Definitia clasica a probabilitatii. Camp de evenimente. Axiomele lui Kolmogorov

Definitia clasica a probabilitatii. Camp de evenimente. Axiomele lui Kolmogorov

La o societate comerciala oarecare s-a constatat ca in medie din piesele produse de o masina automata sunt necorespunzatoare. Aceasta insemna ca la fiecare tura de produse nesortate, piesele rebut vor fi in proportie de aproximativ . Daca turele sunt formate, de exemplu din de piese, la unele dintre ele numarul rebuturilor va fi sub ( piese), la altele peste (), dar, in medie, acest numar va fi apropiat de .

Se presupune ca procesul de fabricatie are loc in aceleasi conditii de productie. In acest caz, operatia de masa consta in fabricatia in serie a produselor, conducand la constituirea unei colectivitati omogene. Procentul unuia sau al altuia dintre evenimentele care intereseaza (produse necorespunzatoare) va fi - in conditii de productie identice - in general acelasi, abatandu-se de la o anumita valoare medie relativ stabila numai in cazuri rare. Se spune ca acesta valoare medie este indicele caracteristic al operatiei de masa sau, mai precis, al fenomenului de masa, intelegandu-se prin aceasta din urma notiune realizarea valorilor unei caracteristici studiate (numarul produselor rebut) cu aceeasi probabilitate, la orice proba.

Este foarte importanta cunoasterea acestui indice in diferitele domenii de activitate. El face posibila aprecierea fenomenelor de masa pana acum intamplatoare si chiar previziunea evolutiei lor viitoare, in masura in care conditiile initiale ale experientei raman aceleasi.

In exemplul de mai inainte, in care la de piese, produse de o masina automata, de piese sunt in medie rebut, se spune ca probabilitatea de a produce rebuturi este, pentru masina data :

Se va cauta a se lamuri, pe plan teoretic, ce se intelege prin probabilitatea unui eveniment intr-o operatie de masa data, retinand in acest scop ca unitatile elementare rezultate dintr-un proces de masa - unitati ale colectivitatii constituite - isi contopesc caracteristicile lor particulare intr-o caracteristica a intregului ansamblu, intr-o legitate generala care caracterizeaza nu un element anumit al colectivitatii studiate, ci un element oarecare al acesteia, legitate care se va denumi legitate statistica.

Daca intr-o operatie de masa care are loc in conditii identice, un eveniment se produce in medie de ori, adica la din unitati elementare ale colectivitatii studiate, probabilitatea evenimentului este

.

In aceasta relatie, reprezinta numarul cazurilor egal posibile, pe cand reprezinta numarul cazurilor favorabile; ea sintetizeaza definitia clasica a notiunii de probabilitate: se numeste probabilitatea unui eveniment A si se noteaza cu raportul dintre numarul de rezultate favorabile producerii lui si numarul total de rezultate posibile ale experientei, in conditia ca toate rezultatele sa fie egal posibile.

Pe baza acestei definitii se vede imediat ca probabilitatea de aparitie - la o singura aruncare - a uneia din fetele unui zar omogen si perfect construit este , sau probabilitatea de aparitie a uneia din fetele monedei este etc.

Deoarece rezulta ca probabilitatea oricarui eveniment intamplator satisface dubla inegalitate :

Cu cat este mai apropiat de , cu atat evenimentul are loc mai des. Daca, evenimentul sau nu are loc niciodata, sau are loc foarte rar, asa ca practic il consideram imposibil. Daca , evenimentul are loc totdeauna, deci este un eveniment sigur.

Din definitia clasica a probabilitatii , rezulta urmatoarele:

proprietATi

. Probabilitatea evenimentului sigur este , intrucat in acest caz ;

. Probabilitatea evenimentului imposibil este , intrucat in acest caz ;

. Probabilitatea unui eveniment intamplator este cuprinsa intre si , intrucat in acest caz .

In afara de notiunea de probabilitate exista in teoria probabilitatilor o alta notiune fundamentala si anume notiunea de frecventa relativa. Prin frecventa relativa a evenimentului se intelege raportul dintre numarul probelor in care evenimentului s-a produs si numarul total de probe efectuate. Dintr-o indelungata observatie a fenomenelor si proceselor de masa s-a putut constata ca daca un experiment se repeta, in aceleasi conditii, de un numar suficient de mare de ori, atunci frecventa relativa capata o anumita stabilitate, osciland in jurul probabilitatii.

