Functii - Operatii cu functii - Monotonia functiilor

Functii

Generalitati

Definitie. Fie , doua multimi nevide. Un element din si un element din , luate in aceasta ordine formeaza un cuplu notat .

In cuplul : se numeste primul element (sau prima componenta sau abscisa) al cuplului; se numeste al doilea element (sau a doua componenta sau ordonata) cuplului.

Doua cupluri si sunt egale si scriem .

Definitie. Fie , doua multimi nevide. Se numeste produsul cartezian al multimii cu multimea , luate in aceasta ordine, multimea cuplurilor avand prima componenta in si a doua componenta in .

Notatie. Produsul cartezian al multimii cu multimea se noteaza :

.

Definitie. Fie , doua multimi nevide. Spunem ca am definit o functie pe multimea cu valori in multimea daca printr-un procedeu oarecare facem ca fiecarui element sa-i corespunda un singur element .

Notatie. O functie definita pe cu valori in se noteaza (citim " definita pe cu valori in ") sau . Uneori o functie se noteaza simbolic , (citim " de "), unde este imaginea elementului din sau valoarea functiei in . Elementul se numeste argument al functiei sau variabila independenta.

Elementele care definesc o functie sunt :

domeniul de definitie ;

multimea de valori ale lui sau codomeniul ;

legea care leaga cele doua multimi.

Definitie. O functie se numeste numerica daca .

Definitie. Fie o functie. Se numeste graficul functiei multimea de cupluri .

Definitie. Fie , doua functii. Spunem ca functiile sunt egale (si scriem ) daca :

o       (domeniile lor sunt egale) ;

o       (codomeniile lor sunt egale) ;

o       (functiile coincid in fiecare punct din domeniu).

Operatii cu functii

Fie o multime nevida si doua functii reale.

Functia definita prin , , se numeste suma dintre functia si functia .

Functia definita prin , , se numeste produsul functiilor si .

Functia definita prin , , unde , , se numeste catul (raportul) dintre functia si functia .

Fie acum si . Functia definita prin , , se numeste compusa lui cu .

Schema compunerii :

Observatie. Pentru doua functii are sens compunerea acestora numai daca codomeniul primei functii coincide cu domeniul celei de a doua.

Observatie. Compunerea functiilor este asociativa, adica , astfel incat sa aiba sens compunerea acestora.

Exemple

1. Fie definite prin : , . Sa se determine functiile si .

Deoarece codomeniul lui coincide cu domeniul lui (=), are sens compunerea .

Deoarece codomeniul lui coincide cu domeniul lui (=), are sens compunerea .

2. Fie definite prin : , . Sa se determine functiile si .

Deoarece codomeniul lui coincide cu domeniul lui (=), are sens compunerea .

Deoarece codomeniul lui coincide cu domeniul lui (=), are sens compunerea .

.

Definitie. Functia , definita prin , , se numeste functia identica a multimii .

Observatie. Daca este o functie arbitrara, atunci , iar daca este o functie arbitrara, atunci .

Definitie. Fie o functie. Se numeste imaginea functiei multimea notata cu si egala cu . Uneori in loc de se scrie . Se numeste preimaginea functiei multimea notata cu si egala cu .

Observatie.

Exemple

1. Fie , . Sa se determine .

Avem . Din rezulta si deci . Cum , rezulta . Deci .

2. Fie , . Sa se determine .

Fie . Deci exista astfel incat , adica . De aici si . Cum se disting doua cazuri :

• 
• .

Prin urmare, daca , atunci . Deci .

3. Se considera functia , . Se cere .

Fie . Deci exista astfel incat , adica . De aici . Cum rezulta . De aici si rezulta . Asadar .

Definitie. Fie si doua functii cu proprietatile :

1. 
2. ,

atunci se numeste prelungirea functiei la , in timp ce este numita restrictia lui la .

Definitie. O multime se numeste simetrica in raport cu 0 (zero) daca pentru orice si .

Exemple : Urmatoarele multimi sunt simetrice in raport cu 0 : , , , , etc.

Urmatoarele multimi nu sunt simetrice in raport cu 0 : , , , etc.

Definitie. Fie o multime simetrica in raport cu zero. Functia se numeste para daca . Functia se numeste impara daca .

Observatie. Graficul unei functii pare este simetric fata de axa , iar cel al unei functii impare este simetric in raport cu originea O.

