Derivate partiale

Derivate partiale

Fie o functie reala de doua variabile, definita pe o multime si un punct interior lui .

Definitia 1 Functia are in punctele derivata partiala in raport cu variabila daca exista si este finita . Limita se numeste derivata partiala in raport cu a lui in si se noteaza .Asemanator se defineste .

Se spune ca are derivata partiala in raport cu pe daca ea are derivata partiala in raport cu in fiecare punct .

In acest caz functia definita de se numeste derivata partiala a lui pe . Analog se defineste .

Notatie .

Practic derivata se calculeaza considerand pe constant si derivand ca o functie de o singura variabila . Derivata partiala in raport cu se obtine considerand pe constant si derivand ca pe o functie de .

Propozitia 1. Daca derivata partiala (respectiv ) exista in atunci este continua in in raport cu (respectiv ).

Propozitia 2. Fie un punct interior al lui . Daca derivatele partiale si exista pe o vecinatate a lui atunci pentru orice punct exista un numar cuprins intre si si un numar cuprins intre si astfel incat

Observatie. Aceasta egalitate se numeste formula lui Lagrange pentru functii de doua variabile.

Propozitia 3. Fie un punct interior al lui . Daca functia admite derivate partiale marginite intr-o vecinatate a lui , atunci ea este continua in (in raport cu ansamblul variabilelor).

Corolar 1. Daca si exista pe o vecinatate a lui si sunt continue in , atunci functia este continua in .

Corolar 2. Daca derivatele partiale si exista pe si sunt continue sau sunt marginite, atunci functia este continua pe .