INTERPOLAREA NUMERICA - Formula de interpolare Lagrange

INTERPOLAREA NUMERICA

1. Introducere

Interpolarea este operatia prin care unei functii 'f_r(x)' determinata printr-un numar finit de puncte (x_i, f_r( x_i)) , i=1,,n, i se estimeaza valoarea corespunzatoare unui argument x x_i, unde x (inf x_i, sup x_i),i=1,,n. Prin inf x_i si sup x_i am notat elementul inferior, respectiv superior din multimea

X=.

In viata de zi cu zi se intalnesc nenumarate exemple de interpolare. Atunci cand minutarul unui ceasornic se afla intre doua diviziuni ale cadranului, valoarea diviziunii fiind de 5 minute aprecierea numarului de minute corespunzatoare orei respective se face prin interpolare. Evident, eroarea comisa nu poate depasi numarul de minute aferent intervalului dintre doua diviziuni consecutive ale cadranului.

Aprecierea temperaturii dintr-o incapere cu ajutorul unui termometru, citirea presiunii unui fluid cu ajutorul unui manometru sau al unui piezometru, masurarea tensiunii si a intensitatii unui curent electric au la baza operatia de interpolare.

Din punct de vedere matematic problema interpolarii monovariabile se pune corect astfel incat sa avem :

Prin f_r(α) am notat valoarea reala (exacta) a functiei cercetate pentru x= α, iar prin ε un numar pozitiv impus, numit eroare relativa maxima admisibila.

Functia y=f(x) care satisface numai conditia a) se numeste functie de interpolare sau, pe scurt, interpolant. Interpolantul care satisface si conditia b) se va numi interpolant admisibil.

Fie d(x_i) = f'_r(x_i) valoarea derivatei functiei exacte (supusa operatiei de interpolare), in argumentul x_i (i=1,..,n).

Interpolantul y=f(x) cu proprietatea

f'(x_i)=d(x_i), () i=1,,n,

se numeste interpolant Hermite.

Un asemenea interpolant se va reprezenta grafic printr-o curba tangenta graficului functiei exacte, y=f_r(x), in punctele de abscise x_i.

De regula, un interpolant y=y(x) se construieste de forma

unde f_j(x),(j=1,,n) se numesc functii de baza iar coeficientii α _j(j=1,,n), urmeaza a se determina din conditiile :

Evident, aceste conditii reprezinta un sistem liniar de ecuatii in necunoscutele α _j (j=1,,n).

Se cuvine sa facem mentiunea ca pot exista diferite functii de baza incat sistemul (2.) sa fie compatibil. In aceste conditii, problema care se impune este de a alege cel mai potrivit ansamblu de functii de baza f_j(x), j=1,,n, astfel incit sa se obtina un interpolant optim sau, cel putin, admisibil. (Prin interpolant optim se intelege acel interpolant caracterizat prin cele mai mici erori relative). Determinarea acestui interpolant reprezinta obiectul acestui capitol. In ce priveste functiile de baza utilizate, acestea vor fi de tip polinomial definite fie pe intervalul [inf x_i,sup x_i]_i=i,,n, fie pe subintervale incluse in intervalul precedent.

2. Formula de interpolare Lagrange

Fie f(x) o functie definita pe [a,b] cunoscuta in n+1 puncte arbitrare, distincte si in ordine crescatoare x₀,x₁,,x_n [a,b]

x | x₀ x₁ x_n-1 x_n

f(x) | f₀ f₁ f_n-1 f_n

Pentru a intelege ideea de baza a formulei lui Lagrange sa consideram produsul:

= (x - x₁)(x - x₂)(x-x_n)

Functia este un polinom de grad n, egal cu zero pentru x=x₁, x=x₂,, x=x_n. Daca impartim la , functia rezultanta

devine egala cu unitatea pentru x=x₀ si egala cu zero pentru x=x₁, x=x₂,, x=x_n.Similar, putem defini L_n,i(x) sub forma:

Functia L_n,i(x) este un polinom de grad n care devine egal cu unitatea pentru x=x_j, ji. Daca inmultim L_n,0 cu f₀, L_n,1(x) cu f₁,, L_n,n(x) cu f_n si insumam expresiile astfel obtinute, suma va fi un polinom de grad n, egal cu f_i pentru i=0,1,,n.