Exemple

1. Sa se arate ca functia , este para, in timp ce functia , .

Intr-adevar, avem : . Deci este functie para. Din

se deduce ca este functie impara.

2. Sa se arate ca functia , nu este nici para nici impara.

Calculam . Pentru avem , iar pentru

Se obtine . Deci . Prin urmare, nu pentru oricare avem sau .

Observatie. Dupa cum am vazut mai sus, exista functii care nu sunt nici pare, nici impare .

Definitie. O functie se numeste periodica daca exista un numar real nenul astfel incat . Numarul se numeste perioada a functiei .

Daca printre numerele nenule pozitive exista un cel mai mic numar pozitiv , atunci acesta se va numi perioada principala a functiei .

Observatie. Daca este perioada pentru , atunci orice numar de forma , este de asemenea o perioada pentru .

Exemplu : Functia , este periodica, de perioada principala .

Monotonia functiilor

A studia monotonia unei functii revine la a preciza :

• submultimea lui pe care este strict crescatoare (sau crescatoare) si

• submultimea lui pe care este strict descrescatoare (sau descrescatoare).

Definitie. Fie o functie de variabila reala si .

• Spunem ca functia este strict crescatoare pe daca :

• Spunem ca functia este strict descrescatoare pe daca :

• Spunem ca functia este crescatoare pe daca :

• Spunem ca functia este descrescatoare pe daca :

Observatie. O functie strict crescatoare pe sau strict descrescatoare pe se numeste functie strict monotona pe . O functie crescatoare pe sau descrescatoare pe se numeste monotona pe . Daca este strict monotona (sau monotona) pe (pe tot domeniul de definitie) spunem simplu ca este strict monotona (sau monotona) fara a mai indica multimea.

Teorema. Fie o functie numerica si . Atunci :

• este strict crescatoare pe .
• este crescatoare pe .
• este strict descrescatoare pe .
• este descrescatoare pe .

Observatie. Demonstratia teoremei precedente rezulta direct din definitie. Raportul se mai numeste raportul de variatie asociat lui si numerelor .

Observatie. Folosind cunostintele de analiza matematica, teorema precedenta se poate reformula : Daca prima derivata a functiei este strict pozitiva, atunci functia este strict crescatoare, daca prima derivata a functiei este strict negativa, atunci functia este strict descrescatoare.

Observatie. O functie monotona pe o multime , ramane monotona pe orice submultime a sa.

Exemple

1. Functia de gradul intai , .

Daca , atunci este strict crescatoare, deoarece, daca , , atunci :

si conform teoremei precedente, functia este strict crescatoare.

Daca , atunci este strict crescatoare, deoarece, daca , , atunci :

si conform teoremei precedente, functia este strict descrescatoare.

2. Functia de gradul doi , , , 0. Intervalele de monotonie ale aceste functii sunt : ,.

Daca , atunci monotonia lui este indicata in tabelul :

Daca , atunci monotonia lui este indicata in tabelul :

3. Functia putere cu exponent natural , , .

Daca este par, atunci monotonia lui este indicata in tabelul :

Daca este impar, atunci monotonia lui este indicata in tabelul :

Observatie. Daca o functie este strict crescatoare pe si pe , nu rezulta neaparat ca este strict crescatoare pe (adica pe tot domeniul). De exemplu, fie , definita prin . Cum functiile , , , sunt strict crescatoare pe , atunci ele raman la fel si pe intervalele si respectiv . Deci este strict crescatoare pe , , fara a fi strict crescatoare pe , deoarece pentru avem .

Conditiile ce ar trebui verificate pentru ca functia sa fie strict crescatoare pe sunt :

• 
• 
• , evident .

Observatie. Un alt mod de a studia monotonia este acela de a utiliza graficul.

Definitie. Daca exista astfel incat , , atunci se numeste maximul functiei pe multimea si scriem . Punctul pentru care se obtine valoarea maxima a lui pe se numeste punct de maxim pentru functia pe .

Definitie. Daca exista astfel incat , , atunci se numeste minimul functiei pe multimea si scriem . Punctul pentru care se obtine valoarea minima a lui pe se numeste punct de minim pentru functia pe .

Definitie. Valoarea maxima sau minima a lui pe se numeste valoare extrema a functiei pe . Punctul de maxim sau de minim se numeste punct de extrem pentru functia pe .

Definitie. O functie numerica se numeste marginita, daca exista doua numere reale astfel incat , .

