Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii de gradul al doilea

Ecuatia  

prin intermediul substitutiei t = sinx,   (|t| £ 1) se reduce la ecuatia patrata at² + bt + c = 0.

Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile (Culegere de probleme , clasa aXa , Marius Burtea)

a) 2sin²x - 5sinx + 2 = 0;     b) sin²2x - sin2x = 0;     c) sin²x - sinx + 6 = 0.

Rezolvare. a) Se noteaza sinx = t si ecuatia devine

2t² - 5t + 2 = 0,

de unde t₁ = ¹/₂ si t₂ = 2. Cum |t| £ 1, ramane t = ¹/₂ si prin urmare ecuatia initiala este echivalenta cu ecuatia

sinx = ¹/₂,

solutiile careia sunt (a se vedea (3  ))

b) Se noteaza sinx = t si se obtine ecuatia patrata t² - t = 0 cu solutiile t₁ = 0 si t₂ = 1. Astfel ecuatia initiala este echivalenta cu totalitatea de ecuatii

de unde

c) Similar exemplelor precedente se obtine ecuatia patrata t² - t + 6 = 0, care nu are solutii. Rezulta ca si ecuatia trigonometrica nu are solutii.

Ecuatiile  

 

 

unde a, b, c I R,   a ¹ 0 se rezolva similar ecuatiei (12  ).

In cazul ecuatiei (13  ) se tine seama ca t = cosx in modul urmeaza sa nu intreaca unu, iar pentru t = tgx   (t = ctgx) in ecuatia (14  ) (respectiv (15  )) restrictii nu sunt.

Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile (Culegere de probleme , clasa aXa , Marius Burtea)

a) 6cos²x - 5cosx + 1 = 0;        b)

Rezolvare. a) Se noteaza cosx = t si se obtine ecuatia patrata

6t² - 5t + 1 = 0

cu solutiile t = ¹/₃ si t₂ = ¹/₂. Cum ambele solutii verifica conditia |t| £ 1 se obtine totalitatea

de unde    

b) Se rezolva similar exemplului precedent si se obtine     x = 2arcctg2 + 2p

k,   n, k I Z.

Ecuatia  

utilizand identitatea trigonometrica de baza sin²x + cos²x = 1, se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (12  ):

a(1 - sin²x) + bsinx + c = 0.

Similar, ecuatia  

se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (13  ):

a(1 - cos²x) + bcosx + c = 0.

Utilizand formulele

cos2x = 1 - 2sin²x,     cos2x = 2cos²x - 1

ecuatiile  

se reduc la rezolvarea ecuatiilor de tipul (12  ) si respectiv (13  ).

Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile: (Culegere de probleme , clasa aXa , Marius Burtea)

a) 2sin²x + 5cosx - 5 = 0;       b)

Rezolvare. a) Cum sin²x = 1 - cos²x, ecuatia devine

2(1 - cos²x) + 5cosx - 5 = 0

sau

2cos²x - 5cosx + 3 = 0,

de unde cosx = ³/₂ (aceasta ecuatie nu are solutii) sau cosx = 1, cu solutiile x = 2pk, k I Z.

b) Cum cos4x = 1 - 2sin²2x, ecuatia devine

sau

de unde

si

Ecuatia  

tinand seama ca tgxctgx = 1   () prin intermediul substitutiei t = tgx (atunci ctgx = ¹/_t) se reduce la o ecuatie trigonometrica de tipul (14  ).