Formula de interpolare Lagrange dedusa in acest mod poate fi scrisa sub forma :

Ecuatia (4.) este echivalenta cu o suma de puteri ai carei coeficienti rezulta din rezolvarea unui sistem de ecuatii liniare de forma (2.).

Exemplul 1. Interpolarea Lagrange in trei puncte.

Sa se afle interpolantul Lagrange care trece prin punctele (-1,2), (1,1) si (2,1).

Vom determina

Formule de interpolare Newton prin noduri echidistante [ 3 ], [ 9 ]

In capitolul anterior am studiat formula de interpolare Lagrange care poate fi utilizata atat pentru interpolarea in noduri echidistante cat si pentru retele la care distanta dintre noduri este variabila.

Interpolarea Lagrange prezinta o serie de dezavantaje :

un numar mare de calcule ;

modificarea valorii x pentru care se face interpolarea implica, de fiecare data, acelasi numar de calcule deoarece nu se pot utiliza rezultate partiale de la interpolarile anterioare;

modificarea numarului de noduri genereaza reluarea calculelor din acelasi motiv ca la paragraful anterior ;

evaluarea dificila a erorii.

Utilizarea interpolarii Newton evita in buna masura aceste dificultati.

Pentru a opera o interpolare de tip Newton pentru un set de date cunoscut este necesara dezvoltarea unei tabele a diferentelor. Odata obtinuta tabela diferentelor se pot obtine foarte usor formule de interpolare pentru diferite seturi de noduri consecutive (de exemplu pentru i=0,1,2,3 sau i=3,4,5,6 sau i=2,3,4 etc.).

Vom descrie in continuare doua versiuni pentru interpolarea Newton prin noduri echidistante : intrepolarea Newton directa si interpolarea Newton inversa. Matematic, cele doua interpolari sunt echivalente chiar daca au expresii diferite.

1. Formula de interpolare Newton directa

Sa consideram nodurile echidistante cu distanta dintre doua noduri succesive egala cu h. Vom nota setul de date cu (x_i,f_i), i=0,1,,n.

Pentru a evalua formula directa de interpolare Newton sa definim mai intai tabela diferentelor directe si coeficientii binomiali.

Diferentele directe sunt definite de urmatoarele relatii:

Δ ⁰f_i = f_i (diferenta directa de ordinul zero)

Δ ¹f_i = f_i+1-f_i (diferenta directa de ordinul intai)

Δ ²f_i = Δf_i+1- Δ f_i (diferenta directa de ordinul doi)

Δ ³f_i = Δ ²f_i+1-Δ ²f_i (diferenta directa de ordinul trei)

.

Δ ^kf_i = Δ ^k-1f_i+1- Δ ^k-1f_i (diferenta directa de ordinul k)

Tabelul 1 ilustreaza o tabela a diferentelor pana la ordinul cinci pentru un numar de sase noduri. Incepand de la coloana a treia, fiecare coloana contine diferentele calculate pornind de la coloana anterioara. Fiecare linie include un set de diferente directe pentru punctele corespunzatoare in care s-au calculat.

Tabelul 1.

i f_i Δ f_i Δ ²f_i Δ ³f_i Δ ⁴f_i Δ ⁵f_i

0 f₀ Δf₀ Δ²f₀ Δ³f₀ Δ⁴f₀ Δ⁵f₀

1 f₁ Δf₁ Δ ²f₁ Δ ³f₁ Δ ⁴f₁

2 f₂ Δf₂ Δ ²f₂ Δ³f₂

3 f₃ Δf₃ Δ²f₃

4 f₄ Δf₄

5 f₅

Se observa usor ca in cazul particular in care f_i=f(x_i), daca f(x) este un polinom de gradul k, diferentele de ordinul k sunt egale si diferentele de ordin superior lui k sunt nule.

Intr-adevar, diferentele de ordinul intai sunt polinoame de gradul k-1 s.a.m.d. pana la diferentele de ordinul k, ce se reduc la un termen constant.