Observatie. Semnificatia geometrica a unei functii marginite este ca aceea ca graficul functiei este cuprins intre dreptele orizontale , .

Operatii cu functii strict monotone

Teorema. Fie doua functii.

1. Daca este strict crescatoare (strict descrescatoare), atunci este strict descrescatoare (strict crescatoare).
2. Daca este strict crescatoare (strict descrescatoare), atunci :
• daca , functia este strict crescatoare (strict descrescatoare)
• daca , functia este strict descrescatoare (strict crescatoare).

Daca sunt strict crescatoare (strict descrescatoare), atunci este strict crescatoare (strict descrescatoare). (Suma a doua functii strict crescatoare (strict descrescatoare) este o functie strict crescatoare (strict descrescatoare)).

Daca sunt strict crescatoare (sau strict descrescatoare), atunci este strict crescatoare. (Compunerea a doua functii de aceeasi monotonie da o functie strict crescatoare).

Daca au monotonii diferite, atunci este strict descrescatoare.

Definitie. Fie functia , interval. Se spune ca functia este convexa pe , daca si , , avem :

.

Functia se numeste conacava pe ,daca si , , avem :

.

Exemplu

Functia de gradul al doilea, , , , 0.

Daca , atunci este convexa .

Daca , atunci este concava .

Observatie. Interpretarea geometrica a concavitatii si convexitatii :

In limbaj trivial spunem despre graficul functiei convexe ca " tine apa " in timp ce graficul functiei concave " nu tine apa ".

Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate

Definitie. Fie o functie , unde . Functia se numeste injectiva, daca si numai daca :

Propozitie. este injectiva

Observatie. In exercitii, pentru a proba ca o functie este injectiva, este mai practic sa se foloseasca propozitia precedenta.

Propozitie. Orice functie strict monotona este injectiva.

Observatie. Foloind cunostintele de analiza matematica, propozitia precedenta se poate reformula astfel : O functie a carei derivata este strict pozitiva sau strict negativa este injectiva.

Propozitie. Daca si sunt doua functii injective, atunci este o functie injectiva. (Compunerea a doua functii injective este tot o functie injectiva).

Propozitie. Functia este injectiva daca : pentru orice (codomeniului), ecuatia are cel mult o solutie.

Observatie. Folosind graficul functiei , putem stabili injectivitatea astfel : Daca

orice paralela dusa prin un punct al codomeniului la axa intersecteaza graficul in cel mult un punct, atunci functia este injectiva. Functia nu este injectiva, daca exista cel putin o paralela dusa prin un punct al codomeniului la axa care intersecteaza graficul in cel putin doua puncte.

Exemple

1. Sa se arate ca functia de gradul intai , este injectiva.

Metoda 1. Folosim prima propozitie : Fie (domeniului), astfel incat si deci functia este injectiva.

Metoda 2. Ne folosim de monotonia functiei de gradul intai :

• daca , atunci este strict crescatoare, deci injectiva .
• daca , atunci este strict descrescatoare, deci injectiva .

Metoda 3. Folosim graficul functiei de gradul intai :

Dupa cum stim din clasa a-VII-a, garficul functiei de gradul intai este o dreapta, care nu este paralela cu axa (ar fi paralela cu axa numai in cazul in care , exclus in cazul functiei de gradul intai) si deci orice paralela la axa poate intersecta graficul functiei in exact un punct.

2. Sa se studieze injectivitatea functiei ,

Metoda 1. Fie cu

, intrucat

Fie cu

Fie si , evident . Sa analizam imaginile acestor argumente :

, , adica

Din si rezulta ca este injectiva.

Metoda 2. Se arata ca este strict descrescatoare, considerand de asemenea cele trei cazuri.

Metoda 3. Este metoda verificarii dupa trasarea graficului .

Dupa cum se vede in figura din stanga, orice paralela (doua dintre ele au fost trasate punctat) dusa prin un punct al codomeniului la axa , intersecteaza graficul functiei in exact un punct, deci functia este injectiva .

3. Aratati ca functia , nu este injectiva.

Pentru a demonstra ca aceasta functie nu este injectiva vom utiliza ultima propozitie. Aceasta se traduce in cazul nostru prin : Pentru orice valoare (din codomeniu), ecuatia are cel mult o solutie , adica , ecuatia are cel mult o solutie. Fie , atunci ecuatia se scrie care admite solutiile distincte si conform ultimei propozitii rezulta ca functia nu este injectiva .

Definitie. Fie o functie , unde . Functia se numeste surjectiva daca pentru orice (codomeniului), exista cel putin un element (domeniului) astfel incat .

Observatie. Elementul care apare in definitie se obtine rezolvand ecuatia .

Propozitie. Functia este surjectiva daca : pentru orice (codomeniului), ecuatia are cel putin o solutie .

Observatie. Folosind graficul unei functii , putem stabili surjectivitatea acesteia astfel : Daca orice paralela dusa prin un punct al codomeniului la axa intersecteaza graficul in cel putin un punct, atunci functia este surjectiva. Functia nu este surjectiva, daca exista cel putin o paralela dusa prin un punct al codomeniului la axa care nu intersecteaza graficul in nici un punct.

Propozitie. Daca , sunt doua functii surjective, atunci si functia este surjectiva . (Compunerea a doua functii surjective este tot o functie surjectiva).

Propozitie. O functie este surjectiva, daca codomeniul coincide cu imaginea functiei prin domeniul de definitie.

Exemple

1. Sa se arate ca functia de gradul intai , este surjectiva.

Conform definitiei, vrem sa aratam ca pentru orice (codomeniului) exista cel putin un (domeniului), astfel incat . Fie pentru aceasta astfel incat

si cum rezulta ca pentru , exista un , astfel incat . In concluzie, conform definitiei rezulta ca functia este surjectiva.

2. Sa se studieze surjectivitatea functiei ,

Metoda 1. Deoarece si , rezulta ca imaginea functiei este , cu alte cuvinte si conform ultimei propozitii, functia este surjectiva.

Metoda 2. Fie , atunci si deci , adica ecuatia are solutii in domeniu.

Fie , atunci si cum , adica ecuatia are si in acest caz solutie in domeniu.

Din si rezulta ca este surjectiva .

Metoda 3. Este metoda grafica .

3. Sa se arate ca functia , este surjectiva.

Aratam ca ecuatia in , , are cel putin o radacina reala. Distingem doua cazuri :

, ecuatia este . Membrul stang fiind pozitiv, se impune . Din . Cum , care coroborat cu da . Asadar pentru , exista astfel incat .

, ecuatia este cu solutia . Din rezulta , adica . Deci pentru , exista astfel incat .

Din si rezulta ca , exista astfel incat , ceea ce arata ca este surjectiva.

4. Sa se arate ca functia , nu este surjectiva.

Metoda 1. Utilizam graficul functiei .

Trasam graficul functiei (vezi figura din stanga) si constatam ca o paralela la axa dusa printr-un punct din intervalul al codomeniului nu taie graficul in nici un punct .

Metoda 2. Aratam ca ecuatia nu are solutii pentru orice . Analizam cele doua cazuri date de definitia functiei :

, ecuatia este . Se impune , unde . Cum rezulta ca , adica . Deci pentru , exista astfel incat .

, ecuatia este , care are solutia . Din se deduce . Deci pentru , exista , astfel incat .

Din si se vede ca numai pentru si ecuatia are solutie. Daca , ecuatia nu mai are solutii, deci functia nu este surjectiva.

Definitie. Fie o functie , unde . Functia se numeste bijectiva daca este atat injectiva cat si surjectiva.

Propozitie. Functia este bijectiva daca : pentru orice (codomeniului), ecuatia are exact o solutie .

Observatie. Folosind graficul unei functii , putem stabili bijectivitatea acesteia astfel : Daca orice paralela dusa prin un punct al codomeniului la axa intersecteaza graficul in exact un punct, atunci functia este bijectiva. Functia nu este bijectiva, daca exista cel putin o paralela dusa prin un punct al codomeniului la axa care nu intersecteaza graficul in nici un punct sau il intesecteaza in mai multe puncte .

Exemple de functii bijective

1. Functia de gradul intai , este bijectiva deoarece este atat injectiva cat si surjectiva.
2. Functia cubica , este bijectiva.
3. Functia radical de ordinul doi , este bijectiva .

Propozitie. Daca , sunt doua functii bijective, atunci si functia este bijectiva. (Compunerea a doua functii bijective este tot o functie bijectiva).

Definitie. O functie se numeste inversabila daca exista o functie astfel incat : si . Functia din definitie se numeste inversa functiei si se noteaza .

Teorema. O functie este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

Observatie. Practic, inversa lui se determina prin rezolvarea ecuatiei in , , . Solutia unica , precizeaza inversa lui .

