VARIABILE ALEATOARE

VARIABILE ALEATOARE

a. FUNCTIA DE REPARTITIE. DENSITATEA DE REPARTITIE

Fie campul de probabilitate (, K, P) si v.a. X : R

Definitie

Functia F : R R, definita prin formula:

F(x) = P() = P(X<x), xR se numeste functie de reapartitie a v.a. X.

Orice v.a. poate fi data prin intermediul functiei sale de repartitie, adica oricarei v.a. ii corespunde o anumita functie de repartitie. Aceasta corespondenta nu este injectiva, adica exista v.a. diferite dar care au aceeasi functie de repartitie.

Daca X este o v.a. simpla care are repartitia (x_i, f(x_i)), i = , atunci pentru fiecare xR dat rezulta ca

F(x) = . Rezulta ca functia de repartitie a unei v.a. simple ( mai general discrete) X este suma probabilitatilor valorilor X() situate la stanga lui x.

Functia de repartitie F a unei v.a. discrete X se numeste functie de repartitie de tip discret.

Exemplu:

Fie v.a. simpla X avand repartitia:

X: . Sa se determine functia de reaprtitie a v.a. X.

F(X) =

Proprietati ale functiei de repartitie :

1. 0 F(x) 1, oricare x R

2. F este nedescrescatoare, adica daca a < b atunci F(a) F(b), oricare a,b R

3. Daca a < b oricare a,bR au loc egalitatile:

P( a X<b) = F(b) - F(a)

P(a<X<b) = F(b) - F(a) - P(X=a)

P(a<Xb) = F(b) - F(a) - P(X=a) + P(X=b)

P(aXb) = F(b) - F(a) +P(X=b)

4. F(-) = 0, F() = 1

5. Functia de repartitie este continua la stanga, adica F(x) = F(x-0) oricare x R

Densitatea de repartitie

Fie X o v.a. a carei functie de repartitie este F(x).

Definitie

Daca exista o functie f : R [0,] astfel incat F(x) = pentru orice x R, atunci f se numeste densitate de repartitie sau densitate de probabilitate

Obs. Daca X are densitatea de repartitie f, atunci:

f(x) = F'(x) = .

Rezulta ca P(xf(x)dx deci f(x)dx este probabilitate elementara.

Proprietati ale densitatii de repartitie

1. f(x) 0, orice x R

2.

3. Pentru a,bR cu a<b are loc egalitatea:

P(a<b) =

b. CARACTERISTICI NUMERICE ALE VARIABILELOR ALEATOARE

A.         Caracteristici numerice ale v.a. discrete

Valoarea medie

Fie campul de probabilitate (, K, P) si v.a. X : R care ia valorile x_n , nN^*, cu probabilitatile f(x_n) = P(X=x_n). Daca seria este absolut convergenta, constanta

M(X) = se numeste valoarea medie ( sau speranta matematica) a v.a.X.

Proprietatile valorii medii

Daca X = c (constant), atunci M(X) = c

Daca X este v.a. discreta si a,b constante si M(X) exista atunci exista si M(aX+b) = a M(X) + b

Daca X si Y sunt v.a. discrete avand valorile medii M(X) si M(Y) atunci M(X+Y) exista si are loc egalitatea M(X+Y) = M(X) + M(Y)

Daca X si Y sunt v.a. discrete independente care au valorile medii M(X) respectiv M(Y), atunci exista M(XY) si are loc egalitatea M(XY) = M(X) M(Y)

Abaterea de la valoarea medie

Fie X o v.a. discreta a carei valoare medie este M(X). Variabila aleatoare Z = X - M(X) se numeste abaterea ( de la valoarea medie) a v.a. X. Rezulta de aici ca M(Z) = 0.

Momente

Fie X o v.a. discreta si rN^* . Daca valoarea medie a v.a. X^r exista, atunci aceasta valoare medie se numeste moment ( sau moment initial) de ordinul r al v.a. X si se noteaza

M_r(X) = M(X^r) =

Obs: M₁(X) = M(X)

Valoarea medie a variabilei aleatoare se numeste moment absolut de ordinul r al v.a. X si se noteaza M_r() = M(^r) =

Momentul de ordinul r al abaterii X - M(X) se numeste moment centrat de ordinul r al v.a. X si se noteaza m_r(X) = M_r(X-M(X)) = M[(X-M(X))^r]

Dispersia ( momentul centrat de ordin 2)

Momentul centrat de ordinul 2 ( r=2) se numeste dispersia varaiabilei aleatoare X si se noteaza

D²(X) = = m₂(X) = M[(X - M(X))²]

Numarul D(X) = = se numeste abatere medie patratica a v.a. X.

Proprietati ale dispersiei

1. D²(X) = M(X²) - [M(X)]²

2. Fie v.a X cu dispersia D²(X) si a,b R si fie Y = aX+b. Atunci

D²(Y) = D²(aX+b) = a²D²(X)

3. Daca X si Y sunt v.a. independente avand dispersiile D²(X) si D²(Y) respectiv, atunci oricare ar fi constantele a,b dispersia v.a. aX + bY este

D²(aX + bY) = a²D²(X) + b²D²(Y)

B.         Caracteristici numerice ale v.a. continue

Fie campul de probabilitate (, K, P) si X o v.a. continua a carei densitate de repartitie este f(x).

