CONCURSUL INTERJUDETEAN

TREPTE IN MATEMATICA - editia a V -a

CALIMANESTI , 16.02.2008

CLASA a IV-a

SUBIECTE

Puneti semnele +, - si paranteze (daca esre necesar), fara a aschimba ordinea termenilor, pentru ca relatia urmatoare sa fie adevarata:

3 4 5 6 7 8 9 = 1

Fie un numar natural. Dublam numarul si poi scadem 24 din rezultat. Procedam astefl de trei ori si obtinem 0. Aflati numarul.

Aratati ca numarul are cel putin o cifra para.

Fiind intrebat cati elevi are, Pitagora a raspuns: "Jumatate din ei studiaza matematica, o patrime studiaza natura, o septime mediteaza in tacere, iar restul sunt trei fecioare". Cati elevi avea Pitagora?

Subiecte propuse de Aurica Alaman si Emil Popa, invatatori, Calimanesti

CLASA a V-a

SUBIECTE:

4 lalele si 6 narcise costa 24 lei, iar 5 narcise si 9 lalele costa 37 lei. Cat costa 4 narcise si 3 lalele?

Cristina si Valentin Smarandache

a) Determinati numerele naturale nenule care impartite la 3 dau catul x si restul y, iar impartite la 8 dau catul y si restul x.

b) Aflati restul impartirii numarului A la 140 stiind ca

Gh. Motoc - Calimanesti

a) Aratati ca intre numerele 10.000 si 10.404 exista un numar natural patrat perfect.

b) Aflati patratele perfecte de forma stiind ca sunt cifre in baza 10 si

Gh. Radu - C.N.I. ,,Matei Basarab'' , Rm. Valcea

Dintr-o panglica avand lungimea de 37 cm s-au taiat doua bucati cu lungimile de 4 cm si respectiv 9 cm. Stiind ca ea se taie in cel mult cinci bucati , ale caror lungimi sunt numere naturale distincte, aflati cate posibilitati avem.

Gh. Motoc - Calimanesti

NOTA:

Toate subiectele sunt obligatorii

Fiecare subiect primeste 7 puncte

Timp de lucru 2 ore

CONCURSUL INTERJUDETEAN

TREPTE IN MATEMATICA - editia a V -a

CALIMANESTI , 16.02.2008

CLASA a VI-a

SUBIECTE:

Fie     si

a) Comparati numerele m si n

b) Stabiliti (cu justificare ) valoarea de adevar a propozitiei ,, este patrat perfect''

Gh. Motoc - Calimanesti

a) Aflati numerele naturale a si b stiind ca diferenta dintre ele este 37 si ca impartind numarul mai mare la numarul mai mic se obtine restul egal cu o treime din cat.

b) Gasiti numerele de doua cifre prin care se poate simplifica fractia , unde , .

Gh. Motoc - Calimanesti

a) Demonstrati ca numerele si dau acelasi rest la impartirea cu 5

b) Aratati ca fractia este ireductibila oricare ar fi

Cristina si Valentin Smarandache

Se construiesc unghiurile ,, . , , , astfel incat oricare doua nu au puncte interioare comune. Stiind ca , , , , ,. gasiti:

a) masura celui de-al 34-lea unghi din sir

b) suma masurilor primelor 25 de unghiuri

c) cel mai mic n stiind ca si coincid.

Leon Genoiu -Rm Valcea

NOTA:

Toate subiectele sunt obligatorii

Fiecare subiect primeste 7 puncte

Timp de lucru 2 ore

CONCURSUL INTERJUDETEAN

TREPTE IN MATEMATICA - editia a V -a

CALIMANESTI , 16.02.2008

CLASA a VII-a

SUBIECTE:

a) Calculati

unde prin s-a notat partea intreaga a numarului a

b) Daca aratati ca

Gh. Motoc - Calimanesti

a) Aratati ca daca si atunci

b) Demonstrati ca

Cristina si Valentin Smarandache

a) Care dintre numerele reale de forma , unde a, b, c sunt cifre in baza 10

Gh. Radu - C.N.I. ,,Matei Basarab'' , Rm. Valcea

b) Rezolvati in ecuatia

c) Daca sunt mediile aritmetica, geometrica, respectiv armonica a doua numere rationale pozitive, iar , unde p este un numar prim, aratati ca .