Coeficientii binomiali sunt dati de relatiile :

unde s este s=(x-x₀)/h iar h=x_i+1-x_i.

Polinomul de interpolare Newton direct care trece prin k+1 puncte f₀,f₁,,f_k poate fi scris sub forma :

(9)

De exemplu, pentru k=2, ecuatia (9.) devine :

echivalenta cu

Se poate arata ca ecuatia (9.) este egala succesiv cu f₀,f₁,f₂,,f_k pentru x=x₀, x=x₁, x=x₂, ,x=x_k dupa cum urmeaza:

s=0 : N(x₀) = N(x₀+0) = f₀

s=1 : N(x₁) = N(x₀+h) = f₀+Δf₀ = f₁

s=2 : N(X₂) = N(x₀+2h)= f₀+2Δf₀+Δ²f₀ = f₂

s=k : N(x_k) = N(x₀+kh)= f₀+kΔf₀+k(k-1) Δ²f₀+= f_k

2

Primii m+1 termeni din ecuatia (9.) formeaza un polinom de interpolare de gradul m in m+1 puncte (x₀,x₁,x₂,,x_m). Similar, primii m+2 termeni formeaza un polinom de interpolare de gradul m+1 in m+2 puncte. Rezulta ca gradul polinomului de interpolare se poate schimba usor modificand numarul de diferente pe care le luam in considerare de pe prima linie din Tabelul 1.

Daca in ecuatia (9.) inlocuim x₀ si f₀ respectiv cu x₂ si f₂ formula devine :

(10)

unde s=(x-x₂)/h.

Valoarea lui s devine egala cu zero pentru x=x₂ si succesiv egala cu 1,2,3, pentru x=x₃, x=x₄, x=x₅,

Ecuatia (10.) este un polinom de gradul k ce va verifica punctele x₂,x₃,,x_k+2 si care utilizeaza diferentele aflate de-a lungul celei de a treia linii din Tabelul 1. Aceasta demonstreaza ca, odata intocmita tabela diferentelor, se pot obtine usor formule de interpolare pentru diferite seturi de puncte succesive.

2. Formula de interpolare Newton inversa

Polinomul de interpolare Newton invers este functie de diferentele descendente si coeficientii binomiali.

Diferentele inverse sunt definite de urmatoarele relatii :

⁰f_i = f_i (diferenta inversa de ordinul zero)

f_i = f_i - f_i-1 (diferenta inversa de ordinul intai)

²f_i = f_i - Δf_i-1 (diferenta inversa de ordinul doi)

³f_i = ²f_i - ²f_i-1 (diferenta inversa de ordinul trei)

^kf_i = ^k-1f_i - ^k-1f_i-1 (diferenta inversa de ordinul k)

Coeficientii binomiali utilizati in formula de interpolare Newton inversa sunt :

Polinomul de interpolare Newton invers care trece prin punctele x=x_j, x=x_j-1, x=x_j-2,, x=x_j-k este dat de relatia :

(11)

unde s=(x-x_j)/h,

este coeficientul binomial si ⁿf_j este diferenta inversa.

Echivalenta dintre diferenta directa si diferenta inversa este data de relatia:

(12)

Tinand cont de (12.), ecuatia (11.) poate fi scrisa in functie de diferentele directe :

sau, mai explicit,

4. Formula de interpolare Newton prin noduri neuniform distribuite

Formulele de interpolare Newton descrise anterior sunt valabile numai in cazul nodurilor echidistante. In practica, de cele mai multe ori, nu intalnim acest caz fericit. Vom deteremina in continuare o metoda de interpolare Newton pentru cazul nodurilor neuniform distribuite.

Sa presupunem ca P_n este polinomul Lagrange de grad cel mult n care coincide cu o functie f in punctele x₀,x₁,,x_n. Metoda descrisa in continuare, care se bazeaza pe notiunea de diferente divizate, poate fi dedusa demonstrand ca polinomul P_n este de forma :

P_n(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)+ +a_n(x-x₀)(x-x₁)(x-x_n-1)

pentru anumite valori ale constantelor a₀,a₁,,a_n.

Pentru a determina prima constanta, a₀, vom tine cont de faptul ca P_n poate fi scris sub forma data de ecuatia (14.); evaluand P_n in punctul x₀ obtinem a₀=P_n(x₀)=f(x₀).

Similar, atunci cand evaluam P_n in punctul x₁, singurii termeni diferiti de zero din expresia pentru P_n(x₁) sunt constanta si termenul liniar.

f(x₀)+a₁(x₁-x₀)=P_n(x₁)=f(x₁) ,

de unde rezulta

(15)

La aceast_ etapa vom introduce notiunea de diferenta divizata. Diferenta divizata zero a functiei f(x) in punctul x_i, se noteaza f[x_i] si este chiar valoarea functiei in punctul respectiv :

f[x_i] = f(x_i)

Urmatoarele diferente divizate se definesc prin inductie; prima diferenta divizata a functiei f in punctele x_i si x_i+1, se noteaza f[x_i,x_i+1] si este data de relatia

(16.)

Considerand ca am determinat diferentele divizate de ordinul (k-1),

f[x_i,x_i+1,x_i+2,,x_i+k-1] si f[x_i+1,x_i+2,,x_i+k-1,x_i+k],

diferenta divizata de ordinul k in punctele x_i,x_i+1,x_i+2,,x_i+k este data de relatia :

Cu aceste notatii coeficientul a₁ dat de relatia (15.) poate fi reexprimat sub forma a₁=f[x₀,x₁] iar polinomul de interpolare P_n dat de (14.) devine :

P_n(x) = f[x₀]+f[x₀,x₁](x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)+ +a_n(x-x₀)(x-x₁)(x-x_n-1)

Repetand rationamentul anterior si folosindu-ne de notatiile introduse pentru diferentele divizate, polinomul P_n(x), va fi exprimat de relatia :

P_n(x)=f[x₀]+f[x₀,x₁](x-x₀)+f[x₀,x₁,x₂](x-x₀)(x-x₁)+.

+f[x₀,x₁,,x_n](x-x₀)(x-x₁)(x-x_n-1)

echivalenta cu

(17.)

Ecuatia (17.) este cunoscuta sub denumirea de formula de interpolare Newton cu diferente divizate.

O schema de calcul a diferentelor divizate este ilustrata in tabelul 2.

Tabelul 2

x f(x) Prima diferenta A doua diferenta

divizata divizata

x₀ f[x₀]

f[x₀,x₁]=(f[x₁]-f[x₀])/(x₁-x₀)

x₁ f[x₁] f[x₀,x₁,x₃]=(f[x₁,x₂]-f[x₀,x₁])/(x₂-x₀)

f[x₁,x₂]=(f[x₂]-f[x₁])/(x₂-x₁)

x₂ f[x₂] f[x₁,x₂,x₃]=(f[x₂,x₃]-f[x₁,x₂])/(x₃-x₁)

f[x₂,x₃]=(f[x₃]-f[x₂]/(x₃-x₂)

x₃ f[x₃] f[x₂,x₃,x₄]=(f[x₃,x₄]-f[x₂,x₃])/(x₄-x₂)

f[x₃,x₄]=(f[x₄]-f[x₃])/(x₄-x₃)

x₄ f[x₄]

5. Analiza interpolarii polinomiale

Cum putem aprecia calitatea unui interpolant ?

Considerand un interpolant polinomial scris sub forma generala data de relatia (1.), dupa ce calculam coeficientii α_j, urmatorul pas consta in evaluarea interpolantului in punctele x_i si verificarea daca punctele y_i sunt reproduse fara erori prin rotunjire. Daca rezultatele nu corespund este posibil ca matricea coeficientilor sa nu fie corect conditionata sau sa existe o problema in program. Practic nu este insa posibil sa apreciem evolutia generala a unui interpolant cunoscand doar faptul ca reproduce datele de intrare. Cea mai buna cale este de a evalua interpolantul in cat mai multe puncte si de a trasa graficul corespunzator.