Definitii

Valoarea medie a v.a. X este M(X) = , in ipoteza ca integrala este convergenta.

Momentul (momentul initial) de ordin r este M_r(X) = M(X^r) = , in ipoteza ca integrala este convergenta.

Momentul absolut de ordinul r este M_r(|X|^r) =

Momentul centrat de ordin r este m_r(X) = M_r(X - M(X)) =

c. CORELATIA

Fie campul de probabilitate (, K, P) si v.a. X₁, X₂ definite pe acest camp. Notam M(X₁) = m₁ si M(X₂) = m₂.

Definitie

Se numeste corelatie sau covarianta a v.a. X₁ si X₂ constanta cov(X₁, X₂) = M[(X₁-m₁)(X₂-m₂)]

Se numeste coeficientul de corelatie a v.a. X₁, X₂ raportul ( X₁, X₂) =

Formula pentru calculul coeficientului de corelatie este:

( X₁, X₂) =

Definitie

V.a. X₁ si X₂ sunt necorelate daca M₂(X₁) si M₂(X₂) sunt finite si daca M(X₁X₂) = M(X₁)M(X₂).

Daca, in plus, M(X₁X₂) = 0 variabilele aleatoare X₁ si X₂ se numesc ortogonale.

Proprietati ale coeficientului de corelatie

Fie X₁ si X₂ v.a. independente. Atunci M(X₁X₂) = M(X₁)M(X₂) si ( X₁, X₂) = 0

Obs. Reciproca acestei propozitii nu este adevarata. Daca ( X₁, X₂) = 0 nu rezulta ca variabilele aleatoare sunt independente ci ca sunt necorelate.

Pentru doua v.a. ale caror valori medii exista si ale caror dispersii sunt finite nenule ,

(X₁,X₂) 1

Obs. ( X₁, X₁) = 1 si ( X₁, -X₁) = -1

3. Intre v.a X₁ si X₂ exista o relatie liniara daca si numai daca X₁ si X₂ exista o relatie liniara daca si numai daca (X₁,X₂) =1

Obs. Daca X si Y sunt v.a. ale caror medii si dispersii exista, atunci:

D²(X+Y) = D²(X) + D²(Y) 2cov (X,Y)

Exemplu

Fie X si Y v.a. simple cu repartitiile X : Y: . Daca P(X = -1, Y= -1) = p sa se afle:

a)      repartitia comuna a v.a. X si Y

b)      (X,Y)

c)      Valorile probabilitatii p pentru care X si Y sunt necorelate

Rezolvare:

a)

b) Folosim formula ( X₁, X₂) =

M(X) = (-1). = 0

M(Y) = (-1).0

XY : si M(XY) = 6p-2

X² : si M(X²) = 1 si D²(X) = 1

Y² : si M(Y²) = 2 D²(Y) = 2

Atunci (X,Y) =

c)      X si Y sunt necorelate daca (X,Y) = 0, adica p = 1/3

EXERCITII PROPUSE

1. Fie X o v.a. avand functia de repartitie:

F(X) =

a)              sa se reprezinte grafic functia F si sa se determine repartitia v.a. X

b)              sa se calculeze P(-1,5 < X 10)

c)              sa se calculeze P(-2< X < 3)

d)              sa se calculeze P(X 3)

2. Timpul de asteptare (in minute) intr-o statie de metrou are functia de repartitie:

F(X) =

a)              sa se reprezinte grafic functia de repartitie

b)              sa se determine densitatea de reaprtitie corespunzatoare si sa se reprezinte grafic

c)              sa se determine probabilitatea ca un calator sa astepte:

mai mult de 3 minute

mai putin de 3 minute

intre un minut si 3 minute

mai mult de 3 minute stiind ca a asteptat mai mult de un minut

mai putin de 3 minute stiind ca a asteptat mai mult de 1 minut

3. Sa se determine a,b,c astfel incat functia F : R R,

F(X) =

Sa fie functie de repartitie a v.a. X. Sa se afle functiile de repartitie ale v.a. 2X + 1 si X²

4. V.a. X are repartitia:

X:

Sa se calculeze D(X)

5. Fie X si Y v.a. pentru care M(X) = -2, M(Y) = 4, D²(X) = 4, D²(Y) = 9, (X,Y) = -0,5. Sa se calculeze valoarea medie a v.a. X = 3X² - 2XY + Y² - 3

6. Fie A si B doua evenimente astfel incat P(A) = , P(B|A) = , P(A|B) = . Se definesc v.a. X si Y astfel: X = 1 sau X = 0 dupa cum se realizeaza sau nu evenimentul A; Y = 1 sau Y = 0 dupa cum se realizeaza sau nu eenimentul B. Sa se calculeze (X,Y)

7. Se dau variabilele aleatoare X si Y pentru care M(X) = -2, M(Y) = D(X) = 1, D(Y) = 3, (X,Y) = -. Sa se calculeze M(Z²) daca Z = 4X + 3Y.

8. Repartitia comuna a v.a. X si Y este data in tabelul:

Sa se afle coeficientul de corelatie al variabilelor aleatoare X si Y.

9. Repartitia comuna a v.a. X si Y este data in tabelul:

Sa se determine D²(X) si D²(Y).