Diferentiabilitate in sens Frechet

Diferentiabilitate in sens Frechet

Fie X si Y doua spatii normate reale.

Definitia 16

Un operator se numeste diferentiabil in sens Frechet in punctul daca exista un operator L(X,Y) astfel incat:

(148)

cu :

(149)

Operatorul P se numeste diferentiabil in sens Frechet pe X daca este diferentiabil in orice punct din X,ceea ce,tinand seama de definitia 16,permite sa punem urmatoarea definitie:

Definitia 17

Operatorul se numeste diferentiabil in sens Frechet pe X daca exista un operator:

L(X,Y)    (150)

astfel incat pentru orice

,

Se observa imediat din (148) ca La fel,este evident ca (148) si (149) pot fi scrise sub forma echivalenta:

(151)

Observatii

1.In timp ce diferentiala in sens Gateaux a operatorului P in punctul x,(VP)(x) era un element din ,diferentiala in sens Frechet a operatorului P in punctul x este ,prin definitie,un element din L(X,Y).

2.Din (151) rezulta ca daca P este Frechet-diferentiabil in ,atunci pentru orice exista astfel incat pentru orice h cu avem:

(152)

Din aceasta ultima inegalitate rezulta imediat:

care permite sa enuntam urmatoarea:

Propozitie 5

Daca este Frechet-diferentiabil in punctul ,atunci P este continuu in x.

Diferentiabilitatea in sens Frechet raspunde astfel unei exigente pe care suntem tentati s-o impunem oricarui tip de diferentiabilitate:aceea ca    aplicatiile diferentiabile sa fie continue.Din acest punct de vedere,diferentiabilitatea in sens Gateaux ofera mult mai putin:din existenta diferentialei in sens Gateaux intr-un punct nu rezulta in mod necesar continuitatea aplicatiei in acel punct.

Iata un exemplu foarte simplu in acest sens:aplicatia     dupa cum urmeaza:

este derivabila in sens Gateaux in punctul si dar aplicatia nu este continua in .

Propozitie 6

Daca este G-diferentiabil in punctul ,atunci P este continuu in x dupa orice directie,adica:

(153)

Demonstratie

Intr-adevar,din faptul ca:

rezulta:

(154)

cu    cand (este suficient pentru aceasta sa se ia ).Din (154) rezulta:

din care,trecand la limita cu ,rezulta (153).

Observatie

Inlocuind in (148) h cu th ,rezulta:

,

ceea ce demonstreaza:

Propozitia 7

Daca P este Frechet-diferentiabil in punctul x,atunci este G-derivabil si

Observatie

Propozitia 7 demonstreaza si unicitatea diferentialei Frechet intr-un punct,in ipoteza ca aceasta exista.Reciproca propozitiei 7 nu este,in general,adevarata.

Teorema 23

Fie X si Y doua spatii normate reale si .

Presupunem ca:

P este derivabil in sens Gateaux in orice punct al multimii ,U fiind o vecinatate a punctului ;

operatorul P' este continuu in in raport cu multimea

Atunci P este Frechet-diferentiabil in si .

Demonstratie

Fie astfel incat .Vom arata ca ,in conditiile teoremei, poate juca rolul lui ,cu alte cuvinte exista astfel incat:

(155)

si

(156)

Pentru a satisface (155) este suficient sa alegem:

iar pentru a incheia demonstratia mai trebuie aratat ca astfel ales satisface (156).

Fie astfel incat

Avem:

de unde:

din care,trecand cu limita cu si utilizand continuitatea lui P' in punctul ,rezulta:Teorema e demonstrata.

Exemplul 10

Fie    .Presupunem ca este diferentiabila in sens Frechet in punctul Sa calculam .Avem:

unde .

Fie ,unde cu a fost notata baza canonica in Avem:

,

deci pentru a calcula este suficient sa calculam .Dar conform propozitiei 7 avem:

astfel incat:

Exemplul 11

Fie spatiul functiilor (reale) continue pe ,normat cu norma:

Fie astfel:

.

Este usor de aratat ca T este diferentiabil in sens Gateaux in orice punct si ca este definita astfel:

Pe aceasta formula se vede clar ca diferentiala lui T in x este liniara in h.Se arata usor ca G-diferentiala lui T in x,ca operator de la la ,este un operator marginit.

Intr-adevar,

=

.

In consecinta,T este G-derivabil pe .Pe de alta parte,daca notam:

,

Se vede imediat ca ,unde .De aici rezulta cadeci T este Frechet-diferentiabil pe iar este elementul din definit astfel:

Exemplul 12

Fie functie continua si fie urmatoarea functionala pe :

,

y fiind un element fixat in .Functionala este G-derivabila pe si ,

-.

Se arata de asemenea ca daca punem:

,

atunci deci este Frechet-diferentiabila pe .

Observatie

Fie X si Y spatii normate reale si .Daca P este Frechet-diferentiabil in ,atunci din (152) urmeaza ca daca x este suficient de "aproape" de ,atunci:

este suficient de aproape de zero;cu alte cuvinte,

(157)

Daca atunci in (157) se recunoaste aproximarea valorii in P in punctul x cu valoarea pe care o ia in x tangenta la graficul lui P in Daca ,atunci (157) devine:

pe care se recunoaste aproximarea valorii pe care o ia P in punctul cu valoarea pe care planul tangent in o ia in .