CATEGORII DOCUMENTE |
Astronomie | Biofizica | Biologie | Botanica | Carti | Chimie | Copii |
Educatie civica | Fabule ghicitori | Fizica | Gramatica | Joc | Literatura romana | Logica |
Matematica | Poezii | Psihologie psihiatrie | Sociologie |
Fie o radacina a ecuatiei
f ( x ) = 0,
unde f : [a, b] → R , .
Vom aplica aceasta metoda impunand urmatoarele conditii:
1. este separata in [a, b];
2. f ' si f '' pastreaza acelasi semn in [a, b].
Fie x n o valoare aproximativa a lui . Avem
= x n + h n (h n foarte mic).
Dezvoltand dupa formula lui Taylor cu doi termeni avem
0 = f () = f (x n + h n) ≈ f (x n) + h n f '(x n) .
Urmeaza
, pentru n = 0, 1, 2, .
Deci, introducand expresia lui h n in expresia lui , inlocuind pe prin x n - 1 avem
, cu n = 0, 1, 2,
Metoda tangentei se aplica la capatul segmentului [a, b] (a sau b) dupa cum valoarea functiei in acel capat (punct) si valoarea derivatei a II-a in acelasi punct au acelasi semn (se vor vedea graficul de mai jos).
Sa demonstram acest fapt pentru cazul (B), adica pentru f (a) < 0, f (b) > 0, f' (a) >0 si f'' (a) > 0.
Sa demonstram prin inductie ca si in consecinta f (xn) > 0. Punem
Aplicand formula lui Taylor avem
unde .
Deoarece f" (x) > 0 urmeaza ca
sau
Tinand cont de semnele lui f (xn) si f'(xn) rezulta ca
x n+1 < x n ( n = 0, 1, 2, .)
adica aproximatiile succesive
x0 , x1, ., xn, .
formeaza un sir descrescator, marginit inferior de a, deci convergent.
Notam
Trecand la limita in egalitatea iteratiilor avem:
Notam cu punctul initial in care aplicam metoda lui Newton.
Dupa repetarea procedeului obtinem succesiv punctele
, , . , .
Punctul imediat urmator An+1 il obtinem astfel:
scriem ecuatia unei drepte ce trece prin An si de coeficient unghiular f'(xn), adica
intersectam aceasta dreapta cu axa Ox si obtinem pentru x = xn+1
, pentru n = 0, 1, 2, .
Teorema 1 Fie f : [a, b] → R , iar o radacina a ecuatiei f (x) = 0 (adica f () = 0). Daca este o valoare aproximativa a lui, , iar
atunci avem
Demonstratie. Din teorema lui Lagrange avem:
deci
Teorema 2 Daca f satisface conditiile Teoremei 1, atunci eroarea celei de a n-a aproximatii va fi
Demonstratie. Folosind formula lui Taylor cu trei termeni avem
unde .
Deoarece din formula lui Newton, avem
Corolar 1 Din Teoremele 1 si 2 urmeaza
Teorema 3 Fie f : [a, b] → R , iar o radacina a ecuatiei f (x) = 0. Fie xn si xn+1 doua aproximatii ale lui obtinute prin procedeul Newton. In aceste conditii avem
unde m1, M2 au semnificatiile din Teoremele (1) si (2).
Demonstratie. Aplicam formula lui Taylor cu trei termeni si avem
unde
Deci
Observatie 1 Formula lui Newton asigura o convergenta rapida daca aproximatia initiala este aleasa astfel incat sa avem
Observatie 2 Daca in plus avem
atunci
Exemplu 1 Calculati radacina ecuatiei
x - 2x2 + 3x - 1 = 0
situata in intervalul (0, (0,5)) cu ajutorul metodei lui Newton, folosind trei iteratii. Evaluati eroarea produsa.
Solutie.
Avem f (0) = -1, f (0,5) = 0,125, f ' (x) = 3x2 - 4x + 3, f" (x) = 6x - 4.
Deci f ' (x) > 0 si f" (x) < 0, , prin urmare x0 = 0.
Calculam
Eroarea o vom calcula astfel
Deci, pentru eroarea produsa, , avem
Programul pentru metoda tangentei
Programul determina solutia unei ecuatii de forma (4.1) in urmatoarele ipoteze:
solutia este separata intr-un interval [a, b];
functia este continua pe intervalul [a, b].
Datele de intrare sunt: capetele intervalului in care se cauta solutia (a, b) si precizia dorita (epsilon). Functia si derivata ei sunt definite prin proceduri de tip functie.
In cadrul programului nu se verifica semnul derivatelor. Pentru determinarea iteratiei urmatoare se parcurg urmatoarele etape:
se verifica valoarea derivatei functiei in punctul a; daca aceasta valoare este nenula se determina punctul de intersectie dintre tangenta la graficul functiei in punctul de coordonate (a, f (a)) si axa Ox;
daca punctul determinat se afla in interiorul intervalului (a, b), atunci acest punct reprezinta iteratia urmatoare;
daca valoarea derivatei functiei in punctul a este zero, se incearca determinarea iteratiei urmatoare pornind din punctul b;
daca nu se poate construi iteratia urmatoare (valorile derivatei functiei in capetele a si b sunt nule sau punctele de intersectie nu sunt in interiorul intervalului (a, b)) algoritmul se opreste: nu se poate aplica metoda tangentei pe intervalul [a, b];
daca s-a determinat iteratia urmatoare se pastreaza intervalul care contine solutia si se repeta procedeul.
Determinarea iteratiilor se opreste atunci cand modulul diferentei a doua iteratii consecutive este mai mic decat eroarea admisa epsilon. De asemenea, programul se opreste cand se determina o iteratie care este chiar solutia ecuatiei.
# include <iostream .h>
# include <math .h>
# include <conio .h>
double f (double x)
double df (double x)
void main (void)
else
}
}
if ( t = = 1)
if (df (b) = = 0)
t = 2;
else
else
}}}}
while ( ( t = = 0)&& (pas > eps) );
if ( t = = 3)
cout <<"Solutia este x ="<< c << endl;
if ( t = = 0)
cout <<"Solutia aproximativa este x ="<< c << endl;
if ( t = = 2)
cout <<"Nu se poate aplica metoda tangentei!"<<endl;}
getch ( );}
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 2215
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved