Metoda aproximatiilor succesive

Metoda aproximatiilor succesive

Consideram ecuatia

f (x) = 0    (4.4)

unde f : I → R, iar I este un interval al axei reale.

Sa inlocuim ecuatia (4.4) printr-o ecuatie echivalenta de forma

(4.5)

Definitie 4.5.1 Radacinile ecuatiei (4.5) se numesc puncte fixe ale lui φ.

Construim sirul de iteratii

, pentru n = 0, 1, 2, .,    (4.6)

unde x₀ este o valoare aproximativa initiala a radacinii care se cauta.

Teorema 4.5.1 Daca φ : [a, b] → R (a, b R, a < b) si indeplineste urmatoarele conditii:

( α ) oricare ar fi rezulta

( β ) exista q [0, 1) astfel incat oricare ar fi u₁, u₂ [a, b] este indeplinita inegalitatea

atunci avem:

a)      daca sirul generat de relatia (4.6) este convergent;

b)      este unica radacina a ecuatiei (4.4) pe [a, b].

Demonstratie.

a) Pentru doua iteratii consecutive si , tinand cont de relatiile ( α ) si ( β ) avem:

(4.7)

Inegalitatea (4.7) are loc pentru n = 1, 2, . si aplicand-o succesiv pentru aceste valori avem:

, ( n = 1, 2, .). (4.8)

Seria

este absolut convergenta deoarece seria valorilor absolute ale termenilor sai este majorata de o serie geometrica de ratie q < 1, asa cum rezulta din relatia (4.8).

Fie S_n+1 suma partiala de ordin n+1 a seriei de mai sus. Rezulta ca

S_n+1 = x_n

Deoarece seria este convergenta, rezulta ca si sirul sumelor partiale este convergent, adica

Din conditia ( β ) rezulta continuitatea functiei φ pe [a, b]. Deci sunt justificate urmatoarele egalitati:

adica verifica (4.5) si implicit pe (4.4).

Deoarece este un interval inchis, pentru n = 0, 1, 2, ., rezulta ca .

b) Aratam, prin reducere la absurd, ca ecuatia (4.5) are solutie unica.

Fie x₁, x₂ doua solutii distincte ale ecuatiei (4.5). Din relatia ( β ) avem:

Ultima inegalitate este imposibila deoarece iar 1 - q > 0 ( din ( β)).

Observatie 4.5.1 Putem inlocui conditia (β), pentru functia φ derivabila, prin inegalitatea

(acest fapt rezulta din teorema de medie a lui Lagrange).

Observatie 4.5.2 Teorema 4.5.1 este adevarata si pentru .

Observatie 4.5.3 Teorema 4.5.1 ne arata ca sirul dat de egalitatea (4.6) converge oricum am alege pe , adica aceasta metoda este autocorectoare.

Teorema 4.5.2 Fie R avand semnificatia data de relatia (4.5). Daca φ satisface conditiile:

(γ) φ este derivabila in fiecare punct

(δ) ecuatia x = φ (x) are o radacina unde iar

(η) pentru orice

(σ)

atunci avem:

a)      toate elementele sirului apartin intervalului (a, b);

b)      sirul este convergent si ;

c)      este unica solutie a ecuatiei (4.5) pe (a, b).

Demonstratie.

a)      Vom demonstra, prin inductie, ca elementele sirului apartin intervalului (a, b). Deoarece , putem calcula si avem, utilizand Teorema lui Lagrange:

adica .

Presupunem ca si ca . Rezulta:

adica pentru n = 1, 2, . .

Observatie 4.5.4 Daca , sirul aproximatiilor succesive este monoton crescator sau descrescator dupa cum .

Daca , atunci sirul este oscilant in jurul radacinii .

Teorema 4.5.3 Evaluarea erorii sirului aproximatiilor succesive.

Daca ne situam in ipotezele Teoremei 4.5.1, atunci avem

Demonstratie. Fie p Є N si avem

Trecand la limita pentru p → ∞, avem:

Teorema 4.5.4 Fie δ Є R, δ > 0 si f : [x₀ -δ, x₀ + δ] → R o functie derivabila pe acest interval. Daca f satisface conditia ca unde

atunci ecuatia f (x) = 0 are o singura radacina in intervalul [x₀ -δ, x₀ + δ].

Demonstratie. Este suficient sa demonstram acest fapt pentru f (x₀) > 0, demonstratia pentru f (x₀) < 0 fiind similara.

Deoarece m ≠ 0 rezulta ca f are acelasi semn pe [x₀ -δ, x₀ + δ], deci f este monotona pe acest interval.

Prin urmare f isi atinge marginea inferioara exacta intr-un punct care este unul din capetele intervalului.

Din teorema lui Lagrange avem:

, unde Є ( x₀ -δ, x₀ + δ ).

Tinand cont de faptul ca

rezulta ca

Deoarece

si

avem

sau .

Distingem doua cazuri: 1) daca , atunci ; 2) daca si din faptul ca rezulta ca exista astfel ca . (Teorema lui Cauchy).

In incheiere dam un procedeu de trecere de la ecuatia 4.4 la ecuatia 4.5 cu respectarea conditiei .

Sa presupunem ca f este strict crescatoare pe (α , β) adica pentru Daca f este strict descrescator, aplicam acelasi procedeu pentru functia - f.

Consideram functia

unde λ Є R este un parametru real ce urmeaza a fi determinat astfel ca .

Fie m₁ si M₁ doua constante astfel incat

Avem

sau tinand cont de relatia de mai sus rezulta

Deci putem alege

si

Exemplu 4.5.1 Sa se determine radacina pozitiva a ecuatiei

cu precizia .

Solutie.

Coeficientii ecuatiei, avand o singura variatiune de semn, rezulta ca ecuatia admite o singura radacina pozitiva si este singura reala, celelalte doua fiind complexe (deoarece f(-x) = 0 are numai permanente).

Scriem ecuatia sub forma

Deci

Consideram drept valoare aproximativa pe x₀ = 10. Deoarece f (10) = 10 > 0 si f (9) < 0 urmeaza:

Formam sirul aproximatiilor succesive:

Deci

Programul pentru metoda aproximatiilor succesive

Programul determina solutia unei ecuatii de forma (4.4) in urmatoarele ipoteze:

- solutia este separata intr-un interval [a, b];

- functia este continua si derivabila pe intervalul [a, b].

Datele de intrare sunt: capetele intervalului in care se cauta solutia (a, b) si precizia dorita (epsilon). Functia si derivata ei sunt definite prin proceduri de tip functie.

In cadrul programului se determina functia φ astfel incat . In acest scop se calculeaza maximul valorii absolute a derivatei functiei f pe intervalul [a, b].

Algoritmul care sta la baza programului urmareste determinarea iteratiei urmatoare atata timp cat diferenta intre doua iteratii succesive este mai mare decat precizia impusa.

# include <iostream .h>

# include <math .h>

# include <conio .h>

double f (double x)

double df (double x)

void main (void)

while (x <= b);

if (m1 = = 0)

t = 2;

else

}

while((t = =0)&& (pas>eps));}

if ( t = = 3)

cout<<"Solutia este x ="<<xc<<endl;

if ( t = = 0)

cout<<"Solutia aproximativa este x ="<<xc<<endl;

if ( t = = 2)

cout<<"Nu se poate aplica metoda aproximatiilor succesive!"<<endl;

}

getch ( );

}