CATEGORII DOCUMENTE |
Astronomie | Biofizica | Biologie | Botanica | Carti | Chimie | Copii |
Educatie civica | Fabule ghicitori | Fizica | Gramatica | Joc | Literatura romana | Logica |
Matematica | Poezii | Psihologie psihiatrie | Sociologie |
Probleme propuse pentru Concursul de matematica "Adolf Haimovici"
Probleme propuse pentru clasa a IX-a
1. Fie functia care satisface conditiile:
a) ,
b) ,
c) pentru
orice
,
fiind o
Se cere:
1) Sa se afle valoarea lui ;
2) Sa se determine si
;
3) Sa se gaseasca expresia functiei ;
4) Sa se calculeze;
5) Sa se rezolve ecuatia .
Rezolvare. 1) Pentru si
din relatia de la c) obtinem
, de unde rezulta
.
2) Pentru si
,
din relatia de la c) obtinem
,
de unde
iar pentru
,
,
,
de unde
.
3) Pentru si
din relatia de la c) obtinem
. Inlocuind pe
cu
gasim
pentru orice
.
4) .
5) Ecuatia a carei rezolvare se cere este
care are
solutiile si
.
2. In planul paralelogramului se considera
simetricul lui
fata de
si
un punct pe segmentul
astfel incat
.
Fie
simetricul lui
fata de
,
simetricul lui
fata de
si
simetricul lui
fata de
.
a) Sa se gaseasca descompunerile vectorilor si
dupa directiile vectorilor
.
b) Sa se arate ca patrulaterul este trapez si sa se afle raportul bazelor.
c) Sa se arate ca punctele sunt coliniare.
Rezolvare. a) Vectorii si
se pot
exprima dupa cum urmeaza.
,
,
,
b) Din relatiile (1), (2) avem ,
ceea ce inseamna ca vectorii
si
sunt coliniari. Rezulta ca patrulaterul
este trapez si raportul bazelor este
.
c) Exprimam vectorii si
in functie de
:
,
.
Se vede ca
vectorii si
sunt coliniari si in consecinta punctele
sunt coliniare.
Probleme propuse pentru clasa a X-a:
1. Fie functia care satisface conditiile:
a) ,
b) ,
c) pentru
orice
,
fiind o
Se cere:
1) Sa se afle valoarea lui ;
2) Sa se determine si
;
3) Sa se gaseasca expresia functiei ;
4) Sa se arate ca pentru orice
;
5) Sa se rezolve ecuatia .
Rezolvare. Relatia de la c) se mai poate scrie
(1)
1) Pentru din relatia (1) obtinem
, de unde rezulta
.
2) Pentru si
,
din relatia (1) obtinem
, iar pentru
,
,
,
de unde
.
3) Pentru si
din relatia (1) obtinem
. Inlocuind pe
cu
gasim
pentru orice
.
4) .
5) Ecuatia se scrie succesiv
care are
solutiile si
.
2. Stiind ca se cer:
a) Sa se arate ca , unde
;
b) Sa se arate ca pentru orice
;
c) Sa se stabileasca semnele
numerelor si
;
d) Sa se compare numerele si
;
e) Sa se arate ca .
Rezolvare: a) Avem
de unde rezulta relatia de la a).
b) Reprezentand unghiul cu masura pe cercul trigonometric, aria tringhiului AOM este egala cu
iar a sectorului de cerc AOM este egala cu
.
Rezulta .
c) Utilizand rezultatul de la a) avem
d) Folosim urmatoarele inegalitati
sin(cos x) <
cos(sin x) pentru orice x,
(2) sin(sin x) < cos(cos x) pentru orice x,
care se obtin pe
baza monotoniei functiilor si
si a inegalitatii de la b)
dupa cum urmeaza :
sin(cos x) < cos x < cos(sin x),
sin(sin x) =
sin(cos(-
x)) < cos(sin(
-
x)) = cos(cos x).
Atunci
.
e) Pe baza inegalitatilor (1), (2) obtinem
.
Probleme propuse pentru clasa a XI-a
1. Fie functia care satisface conditiile:
a) ,
b) ,
c) pentru orice
,
fiind o
Se cere:
1) Sa se afle valoarea lui ;
2) Sa se determine ;
3) Sa se calculeze ;
4) Sa se gaseasca expresia functiei .
Rezolvare. 1) Pentru din relatia de la c) obtinem
, de unde rezulta
.
2) Pentru si
din relatia de la c) obtinem
, de unde
.
3)
.
4) Pentru si
din relatia de la c) obtinem
, adica
.
Inlocuind pe
cu
gasim
pentru orice
.
2. Fie M =.
a) Cate elemente are multimea M ?
b) Cate matrice din multimea M sunt inversabile?
c) Daca M este o matrice inversabila sa se determine inversa ei..
d) Care este matricea din multimea M al carei determinant are valoarea cea mai mare?
e) Care este matricea din multimea M al carei determinant are valoarea cea mai mica?
Rezolvare: a) Fiecare dintre
parametrii poate lua 2 valori si astfel multimea M are 8 elemente.
b) Daca M , atunci
.
Cum pentru si
avem
rezulta ca multimea M are 4 matrice inversabile.
c) Daca M este o matrice inversabila, avem
,
,
.
d) Cea mai mare valoare a lui se obtine pentru
.
e) Cea
mai mica valoare a lui se obtine pentru
.
Probleme propuse pentru clasa a XII-a:
1.
Pe multimea se considera legea de compozitie "
" definita prin relatia
, unde
semnifica partea intreaga.
a) Sa se arate ca
pentru orice .
b) Sa se intocmeasca tabla legii
de compozitie " " pe
multimea
.
c) Sa se stabileasca daca legea de compozitie " " admite element neutru pe multimea
.
d) Sa se stabileasca daca legea de compozitie " " este
comutativa.
e) Sa se arate ca legea de compozitie " " nu
este asociativa.
f) Sa se rezolve in multimea ecuatia
.
Rezolvare: a) Daca si
au aceiasi paritate atunci
este numar par si
.
Prin calcul gasim
Daca
si
au paritati diferite atunci
este numar impar si
.
Prin calcul gasim
b) Tabla legii de compozitie este
* |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
2 |
2 |
3 |
3 |
c) Din tabla legii de compozitie se vede ca aceasta nu admite element neutru.
d) Tabla legii de compozitie este simetrica fata de diagonala principala ceea ce inseamna ca legea " * " este comutativa.
c) Pentru elementele avem
si
ceea ce arata ca legea " * " este nu este asociativa.
d) Din tabla legii de compozitie se vede ca ecuatia are solutiile
.
2. Se considera functia continua si fie
o primitiva a lui
. Definim functia
a) Sa se arate ca functia este contina pe
.
b) Sa se arate ca functia este derivabila pe
.
c) Sa se arate ca este o primitiva a functiei
Rezolvare: a) Functia fiind o primitiva a lui
este
contina pe
.
In baza operatiilor cu functii continue rezulta ca
este contina pe
.
In 0 avem
ceea ce inseamna ca
este contina in 0. In consecinta
este contina pe
.
b) Functia fiind o primitiva a lui
este
derivabila pe
.
Mai departe, pentru
avem
iar
.
In consecinta este derivabila pe
.
c) De la b) se vede ca ceea ce inseamna ca
este o primitiva a functiei
.
3. Fie functia care satisface conditiile:
a) ,
b) ,
c) pentru orice
,
fiind o
Se cere:
1) Sa se afle valoarea lui ;
2) Sa se determine si
;
3) Sa se gaseasca pentru orice
;
4) Sa se gaseasca expresia functiei .
Rezolvare. 1) Pentru din relatia de la c) obtinem
, de unde rezulta
.
2) Pentru si
din
relatia de la c) obtinem
, de unde
Din definitia derivatei intr-un punct avem
3) Intr-un punct oarecare avem
si deci
pentru orice
.
4) Functia este primitive lui
care in 1 ia valoarea
.
Se obtine
pentru orice
.
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 1888
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved