m.d.c al lui f si g, atunci .

I.8. Radacinile polinoamelor.

Teorema lui Bezout:

Fie un polinom. Atunci numarul este radacina a polinomului f daca si numai daca divide f.

Teorema fundamentala a algebrei

Orice ecuatie algebrica de grad mai mare sau egal cu 1 si cu coeficienti complecsi are cel putin o radacina complexa.

Radacini simple si multiple

Def. Fie . este radacina de ordin de multiplicitate m, daca si nu divide pe f.

Exemple:

nu divide f este radacina de ordin de multiplicitate 1(rad. simpla).

. Descompunand in factori ireductibili vom obtine:

, unde:

1= radacina de ordin de multiplicitate 3

i,-i,-1= radacini de ordin de multiplicitate 1

Teorema de descompunere in factori ireductibili(primi)

Fie si radacinile sale in C, nu neaparat distincte. Atunci: (in C[X])

Singurii factori ireductibili(primi) in C[X] sunt polinoamele de gradul I.

Relatiile lui Francois Viete

Fie , un polinom de grad n. Daca sunt radacinile lui f, atunci:

II Multimea polinoamelor cu coeficienti reali

Fie si ecuatia .

Daca este radacina pentru f, atunci este radacina pentru f, iar x₁ si x_x au aceeasi multiplicitate.

Demonstratie

.

Teorema de descompunere in factori ireductibili

In R[X]:

Singurele polinoame prime din R[X] sunt:

polinoamele de gradul I

polinoamele de gradul II cu .

III. Multimea polinoamelor cu coeficienti rationali si respectiv intregi

Fie . Atunci daca este radacina pentru f, cu , atunci este radacina pentru f si x₁ si x₂ au aceeasi multiplicitate.

Exemplu:

este radacina.

Fie si ecuatia

Daca f admite o radacina de forma , , atunci

si . Daca , atunci .

Exemplu:

Fie admite solutia . Deci

Impartind succesiv polinomul la posibilele radacini, obtinem:

IV. Aplicatii

IV.1. Probleme rezolvate

1.Sa se determine m si n si apoi sa se rezolve ecuatia stiind ca admite radacina .

Daca

Daca .

2.Sa se arate ca polinomul , cu este divizibil prin

Daca

3. Fie . Fie , unde este radacina a lui f. Atunci:

; ; ;

R:c)

4.Restul impartirii lui f la este:

; ; ; .

Fie o radacina a ecuatiei

Deci restul impartirii lui f la este . R:c).

Daca si . Atunci relatia dintre si este:

; ;

; .

Daca atunci:

se mai poate scrie, echivalent, sub forma:

R:c).

Fie ecuatia , fiind parametru. Multimea valorilor lui m pentru care este:

a.       ; b. ;

c. ; d. .

.

.

Deci . R:a).

Valoarea expresiei:

,unde sunt radacinile ecuatiei este:

a.       -3; b. -1; c. -6; d. 3.

R:c).

Fie radacinile ecuatiei . Atunci suma are valoarea:

a.       ; b. ; c. ; d..

Daca sunt radacini, atunci fiecare din ele verifica ecuatia:

R:b).

Se considera functia , , .Suma modulelor radacinilor ecuatiei este:

a.       ; b. pentru ; c. pentru d. .

.

Daca . R:b).

Restul impartirii lui la este:

a. ; b. ; c. ; d. .

, unde , .

Pentru

Pentru

(-)

.

Deci . R:d).

IV.2. Probleme propuse

Fie cu radacinile si cu radacinile .

este:

a.         5; b. 7; c. 9; d. 1.

2. este:

a.         1; b. 5; c. 7; d. 3.

3.Sa se determine , stiind ca ecuatia are radacinile in progresie aritmetica.

4.Polinomul are gradul 5 si . Atunci suma radacinilor lui f este:

a.       0; b. -1; c. 3; d. 4.

5.Se considera functia , . Suma este :

a.       89300 b. 44650 c. 44600 d. 45000.

6.Se considera functia , cu . Solutiile si ale ecuatiei , pentru m=2 verifica relatia . Atunci este:

a.       1; b. i; c. 2; d. 1-i.

7.Se considera polinoamele , cu radacinile si , cu rad. . Restul impartirii lui la este:

a.         7; b. 5; c. 1; d. -1.

8. Radacina reala a lui f este situata in intervalul:

a. ; b. c. ; d. .