Gh. Motoc - Calimanesti

Se considera romburile ABCD si DEFG avand interioarele multimi disjuncte astfel incat si . Demonstrati ca:

a)

b) Punctele A, D, F respectiv B,D,E sunt coliniare

c) Dreptele AD, BH, si EG sunt concurente , punctul H fiind piciorul perpendicularei din B pe EF.

Gh. Radu - C.N.I. ,,Matei Basarab'' , Rm. Valcea

NOTA:

Toate subiectele sunt obligatorii

Fiecare subiect primeste 7 puncte

Timp de lucru 2 ore

CONCURSUL INTERJUDETEAN

TREPTE IN MATEMATICA - editia a V -a

CALIMANESTI , 16.02.2008

CLASA a VIII-a

SUBIECTE:

a) Determinati astfel incat

Prof. Florian Pana - Calimanesti

b) Daca , atunci

Prof. Marin Liana - Calimanesti

a) Sa se afle numerele reale x si y daca

b) Pentru valorile lui x si y determinate la punctul anterior aflati multimea

c) Determinati un element al multimii

Prof. Florian Pana - Calimanesti

a) Calculati minimul expresiei , unde

b) Daca , aratati ca diferenta dintre cubul sumei numerelor si suma cuburilor lor are ca valoare minima de 24 ori produsul numerelor

Prof. Cristina si Valentin Smarandache.

Triunghiul ABC cu si paralelogramul BCDE se afla in plane diferite. Fie si astfel incat , M mijlocul segmentului si . Demonstrati ca .

Prof. Costel Popescu , sc. Take Ionescu - Rm.Valcea

NOTA:

Toate subiectele sunt obligatorii

Fiecare subiect primeste 7 puncte

Timp de lucru 2 ore

CONCURSUL INTERJUDETEAN

TREPTE IN MATEMATICA - editia a V -a

CALIMANESTI , 16.02.2008

CLASA a IX-a M.1 (4 ore)

a) Sa se arate ca .

Sa se determine multimea valorilor lui x pentru care se obtine egalitatea

b) Determinati astfel incat

,

Stabiliti multimea valorilor lui x pentru care se obtine egalitatea.

Prof. Pana Florian - Calimanesti

Sa se rezolve ecuatiile

a) in Z

b) in R , unde reprezinta partea intreaga a numarului a

Prof. Pana Florian - Calimanesti

Se considera multimea

a)     Aratati ca multimea A este nevida.

b)    Indicati 2008 elemente ale multimii A

Prof. Busaga Vasile - Calimanesti

Fie si bisectoare in triunghiul ABC, , .

a)     Aratati ca vectorii si sunt coliniari daca si numai daca

b)    In conditiile de la punctul a) determinati in functie de , pentru cazurile i)

ii)

Prof. Pana Florian - Calimanesti

NOTA:

Toate subiectele sunt obligatorii

Fiecare subiect primeste 7 puncte

Timp de lucru 3 ore

Concursul "Trepte in matematica"

Editia a V-a, 16 februarie 2008

Clasa a X-a (M₁)

NOTA:

1. Toate subiectele sunt obligatorii.

2. Timp efectiv de lucru: 3h.

I.           Se considera functiile f, g: R, f(x)= si g(x)= .

a)     Aratati ca functia f este strict descrescatoare si g este strict crescatoare.

b)    Determinati f( ) si g(

c)     Rezolvati ecuatiile pe domeniul maxim:

1.f(x)=g(x); 2. f(x)=f(-x); 3. f(x) g(x) , unde a reprezinta partea intreaga a numarului real a.

Prof. Pana Florian, Calimanesti

II. Fie log_pa=2 si log_qa²=6, a>1. Sa se determine perechile (n,m)INxN, astfel incat N.

Prof. Pana Florian, Calimanesti

III. Fie p,qIN^*, p>q si functia f:R R, f(x)=

a) Aratati ca f nu este monotona;

b) Demonstrati ca f este bijectiva;

c) Rezolvati in multimea M=(-¥, p] ecuatiile: 1) f(x)=f(-x); 2) f(x)=f ^-1(x).