Exista totusi situatii in care calitatea interpolantului poate fi studiata analitic. Sa definim eroarea interpolarii polinomiale (atat Lagrange cat si Newton) prin

e(x) = f(x) - g(x)

unde f(x) este functia analitica care a generat valorile f_i si g(x) este polinomul unic de grad n care interpoleaza cele n+1 puncte (x_i,f_i), i=0,1,,n. Deoarece g(x) coincide cu functia f in punctele x_i, e(x) poate fi scrisa si sub forma

e(x) = (x-x₀)(x-x₁)(x-x_n)s(x)

Vom demostra ca pentru o valoare x [x₀,x_n], oarecare, s(x) este dat de relatia

(20.)

unde ξ depinde de x dar este intotdeauna cuprins in intervale (x₀,x_n).

Sa selectam o valoare η (x₀,x_n) si sa definim o noua functie

p(x) = f(x)-g(x)-(x-x₀)(x-x₁)(x-x_N)s(

echivalenta cu

p(x) = (x-x₀)(x-x₁)(x-x_n)[s(x)-s(

Functia p(x) are valoarea zero in punctele x_i, i=0,1,,n.

Derivata p'(x) are cel mult n radacini reale cuprinse in intervalul [x₀,x_n], derivata p'(x) are cel mult n-1 radacini reale iar derivata p⁽ⁿ⁺¹⁾(x) are o radacina ξ[x₀,x_n].

Derivata de ordin n+1 a polinomului p(x) dat de relatia (22.) este

p⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)-0-s(η)(n+1)!

care devine

p⁽ⁿ⁺¹⁾( ) = f⁽ⁿ⁺¹⁾( )-s(η)(n+1)! = 0 (24.)

unde am notat cu ξ radacina ecuatiei p⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=0, care va satisface conditia x₀< ξ <x_n. Rezulta ca

(25.)

Schimband notatiile η si ξ in x si ξ obtinem

(26.)

Rezulta in final ca eroarea data de un polinom de interpolare de ordinul n este

(27.)

unde x₀<i<x_n.

Datorita echivalentei dintre formula de interpolare Newton si formula de interpolare Lagrange, eroarea polinomului de interpolare Newton este identica cu cea data de formula de interpolare Lagrange. Mai mult, evaluarea erorii in cazul interpolarii Newton este mai uaoara decat in cazul interpolarii Lagrange.

Sa consideram ecuatia (9.) scrisa pentru k = n. Daca marim pe k de la n la n+1, termenul adiaional este

unde s = (x-x₀)/h si x_n = x₀+nh. Se poate demonstra ca al doilea factor din ecuatia (28.) poate fi considerat ca o aproximatie pentru f⁽ⁿ⁺¹⁾(x), mai exact

unde

Rezulta ca ecuatia (28.) poate fi considerata aproximativ egala cu expresia erorii (27.). Altfel spus, in interpolarea Newton, eroarea este reprezentata de termenul aditional care apare daca gradul polinomului creste cu unu ca urmare a aparitiei unui punct suplimentar x_n+1. In cazul in care acest punct nu este disponibil vom verifica daca exista un punct suplimentar la cealalta extremitate, mai exact f(x₁). Daca este disponibil, se poate calcula Δ ⁿ⁺¹f_-1 care va fi utilizata ca aproximare pentru Δ ⁿ⁺¹f₀.

Sa incercam sa analizam care sunt parametrii care influenteaza distributia si marimea erorii in interpolarea polinomiala.

In primul rand, ce se intampla daca pentru o functie cunoscuta vom mari din ce in ce mai mult numarul de puncte de interpolare, intervalul de definitie al functiei ramanand fix. Expresia erorii contine trei componente distincte: factorialul si produsul distantelor dintre puncte fac ca eroarea sa scada odata cu cresterea numarului de puncte de interpolare, in timp ce ordinul derivatei va creste. In majoritatea cazurilor valorile derivatei cresc mai rapid decat produsul factorial (n+1)!. Efectul practic este ca un interpolant polinomial de grad mare poate prezenta deviatii mari in puncte x, diferite de x_i, motiv pentru care niciodata nu este indicata depasirea gradului patru sau cinci.

