Probleme propuse pentru Concursul de matematica "Adolf Haimovici"

Probleme propuse pentru Concursul de matematica "Adolf Haimovici"

Probleme propuse pentru clasa a IX-a

1. Fie functia care satisface conditiile:

a) ,

b) ,

c) pentru orice , fiind o constanta reala.

Se cere:

1) Sa se afle valoarea lui ;

2) Sa se determine si ;

3) Sa se gaseasca expresia functiei ;

4) Sa se calculeze;

5) Sa se rezolve ecuatia .

Rezolvare. 1) Pentru si din relatia de la c) obtinem , de unde rezulta .

2) Pentru si , din relatia de la c) obtinem , de unde iar pentru , , , de unde .

3) Pentru si din relatia de la c) obtinem . Inlocuind pe cu gasim pentru orice.

4) .

5) Ecuatia a carei rezolvare se cere este

care are solutiile si .

2. In planul paralelogramului se considera simetricul lui fata de si un punct pe segmentul astfel incat . Fie simetricul lui fata de , simetricul lui fata de si simetricul lui fata de .

a) Sa se gaseasca descompunerile vectorilor si dupa directiile vectorilor .

b) Sa se arate ca patrulaterul este trapez si sa se afle raportul bazelor.

c) Sa se arate ca punctele sunt coliniare.

Rezolvare. a) Vectorii si se pot exprima dupa cum urmeaza.

,

,

,

b) Din relatiile (1), (2) avem , ceea ce inseamna ca vectorii si sunt coliniari. Rezulta ca patrulaterul este trapez si raportul bazelor este .

c) Exprimam vectorii si in functie de :

,

.

Se vede ca vectorii si sunt coliniari si in consecinta punctele sunt coliniare.

Probleme propuse pentru clasa a X-a:

1. Fie functia care satisface conditiile:

a) ,

b) ,

c) pentru orice , fiind o constanta reala.

Se cere:

1) Sa se afle valoarea lui ;

2) Sa se determine si ;

3) Sa se gaseasca expresia functiei ;

4) Sa se arate ca pentru orice ;

5) Sa se rezolve ecuatia .

Rezolvare. Relatia de la c) se mai poate scrie

(1)

1) Pentru din relatia (1) obtinem , de unde rezulta .

2) Pentru si , din relatia (1) obtinem , iar pentru , , , de unde .

3) Pentru si din relatia (1) obtinem . Inlocuind pe cu gasim pentru orice.

4) .

5) Ecuatia se scrie succesiv

care are solutiile si .

2. Stiind ca se cer:

a) Sa se arate ca , unde ;

b) Sa se arate ca pentru orice ;

c) Sa se stabileasca semnele numerelor si ;

d) Sa se compare numerele si ;

e) Sa se arate ca .

Rezolvare: a) Avem

de unde rezulta relatia de la a).

b) Reprezentand unghiul cu masura pe cercul trigonometric, aria tringhiului AOM este egala cu iar a sectorului de cerc AOM este egala cu .

Rezulta .

c) Utilizand rezultatul de la a) avem

d) Folosim urmatoarele inegalitati

sin(cos x) < cos(sin x) pentru orice x,

(2) sin(sin x) < cos(cos x) pentru orice x,

care se obtin pe baza monotoniei functiilor si si a inegalitatii de la b)

dupa cum urmeaza :

sin(cos x) < cos x < cos(sin x),

sin(sin x) = sin(cos(- x)) < cos(sin(- x)) = cos(cos x).

Atunci

.

e) Pe baza inegalitatilor (1), (2) obtinem

.

Probleme propuse pentru clasa a XI-a

1. Fie functia care satisface conditiile:

a) ,

b) ,

c) pentru orice , fiind o constanta reala.

Se cere:

1) Sa se afle valoarea lui ;

2) Sa se determine ;

3) Sa se calculeze ;

4) Sa se gaseasca expresia functiei .

Rezolvare. 1) Pentru din relatia de la c) obtinem , de unde rezulta .

2) Pentru si din relatia de la c) obtinem , de unde .

3)

.

4) Pentru si din relatia de la c) obtinem , adica . Inlocuind pe cu gasim pentru orice .

2. Fie M =.

a) Cate elemente are multimea M ?

b) Cate matrice din multimea M sunt inversabile?

c) Daca M este o matrice inversabila sa se determine inversa ei..

d) Care este matricea din multimea M al carei determinant are valoarea cea mai mare?

e) Care este matricea din multimea M al carei determinant are valoarea cea mai mica?

Rezolvare: a) Fiecare dintre parametrii poate lua 2 valori si astfel multimea M are 8 elemente.

b) Daca M , atunci

.

Cum pentru si avem rezulta ca multimea M are 4 matrice inversabile.

c) Daca M este o matrice inversabila, avem ,

, .

d) Cea mai mare valoare a lui se obtine pentru

.

e) Cea mai mica valoare a lui se obtine pentru

.

Probleme propuse pentru clasa a XII-a:

1. Pe multimea se considera legea de compozitie " " definita prin relatia , unde semnifica partea intreaga.

a) Sa se arate ca

pentru orice .

b) Sa se intocmeasca tabla legii de compozitie " " pe multimea .

c) Sa se stabileasca daca legea de compozitie " " admite element neutru pe multimea .

d) Sa se stabileasca daca legea de compozitie " " este comutativa.

e) Sa se arate ca legea de compozitie " " nu este asociativa.

f) Sa se rezolve in multimea ecuatia .

Rezolvare: a) Daca si au aceiasi paritate atunci este numar par si . Prin calcul gasim Daca si au paritati diferite atunci este numar impar si . Prin calcul gasim

b) Tabla legii de compozitie este

c) Din tabla legii de compozitie se vede ca aceasta nu admite element neutru.

d) Tabla legii de compozitie este simetrica fata de diagonala principala ceea ce inseamna ca legea " * " este comutativa.

c) Pentru elementele avem

si

ceea ce arata ca legea " * " este nu este asociativa.

d) Din tabla legii de compozitie se vede ca ecuatia are solutiile .

2. Se considera functia continua si fie

o primitiva a lui . Definim functia

a) Sa se arate ca functia este contina pe .

b) Sa se arate ca functia este derivabila pe .

c) Sa se arate ca este o primitiva a functiei

Rezolvare: a) Functia fiind o primitiva a lui este contina pe . In baza operatiilor cu functii continue rezulta ca este contina pe . In 0 avem ceea ce inseamna ca este contina in 0. In consecinta este contina pe .

b) Functia fiind o primitiva a lui este derivabila pe . Mai departe, pentru avem

iar

.

In consecinta este derivabila pe .

c) De la b) se vede ca ceea ce inseamna ca este o primitiva a functiei .

3. Fie functia care satisface conditiile:

a) ,

b) ,

c) pentru orice , fiind o constanta reala.

Se cere:

1) Sa se afle valoarea lui ;

2) Sa se determine si ;

3) Sa se gaseasca pentru orice ;

4) Sa se gaseasca expresia functiei .

Rezolvare. 1) Pentru din relatia de la c) obtinem , de unde rezulta .

2) Pentru si din relatia de la c) obtinem , de unde

Din definitia derivatei intr-un punct avem

3) Intr-un punct oarecare avem

si deci pentru orice .

4) Functia este primitive lui care in 1 ia valoarea . Se obtine pentru orice .