Propozitie. Fie o functie bijectiva si strict crescatoare (strict descrescatoare).

Atunci este de asemenea, strict crescatoare (strict descrescatoare).

Exemple

1. Sa se determine inversa functiei de gradul intai , .

Atat injectivitatea cat si surjectivitatea functiei de gradul intai au fost demonstrate mai sus. Functia fiind bijectiva, conform teoremei precedente, admite inversa.

Conform observatiei, inversa este precizata de solutia ecuatiei in , . Deci inversa este data de . Inversa este . Trecand la variabila , putem scrie .

2. Fie functia definita prin . Sa se arate ca este bijectiva si sa se calculeze inversa .

Bijectivitatea (injectivitatea + surjectivitatea) functiei a fost demonstrata mai sus. Pentru determinarea functiei inverse, avem :

, cu , cu .

, cu , cu . In final rezulta deci

Exercitii propuse

1. Fie aplicatia "" prin care, fiecarui cetatean roman (nascut pe teritpriul Romaniei) ii corespunde localitatea sa natala si aplicatia "" care face ca fiecarei localitati sa-i corespunda codul sau postal.

• Este aplicatia o functie ? Dar aplicatia ?
• Este functia surjectiva ? Dar injectiva ?
• Este functia bijectiva ?
• In ce consta aplicatia ?

2. Fie si , o functie care indeplineste conditiile :

1. ,
2. .

a)      Sa se determine si functia de gradul intai care verifica conditiile 1), 2).

b)      Sa se arate ca singura functie care verifica conditiile 1), 2) este functia gasita la punctul a).

3. Fie functia , , unde . Sa se detremine :

.

4. Fie functiile , si , . Sa se determine si .

5. Fie functia , . Sa se arate ca este inversabila si sa se determine .

6. Sa se arate ca functia , definita prin admite restrictii inversabile definite pe :

i) ; ii) ; iii) .

7. Sa se demonstreze ca urmatoarele functii sunt injective :

a)      ,

b)      , .

8. Sa se determine imaginea urmatoarelor functii :

a)      , ;

b)      , ;

c)      , ;

d)     , .

9. Fie functiile si definite prin :

a) ,

b) , .

Sa se calculeze si .

10. Fie , unde este o multime finita. Sa se arate ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente

a)      este injectiva ;

b)      este surjectiva ;

c)      este bijectiva .

11. Fie , doua functii. Sa se arate ca daca

a)      este injectiva, atunci este injectiva ;

b)      este surjectiva, atunci este surjectiva

c)      este bijectiva, atunci este injectiva, iar este surjectiva ;

d)     este injectiva, iar este surjectiva , atunci este injectiva .

12. Sa se arate, folosind graficul, ca functia , este bijectiva si sa se determine .

13. Sa se arate ca urmatoarele functii nu sunt injective :

a)      , ;

b)      , ;

c)      , ;

d)     , .

14. Fie functia de forma :

.

a)      Sa se determine astfel incat graficul functiei sa treaca prin punctul .

b)      Sa se cerceteze daca functia este injectiva .

15. Pentru orice se considera functia

, . Sa se determine valorile lui si pentru care este :

a) injectiva b) surjectiva c) bijectiva .

16. Fie functia , definita prin unde este un parametru real. Sa se determine valorile lui pentru care este surjectiva, injectiva, respectiv inversabila. In cazul in care este inversabila, sa se determine inversa functiei .

17. Se considera functia care verifica relatia : , si . Sa se arate ca este functie periodica de perioada 4.

18. Sa se arate ca functia , , este impara.

19. Sa se determine , astfel incat

.

20. Exista functii cu proprietatea

, ?

21. Fie functiile , unde si . Sa se arate ca nu este injectiva, iar este injectiva .

22. Fie functia , . Sa se determine si astfel incat .

23. Fie functia , , . Sa se determine valorile lui astfel incat .

24. Fie functiile definite prin

; .

Sa se determine functiile :

25. Sa se determine functiile care satisfac relatia : .

26. Fie functia , .

a)      Sa se determine functiile si si verificati egalitatea ;

b)      Studiati paritatea functiilor .

27. Utilizand metoda grafica sa se precizeze care din functiile de mai jos sunt bijective :

a)      , ;

b)      ,

28. Daca , sa se arate ca functia definita prin este injectiva (s-a notat ).