Prof. Pana Florian, Calimanesti

IV. Se considera triunghiul ABC, dreptunghic in A si AH inaltimea din A. a)Determinati valorile lui ²m² astfel incat sa existe relatia: . b)Determinati masurile unghiurilor B si C in cazul valorii maxime a lui ²m². c)Calculati ²m², daca

Prof. Pana Florian, Calimanesti

Concursul "Trepte in matematica"

Editia a V-a, 16 februarie 2008

Clasa a XI-a (M₁)

NOTA:

1. Toate subiectele sunt obligatorii.

2. Timp efectiv de lucru: 3h.

I. Se considera matricele A, BIM₂(R), A, BÏ astfel incat A B=B A.

a) Sa se arate ca daca detA¹detB, atunci matricea A²+B² este inversabila.

b) Sa se stabileasca o conditie suficienta pentru ca A^4k+B^4k sa fie inversabila, ( )kIN^*.

Prof. Pana Florian, Calimanesti

II. Fie sirul (a_n)_n³ definit prin relatia de recurenta a_n+1=, ( )nIN, kI 2, 4) si a₀>2k. a) Sa se determine k astfel incat a_n+4=a_n, ( )nIN

b) Calculati suma S=a₁+a₂+a₃+.+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈, pentru k gasit mai sus.

Prof. Pana Florian, Calimanesti

III. Fie a, b, c in progresie aritmetica (r > Ì si determinantul .

a)Aratati ca D<0 pentru orice alegere a numerelor a, b, c.

b)Determinati valorile lui a, b si c astfel incat sa fie maxim.

c)Sa se arate ca exista numai trei triplete (a_i, b_i, c_i) pentru care este patrat perfect.

d)Aratati ca nu exista progresiile a_1, b₁, c₁ si a₂, b₂, c₂ astfel incat D D si determinati numarul determinantilor ²D² posibili.

Prof. Pana Florian, Calimanesti

IV. Fie (a_n)_n un sir de numere reale definit astfel:

a₁= si a₁a₂a₃.a_n= ) n³ Calculati:

a) L₁=; b) L₂.

Prof. Pana Florian, Calimanesti

CONCURSUL INTERJUDETEAN

TREPTE IN MATEMATICA - editia a V -a

CALIMANESTI , 16.02.2008

CLASA a XII-a M.1 (4 ore)

Fie , si

a) Sa se arate ca daca atunci

b) Sa se arate ca este un grup abelian.

Manual cls. a XII-a, M.si G. Burtea

Fie , ,

a) Aratati ca pentru orice , , functia este inversabila.

b) Calculati , . Caz particular

Prof. Pana Florian - Calimanesti

Sa se calculeze integralele

a) , .

b)

Prof. Pana Florian - Calimanesti

Se considera functia ,

si

a) Aratati ca functia f este inversabila

b) Aratati ca functia f nu admite primitive pe

c) Aratati ca este grup comutativ, unde

Prof. Pana Florian - Calimanesti

NOTA:

Toate subiectele sunt obligatorii

Fiecare subiect primeste 7 puncte

Timp de lucru 3 ore

Concursul "Trepte in matematica"

Editia a V-a, 16 februarie 2008

Clasa a IX-a (M₂)

NOTA:

1. Toate subiectele sunt obligatorii.

2. Timp efectiv de lucru: 3h.

I.Se considera numerele reale a=2- si b=2+.

a)Calculati a b si (a b)ⁿ, nIN

b)Aratati ca .

c)Calculati .

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

II.a)Dati exemple de trei numere a, b, c strict pozitive, subunitare in progresie aritmetica.

b)Daca a, b, c sunt in progresie aritmetica si a+x, b+x, c+x sunt in progresie geometrica, a, b, c, x IR, nenule, demonstrati ca a=b=c.

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

III.Se da predicatul p(x): ² 1-2x £ 3, xIR²

a)Stabiliti valoarea de adevar a propozitiei p(-1).

b)Stabiliti multimea de adevar a predicatului p(x).

c)Daca A este multimea de adevar a predicatului p(x), stabiliti multimea de adevar a propozitiei q: ²card(A Z ² si justificati raspunsul.

Prof. Neacsu Steluta, Calimanesti

Prof. Barbu Daniela, Calimanesti

IV.Se considera trei puncte necoliniare A, B, C si punctele D, E, F alte trei puncte care indeplinesc conditiile:

a)Construiti cele trei puncte si justificati

b)Aratati ca A, C, F sunt coliniare.

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

Concursul "Trepte in matematica"

Editia a V-a, 16 februarie 2008

Clasa a X-a (M₂)

NOTA:

1. Toate subiectele sunt obligatorii.

2. Timp efectiv de lucru: 3h.

I.Se considera zIC, .

a)Calculati z².

b)Determinati cel mai mic numar natural nenul n pentru care zⁿ=1.

c) Calculati i²⁰⁰⁵+i²⁰⁰⁶+i²⁰⁰⁷+i²⁰⁰⁸.

d) Calculati z+z²+z³+.+z²⁰⁰⁸.

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

II. Se considera functia ,

a)Calculati

b)Determinati valoarea lui x pentru care f(x)=-1

c)Calculati f(1)+f(2)+.+f(2008).

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

III. Se dau punctele A(1;5), B(5;1), C(2;y).

Determinati valorile lui y pentru care triunghiul ABC este isoscel. Poate fi triunghiul ABC echilateral

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

IV. Rezolvati in C ecuatiile:

a) x⁴+2,5x²=-1;

b) z²+5=12i.

Smarandache Valentin, Calimanesti

Smarandache Cristina, Rm. Valcea

Concursul "Trepte in matematica"

Editia a V-a, 16 februarie 2008

Clasa a X-a (M₂)

NOTA:

1. Toate subiectele sunt obligatorii.

2. Timp efectiv de lucru: 3h.

I.Se considera zIC, .

a)Calculati z².

b)Determinati cel mai mic numar natural nenul n pentru care zⁿ=1.

c) Calculati i²⁰⁰⁵+i²⁰⁰⁶+i²⁰⁰⁷+i²⁰⁰⁸.

d) Calculati z+z²+z³+.+z²⁰⁰⁸.

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

II. Se considera functia ,

a)Calculati

b)Determinati valoarea lui x pentru care f(x)=-1

c)Calculati f(1)+f(2)+.+f(2008).

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

III. Se dau punctele A(1;5), B(5;1), C(2;y).

Determinati valorile lui y pentru care triunghiul ABC este isoscel. Poate fi triunghiul ABC echilateral

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

IV. Rezolvati in C ecuatiile:

a) x⁴+2,5x²=-1;

b) z²+5=12i.

Smarandache Valentin, Calimanesti

Smarandache Cristina, Rm. Valcea

Concursul "Trepte in matematica"

Editia a V-a, 16 februarie 2008

Clasa a XI-a (M₂)

NOTA:

1. Toate subiectele sunt obligatorii.

2. Timp efectiv de lucru: 3h.

I.Fie si M₃(C).

a)Aratati ca detA=1.

b)Aratati ca A²=a I₃.

c)Determinati cel mai mic numar natural nenul n pentru care Aⁿ=I₃.

d)Determinati matricea B daca B=I₃+A+A²+.+A²⁰⁰⁸.

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

II.Sa se determine asimptotele functiei f:R R, .

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

III.a)Sa se determine aIR pentru care exista unde .

b)Sa se arate ca g:R R, nu are limita in 1.

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

IV.Fie , .

a) Calculati Tr(A²) si det(A²).

b) Calculati B C.

c) Calculati B¹⁰ C si B C¹⁰

d) Demonstrati ca exista x, yIR astfel incat A=xB-yCi.

Smarandache Valentin, Calimanesti

Smarandache Cristina, Rm. Valcea

Concursul "Trepte in matematica"

Editia a V-a, 16 februarie 2008

Clasa a XII-a (M₂)

NOTA:

1. Toate subiectele sunt obligatorii.

2. Timp efectiv de lucru: 3h.

I. Pe R se defineste legea ²² prin xy=2xy+2x+2y+1, ( )x,yIR

a)Aratati ca xy=2(x+1)(y+1)-1.

b) Rezolvati ecuatia: xx=7.

c)Aratati ca x y=-1, ( )x,yIR

d)Calculati

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

II.Se considera functia f:R R,

a)Calculati .

b)Determinati valorile lui a pentru care f e continua in 1.

c)Pentru a=0 determinati primitiva F a functiei f, F:R R care indeplineste conditia F(0)=-1.

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

III. Fie M Pe M se defineste legea " prin

A(x)A(y)=A(x) A(y)+A(x)+A(y).

a) Aratati ca A(x)A(y)IM, )x,yIM.

b) Rezolvati ecuatia A(x)A(x)=A(-1)

c) Determinati aIR pentru care A(x)A(a)=A(a), )xIR

d) Calculati A(-2008) A(-2007) . A(0) A(1) . A(2008).

Prof. Busaga Vasile, Calimanesti

IV.Calculati urmatoarele integrale:

a)

b)

Smarandache Valentin, Calimanesti

Smarandache Cristina, Rm. Valcea