Ecuatii liniare de ordinul intai

Ecuatii liniare de ordinul intai

Forma generala a acestor ecuatii este

Presupunand ca functiile , , sunt definite si continue pe un interval si ca in orice punct al acestui interval, se imparte prin si ecuatia (8) devine

unde , iar .

Ecuatia

se numeste ecuatie liniara fara membrul al doilea, sau ecuatia liniara omogena.

Observatie. Mai sus este vorba de omogena in alt sens decat cel intalnit la paragraful 18.

Ecuatia (10) este o ecuatie cu variabile separate deci se poate rezolva sau . Integrand fiecare membru rezulta sau . Notand solutia generala este

Pentru ecuatia (9) se cauta o solutie de forma (11), unde este considerat o functie de . Aceasta metoda este cunoscuta sub numele de metoda variatiei constantei.

Derivand in (11), se obtine

si inlocuind in (10), rezulta

de unde si apoi , iar solutia generala a ecuatiei (9) este

Se observa ca solutia generala a ecuatiei neomogene este egala cu solutia generala a ecuatiei omogene, la care se adauga o solutie particulara a ecuatiei neomogene. Aceasta solutie se obtine din relatia generala pentru .

Solutia particulara a ecuatiei neomogene poate fi inlocuita cu oricare alta. Intr-adevar, sa presupunem cunoscuta o solutie particulara a ecuatiei (9). Facand schimbarea de functie , ecuatia neomogena (9) devine , insa tinand seama ca , ne ramane , deci este solutia generala a ecuatiei omogene.