Concluzia care se impune este ca interpolarea polinomiala de grad mare nu este o idee prea buna.

Un al doilea factor care influenteaza eroarea interpolarii polinomiale este marimea domeniului de definitie.

D = x_n - x₀

In general, valoarea maxima pentru |e(x)| tinde la zero atunci cand D descreste. Atunci cand D creste valoarea maxima pe care o ia |e(x)| creste, devenind in unele situatii dominanta comparativ cu modulul polinomului de interpolare, in cazul unui grad mare a acestuia.

Al treilea parametru care trebuie luat in considerare la analiza interpolarii polinomiale este distributia punctelor x_i pe abscisa.

In cazul in care sunt uniform distribuite, |e(x)| este mic pe centrul domeniului si tinde sa creasca rapid la extremitati.

Exemplul 6. Interpolarea functiei lui Runge [ 7 ]

O analiza detaliata a problemelor implicate de interpolarea polinomiala a fost facuta pentru prima data de Runge. El a incercat sa interpoleze polinomial pe intervalul [-1,1] o functie simpla de forma

utilizand noduri egal departate. A remarcat ca daca gradul n al polinomului de interpolare p_n tinde la infinit, p_n(x) este divergent pe intervalele 0,726<|x|<1. Fenomenul este ilustrat in graficul 2.Remarcati ca polinomul de interpolare este corespunzator in centru domeniului,

Fig. 2. Interpolarea polinomiala a functiei lui Runge

9. Functii spline cubice

Dificultatea care intervine atunci cand utilizam pentru interpolare polinoame Hermite consta in necesitatea de a cunoaste valorile derivatei functiei care este aproximata.

Vom descrie in acest capitol o metoda de interpolare care utilizeaza polinoame definite pe subintervale si care, cu exceptia punctelor extreme ale domeniului de interpolare, nu necesita informatii referitoare la derivatele functiei.

Cea mai utilizata aproximare polinomiala pe subintervale este interpolarea spline cubica care poate fi definita dupa cum urmeaza:

Definitie

Considerand o functie f definita pe intervalul [a,b] si un set de noduri

a = x₀<x₁ << x_n = b,

un interpolant spline cubic, S, pentru functia f este o functie care satisface urmatoarele conditii :

a) S este un polinom cubic, notat S_i pe intervalul [x_i,x_i+1] pentru i = 0,1,,n-1 ;

b) S(x_i) = f(x_i) pentru i = 0,1,,n ;

c) S_i+1(x_i+1) = S_i(x_i+1) pentru i = 0,1,,n-2 ;

d) S'_i+1(x_i+1) = S'_i(x_i+1) pentru i = 0,1,,n-2 ;

e) S'_i+1(x_i+1) = S'_i(x_i+1) pentru i = 0,1,,n-2.

f) este satisfacuta una din urmatoarele conditii :

f1) S'(x₀) = S'(x_n) = 0

f2) S'(x₀) = f'(x₀) si S'(x_n) = f'(x_n)

Observam ca un interpolant spline admite si derivata de ordinul doi continua, conditie care constitue un avantaj in majoritatea aplicatiilor. Conditia din definitie ca S'(x) sa fie continua in cele n-2 puncte interioare nu este suficienta, fiind necesare informatii suplimentare referitor si la derivatele in punctele extreme x₀ si x_n ale domeniului de interpolare.

Vom deduce mai intai expresia generala pentru un interpolant spline cubic, dupa care vom analiza mai multe posibilitati de determinare ale unui spline unic in functie de conditiile indeplinite in punctele extreme x₀ _i x_n.

Sa consideram intervalul [x_i, x_i+1] de lungime h_i = x_i+1-x_i (vezi figura 5.). Pe acest interval putem defini polinomul cubic

(5)

unde x_i <= x <= x_i+1

f_i-1 h_i-1=x_i-x_i-1 f_i h_i=x_i+1-x_i f_i+1

---|----- ----- -------------|----- ----- -------------|----

x_i-1    x_i x_i+1

Fig. 5. Notatii in interpolarea spline cubica

Impunand mai intai conditia ca S(x) sa fie egal cu valorile functiei f(x) in punctele x = x_i si x = x_i+1 obtinem :

f_i = a_i (54.)

f_i+1 = a_i+b_ih_i+c_ih_i²+d_ih_i³ (55.)

