Fie spaiul punctual tridimensional al geometriei elementare =i un punct arbitrar, c[ruia ]i corespunde ]n mod unic un vector (denumit vector de poziie al punctului M) de reprezentant , obinut prin fixarea ]n a unui punct O numit origine =i a bazei ortogonale ]n . Vectorului de poziie ]i corespunde tripletul de numere reale numite coordonate carteziene ale punctului M, unde , , . Versorilor din baza ortogonal[ li se asociaz[ axele de coordonate Ox, Oy, Oz care au acela=i sens cu al versorilor. Cu alte cuvinte, coordonatele carteziene ale punctului M reprezint[ m[rimile algebrice ale proieciilor ortogonale ale vectorului pe cele trei axe de coordonate.

Fie , =i:

vectorii de poziie corespunz[tori.

Atunci:

de unde rezult[:

Punctul M ]mparte segmentul ]ntr-un raport k, , dac[ are loc:

Aceast[ relaie, poate fi scris[ sub forma:

(fig. 25), sau:

echivalent[ cu:

, , .

Pentru se obin coordonatele mijlocului segmentului :

, , .

3.1 Planul si dreapta in spatiu

Un plan ]n spaiu este o submulime a lui determinat[ de condiii geometrice de tipul: un punct =i un vector perpendicular pe plan (denumit normal la plan), trei puncte necoliniare, dou[ drepte concurente, dou[ drepte paralele, o dreapt[ =i un punct exterior dreptei etc. Dup[ tipul condiiei geometrice date se pot determina ecuaii ale planului exprimate sub form[ cartezian[ =i vectorial[.

3.1 Teorem[ Un plan , are ecuaia cartezian[ general[:

, .

Reciproc, orice ecuaie de forma este ecuaia unui plan.

Demonstraie Fie P un plan, P un punct fixat ]n acest plan, (i.e. ) un vector dat normal la plan.

Fie un punct mobil care descrie planul (numit punct curent al planului). Se poate afirma c[ punctul M descrie planul dac[ (fig. 26):

Û Û    

Ecuaia poate fi scris[ sub forma

de unde rezult[ c[: , sau:

Reciproc, un plan se poate defini ca fiind mulimea:

unde este un punct al planului iar un vector normal la plan.

Fie , =i . Trebuie demonstrat c[.

Fie , ceea ce ]nseamn[ c[ =i cum , Û sau , de unde rezult[ c[ .

Prin urmare .

3.2 Observaii a) Ecuaiile se numesc ecuaiile vectoriale ale unui plan determinat de un punct =i un vector normal.

b) Num[rul real d se nume=te termen liber al ecuaiei carteziene a planului.

c) Coordonatele vectorului normal la plan sunt coeficienii lui x, y, z din ecuaia cartezian[ a planului.

3.3 Exemple 1) Ecuaia unui plan care trece prin originea este .

2) Ecuaia planului xOy este =i are vectorul normal . Analog, ecuaia planului xOz este iar a planului yOz este (fig. 27).

3) Ecuaia este ecuaia unui plan paralel cu yOz. Analog , sunt ecuaii de plane paralele cu xOz =i xOy.

4) Dac[ ]n ecuaia unui plan lipse=te o variabil[, atunci acel plan este paralel cu axa dat[ de variabila care lipse=te. }ntr-adev[r, fie ecuaia . Atunci, normala la plan este , evident perpendicular[ pe Oz () =i prin urmare planul este paralel cu Oz, sau conine axa Oz atunci c`nd .

Planul determinat de trei puncte necoliniare

Fie , trei puncte necoliniare. Un punct curent descrie planul determinat de cele trei puncte dac[ vectorii , =i sunt coplanari sau produsul mixt este nul (fig. 28). Prin urmare:

Û    

condiie care se poate scrie:

sau

3.4 Definiie Ecuaia se nume=te ecuaia vectorial[ a planului determinat de trei puncte necoliniare iar ecuaiile =i sunt ecuaiile carteziene ale planului determinat de trei puncte necoliniare.

3.5 Observaii a) Condiia poate fi interpretat[ drept o condiie de coplanaritate a patru puncte din spaiu.

b) Din ecuaia rezult[ c[ vectorul normal la planul determinat de cele trei puncte este: .

3.6 Exemplu Dac[ cele trei puncte se afl[ pe axele de coordonate atunci se obine ecuaia planului prin t[ieturi: , unde , , cu .

Planul determinat de un punct si doi vectori necoliniari

Fie un punct fixat =i , doi vectori necoliniari (produsul vectorial al acestora este nenul). Punctul =i vectorii , determin[ un plan unic P. Un punct curent descrie acest plan dac[ , , sunt coplanari. Condiia de coplanaritate utilizat[ este: produsul mixt al vectorilor este nul (fig. 29).

Û Û

Scriindu-se condiia de coplanaritate sub forma , cu =i identific`nd pe coordonate, se obine sistemul de ecuaii scalare:

numite ecuaiile parametrice ale planului.