Tocmai de aceea, drept masura cantitativa de apreciere a posibilitatii obiective de a se produce evenimentul intamplator poate fi luata frecventa relativa , rezultata dupa un numar mare de experiente, efectuate in aceleasi conditii.

Dupa cum se vede, notiunea de probabilitate a unui eveniment este legata (chiar la originea formarii ei) de o notiune experimentala, practica - frecventa evenimentului - rezultand din legile obiective ale fenomenelor reale de masa. Aceasta a condus la constatarea ca evenimentele corespunzatoare diferitelor probe experimentale formeaza o anumita structura, cu numeroase proprietati care pot fi formulate matematic. Matematicianul rus A. N. Kolmogorov a numit-o camp de evenimente si pe aceasta baza a formulat cunoscutele axiome privind teoria probabilitatilor.

Schema lui Kolmogorov

AXIOMA 1. Unei experiente ii corespunde intotdeauna un camp de evenimente.

Obiectele de baza folosite in axiomatizarea teoriei probabilitatilor sunt evenimentele si probabilitatile respective. Experienta conduce la constatarea ca evenimentele corespunzatoare diferitelor experiente poseda unele proprietati ce pot fi formulate matematic.

EXEMPLU Se considera experienta clasica a arucarii unui zar. Aparitia celor sase fete conduce la evenimentele :

In mod analog, aparitia uneia din doua fete ne conduce la evenimentele :

Aparitia uneia din trei fete da nastere evenimentelor :

Aparitia uneia din patru fete va da evenimentele :

Aparitia uneia din cinci fete va conduce la evenimente de forma :

In total vor fi:

evenimente.

Adaugand la aceasta evenimentul sigur, care consta in faptul ca la o aruncare cu zarul va aparea in mod sigur una din cele sase fete, precum si evenimentul imposibil, constand din faptul imposibil ca la aruncarea cu zarul sa nu iasa nici una din fete, se obtin in total evenimente, care formeaza campul de evenimente generat de experienta aruncarii unui zar.

Evenimentele rezultate direct din experienta, vor fi numite evenimente elementare.

Prin urmare, sunt:

evenimente elementare. In general numarul evenimentelor unui camp finit este egal cu la o putere egala cu numarul evenimentelor elementare.

Astfel, daca se considera un lot de de piese de acelasi fel si se extrage la intamplare o pereche de piese, numarul evenimentelor campului generat de aceasta experienta va fi egal cu .

Revenind la exemplul cu zarul, se observa ca evenimentul consta fie in aparitia fetei , fie din aparitia fetei . Se spune ca evenimentul este reuniunea (adunarea) evenimentelor si , adica :

In mod analog, realizarea simultana a evenimentelor si este evenimentul . Se spune ca evenimentul este intersectia (produsul) evenimentelor si , adica :

Daca evenimentele intersectate se exclud reciproc, se obtine evenimentul imposibil, notat cu . De exemplu :

Din cele aratate pana acum rezulta ca orice eveniment al campului care nu este elementar, sau evenimentul nul, este o reuniune de evenimente elementare.

In particular, reuniunea (adunarea) tuturor evenimentelor elementare conduce la evenimentul sigur, care va fi notat cu .

Se considera evenimentul . Evenimentul se bucura de proprietatile:

Evenimentul este complementul evenimentului

In general, un camp de evenimente este caracterizat prin urmatoarele proprietati : daca notam cu , , evenimente ale campului, , sunt de asemenea evenimente ; notand prin complementul lui , este de asemenea un eveniment. Evenimentul sigur si evenimentul imposibil apartin de asemenea campului.

Pentru un camp infinit trebuie sa se admita ca si , sunt evenimente.

AXIOMA 2. Fiecarui eveniment A al campului ii corespunde un numar real, nenegativ, , numit probabilitatea lui.

Folosind legatura dintre frecventa relativa si probabilitate, se deduce ca probabilitatea, care este raportul dintre numarul de cate ori se verifica in experiente si numarul de experiente, satisface inegalitatile

AXIOMA 3. Probabilitatea evenimentului sigur este egala cu.

AXIOMA 4. Probabilitatea reuniunii a doua evenimente incompatibile intre ele este egala cu suma probabilitatilor evenimentelor.

Dupa cum se stie evenimentele incompatibile sunt acelea care se exclud reciproc. Conform definitiei, se poate scrie . Astfel, a patra axioma se poate scrie :

, unde