In plus este necesar ca S' si S' sa fie continue in punctele i si i+1 cu polinoamele cubice definite pe intervalele adiacente [x_i-1,x_i] _i [x_i+1,x_i+2].

Derivata de ordinul doi a polinomului cubic (5),

S'(x) = 2c_i+6d_i(x-x_i) (56.)

este definita in punctele i si i+1 de relatiile :

S'_i = 2c_i (57.)

S'_i+1 = 2c_i + 6d_ih_i (58.)

Rezulta coeficientii c_i si d_i, functie de S'_i si S'_i+1 :

Coeficientul a_i este deja dat de expresia (54.). Inlocuind relatiile (54.), (59.), (60.) in (55.) vom elimina a_i, c_i si d_i si vom obtine coeficientul b_i :

Cunoscand toti coeficientii, polinomul cubic S_i(x) definit de relatia (5), devine :

(62)

Derivata de ordinul intai a expresiei (62.) este data in punctele x=x_i si x=x_i+1 de relatiile:

(63)

(64)

unde h_i = x_i+1-x_i. Pentru intervalul x_i-1 <= x <= x_i, (64.) devine

(65)

Din ecuatia de continuitate pentru derivata de ordinul intai in nodul i, rezulta ca expresiile date de relatiile (6) si (65.) pentru S'_i trebuie sa fie egale. Egaland aceste expresii rezulta relatia:

(66.)

Inlocuind a_i si c_i dati de (54.) si (59.), ecuatia (66.) poate fi rescrisa sub forma

(67.)

Aplicand relatia (67.) pentru i = 1,2,,n-1 rezulta un sistem liniar de n-1 ecuatii. Necunoscute vor fi variabilele c_i (i = 0,1,,n), deoarece variabilele h_i (i=0,1,,n-1) si a_i (i = 0,1,,n) sunt cunoscute ca distantele dintre noduri si valorile functiei f date.

Sistemul astfel obtinut avand n-1 ecuatii si n+1 necunoscute, sa analizam posibilitatile de a elimina nedeterminarea.

O prima posibilitate de a ridica nedeterminarea consta in impunerea conditiei S'(a) = S'(b) = 0. Se obtine astfel un spline cubic natural. Fizic aceasta conditie considera ca graficul interpolantului este o dreapta in afara intervalului [x₀,x_n].

Utilizand notatiile existente, aceasta conditie conduce la c_n = S'(x_n) = 0 si 0=S'(x₀) = 2c₀+6d₀(x₀ - x₀) de unde c₀ = 0.

Cele doua ecuatii c₀ = 0 si c_n = 0 impreuna cu ecuatiile (67.) genereaza un sistem liniar descris de ecuatia matricial vectoriala Ax = b, in care A este matricea de dimensiuni (n+1)x(n+1) :

iar b si x sunt vectorii:

Matricea A este strict dominanta diagonal ceea ce inseamna ca sistemul admite o solutie unica c₀,c₁,,c_n.

A doua conditie care permite calcularea unui spline cubic este atunci cand se cunosc avalorile primei derivate ale functiei care urmeaza sa fie aproximata in punctele x₀ si x_n. In acest caz se impun conditiile S'(x₀) = f'(x₀) si S'(x_n) = f'(x_n).

Sa analizam modul de rezolvare al problemei in aceasta situatie.

Tinand cont de (54.) si (59.), relatia (61.) care exprima coeficientul b_i poate fi rescrisa sub forma:

(68.)

Utilizand egalitatea evidenta S'(a) = S'(x₀) = b₀, ecuatia (61.) devine pentru i = 0

In consecinta,

(69)

Similar,

de unde ecuatia (61.) implica pentru i = n-1 :

si

(70)

Ecuatiile (67.) impreuna cu (69.) si (70.) determina sistemul liniar Ax=b, unde A este urmatoarea matrice de dimensiune (n+1) x (n+1) :

iar b si x sunt vectorii :