3.7 Observaii a) Vectorul normal la plan este

3.8 Aplicaie Ecuaia planului determinat de dou[ drepte paralele se obine astfel: dac[, , sunt dou[ puncte fixe prin care trec dreptele paralele =i , a c[ror direcie comun[ este dat[ de vectorul , atunci punctul curent descrie planul P dac[ vectorii , , sunt coplanari (fig. 30) , adic[:

Û

Dreapta in spatiu

O dreapt[ ]n spaiu este unic determinat[ de condiii geometrice de tipul: un punct =i un vector nenul, dou[ puncte distincte, intersecia a dou[ plane etc.

Dreapta determinata de un punct si un vector director

Fie un punct fixat =i un vector nenul, dat. Atunci este o dreapt[ unic determinat[. Un punct curent descrie dreapta D dac[ =i sunt coliniari (fig. 31). Aceasta revine la:

sau , .

Û    

numit[ =i ecuaia vectorial[ a dreptei. Ecuaiile scalare care rezult[ de aici sunt:

,

numite ecuaiile carteziene sub form[ canonic[ ale dreptei.

Din , , rezult[ , sau sub forma ecuaiilor scalare:

numite ecuaiile parametrice ale dreptei ]n spaiu.

3.9 Definiie Vectorul care define=te direcia dreptei se nume=te vector director al dreptei, iar versorul se nume=te versor director al dreptei.

Fie =i unghiurile f[cute de cu (fig. 32), sau cu axele de coordonate. Atunci , , se numesc cosinusurile directoare ale dreptei =i .

Deoarece atunci .

3.10 Definiie Dreapta D ]mpreun[ cu o alegere a unui sens de parcurs se nume=te dreapt[ orientat[. Sensul pozitiv este sensul versorului director al dreptei.

3.11 Exemplu Axele de coordonate sunt exemplu de drepte orientate.

Dreapta determinata de doua puncte

Fie =i dou[ puncte din distincte. Aceste puncte determin[ o dreapt[ unic[ D. Cum vectorul este un vector director al dreptei D, atunci se poate considera dreapta determinat[ de punctul =i vectorul

Ecuaia vectorial[ a dreptei este:

iar ecuaiile canonice sunt:

Dreapta determinata de doua plane

Fie dou[ plane paralele =i neconfundate, adic[:

Mulimea punctelor care verific[ sistemul

determin[ o dreapt[ unic[ D, numit[ dreapta de intersecie a planelor =i (fig. 33).

Sistemul reprezint[ ecuaiile carteziene ale dreptei D. Vectorul director al dreptei D este , unde iar

Deoarece

rezult[ c[ parametrii directori sunt:

3.12 Observaie a) Se poate scrie prin urmare ecuaia dreptei determinate de parametrii directori =i un punct rezultat ca o soluie a sistemului

b) Sistemul este compatibil simplu nedeterminat. Se pot obine ]n urma rezolv[rii sistemului ecuaiile parametrice ale dreptei ]n spaiu.

Plan orientat

Fie un plan dat. Vectorul este vectorul normal la plan. Dreapta N, care trece printr-un punct al planului P =i ]l are pe ca vector director, se nume=te normala la planul P.

3.13 Definiie Planul P ]mpreun[ cu o alegere a unui sens pe normal[ se nume=te plan orientat.

3.14 Observaii a) Alegerea unui sens de rotaie ]n plan este echivalent[ cu alegerea unui sens pe normal[.

b) Alegerea unui sens pozitiv pe normal[ este ]n str`ns[ leg[tur[ cu orientarea spaiului.

3.15 Exemplu Planele de coordonate sunt plane orientate.

Fascicul de plane

A fost analizat[ situaia ]n care dou[ plane paralele =i neconfundate determin[ o dreapt[ =i numai una. Reciproc, dat[ fiind o dreapt[ D ]n spaiu, prin ea trec o infinitate de plane (fig. 35).

3.16 Teorem[ Fie

=i

Atunci ecuaia oric[rui plan care trece prin este:

Demonstraie Ecuaia se scrie:

unde:

}n caz contrar, adic[ se anuleaz[toi coeficienii lui rezult[:

, adic[

Deoarece coordonatele oric[rui punct al dreptei D verific[ ecuaia acest plan trece prin dreapta D. Reciproc, fie =i . Se determin[ astfel ]nc`t:

adic[ planul de ecuaie:

trece prin D =i conine =i atunci coincide cu planul P.

3.17 Definiie Mulimea planelor care trec printr-o dreapt[ dat[ se nume=te fascicul de plane, iar ecuaia se nume=te ecuaia fasciculului. D se nume=te axa fasciculului =i se numesc planele de baz[ ale fasciculului.

3.18 Observaie Mulimea tuturor planelor paralele cu un plan dat are ecuaia . Acesta se mai nume=te =i fascicul de plane paralele.

3.19 Exemple

1) S[ se determine ecuaia planului care trece prin dreapta D: =i intersecteaz[ dreapta ]n punctul

Soluie Se scrie fasciculul de plane care trec prin dreapta D, =i anume:

Din condiia ca Þ . Prin urmare, planul c[utat are ecuaia:

2) Fie =i . S[ se scrie ecuaia planului care conine dreapta AB =i este perpendicular pe dreapta D:

Soluie Dreapta AB este: , sau AB: , deci ecuaia fasciculului de plane care conine AB este:

sau

Din condiia de perpendicularitate a acestui plan cu dreapta D rezult[

adic[ ecuaia planului este:

3.2 Probleme de distante si unghiuri

Distanta de la un punct la un plan

Fie un plan =i un punct dat care nu aparine planului P. Fie proiecia punctului pe planul P (fig. 36).

Distana de la punctul la planul P este: , unde

Deoarece vectorul este normal la plan, atunci:

=i cum este ]n planul P, adic[ , rezult[:

Distanta de la un punct la o dreapta

Fie D: o dreapt[ =i un punct care nu aparine dreptei. Se noteaz[ cu vectorul director al dreptei =i proiecia punctului pe dreapta D. Atunci distana de la la dreapta D este: Consider`ndu-se aria paralelogramului construit pe reprezentanii vectorilor =i (fig. 37) se obine:

Unghiul dintre doua drepte orientate

Fie dou[ drepte =i orientate prin vectorii lor directori nenuli. Prin unghiul (fig. 38) a dou[ drepte orientate se ]nelege unghiul dintre vectorii directori. Rezult[:

Pentru =i , atunci se obine:

Unghiul a dou[ plane orientate

Fie dou[ plane =i , neconfundate =i neparalele, orientate prin vectorii lor normali nenuli. Fie D intersecia celor dou[ plane. Unghiul diedru se m[soar[ prin unghiul plan , obinut secion`nd planele =i cu un plan P perpendicular pe dreapta D. Se nume=te unghi a dou[ plane orientate unghiul dintre vectorii normali (fig. 39). Rezult[:

Pentru =i , atunci se obine:

.

Unghiul dintre o dreapta orientata si un plan orientat

Fie un plan =i o dreapt[ care intersecteaz[ planul. Fie proiecia dreptei D pe planul P. Prin definiie unghiul dintre planul orientat P =i dreapta orientat[ D este cel mai mic unghi q dintre D =i proiecia ei notat[ pe planul P (fig. 40). Rezult[:

Pentru =i , atunci se obine:

.

Perpendiculara comuna a doua drepte in spatiu

Fie : =i : dou[ drepte orientate de vectorii lor directori =i . Se consider[ cazul ]n care dreptele =i sunt oarecare sau concurente.

}n acest caz exist[ o dreapt[ unic[ care se sprijin[ simultan pe cele dou[ drepte =i care s[ admit[ pe ca vector director (direcia lui se nume=te direcie normal[ comun[), care se nume=te perpendiculara comun[ a dreptelor =i . Aceast[ dreapt[ apare la intersecia a dou[ plane: determinat de dreapta =i respectiv determinat de dreapta =i (fig. 41).

Fie , , N, M, M =i N puncte curente ale celor dou[ plane. Atunci ecuaiile perpendicularei comune sunt:

sau dac[

Distanta dintre doua drepte orientate

Fie =i dou[ drepte orientate de vectorii lor directori =i . Fie M =i N dou[ puncte mobile. Cea mai mic[ distan[ dintre punctele M =i N se nume=te distana dintre dreptele =i =i se noteaz[ .

Distana dintre dou[ drepte oarecare este lungimea segmentului perpendicularei comune ]ntre cele dou[ drepte.

Distana dintre cele dou[ drepte se poate calcula ca ]n[lime ]n paralelepipedul format pe suporturile vectorilor

Prin urmare:

.

3.20 Exemple 1) Fie dreapta : =i planul : . Se cere:

a)      ecuaia planului ce conine dreapta =i este perpendicular pe planul

b)      ecuaia planului care conine dreapta =i face un unghi de cu planul

c)      ecuaia planului care conine dreapta =i face un unghi de cu dreapta:

d)      ecuaiile simetricei dreptei fa[ de planul

Soluie a) Ecuaia fasciculului de plane care conin dreapta este:

Condiia de perpendicularitate este: (*), unde este normala la planul , iar este normala la planul . }ntruc`t:

=i

condiia (*) conduce la =i planul are ecuaia

b) Cu normalele calculate la punctul a) aplic`nd formula unghiului diedru a dou[ plane se obine:

Rezolv`nd ecuaia se obine:

c) Aplic`nd formula unghiului format de un plan cu o dreapt[ se obine:

d) Fie , adic[ soluia sistemului:

Efectu`ndu-se calculele, se obine:

Fie =i fie . Rezolv`nd de asemenea sistemul format de ecuaia planului =i ecuaia care trece prin =i este perpendicular[ pe plan (are parametrii directori parametrii normalei, adic[ ) rezult[. Consider`nd punctul simetricul lui fa[ de plan, adic[ :

rezult[ c[:

}n concluzie, dreapta este dreapta determinat[ de punctele =i , adic[ are ecuaia: