Exemple de functionale G-diferentiabile

Exemple de functionale G-diferentiabile

Exemplul 4

Fie H un spatiu hilbertian real ,AL si fie astfel:

(49)

(50)

Intr-adevar,pentru orice si orice avem :

=

de unde

deci

.

Deoarece,conform teoremei Riesz,pentru fiecare ,aplicatia:

este o functionala liniara si marginita pe H,rezulta ca exista astfel incat

,

f' care satisface aceasta ultima egalitate fiind definit astfel:

.

Daca se identifica H cu H(algebric si topologic),atunci:

.

Daca A este autoadjunct,atunci:

Consemnam    acest ultim rezultat sub urmatoarea forma :daca A este un operator autoadjunct pe spatiul hilbertian real H,atunci exista o functionala pe H(definita de (49)),derivabila dupa Gateaux pe H si astfel incat:

Exemplul 5

Fie o functie de clasa astfel incat urmatoarele conditii sa fie satisfacute: (51)

(52)

Fie o multime deschisa si marginita din si Fie astfel:

(53)

Ne propunem sa studiem diferentiabilitatea in sens Gateaux a functionalei f.

Observam ,mai intai,ca functionala f este bine definita,pentru ca:

,unde s-a tinut seama de (51).Pentru orice si orice ,avem:

(54)

unde s-a aplicat formula lui Lagrange,deci .Pentru avem ,daca t>0 si ,daca t<0,in ambele cazuri avand

cand .Din (54) rezulta:

=    (55)

Egalitatea:

=

are urmatoarea explicatie:

1.Daca atunci definita de :

Intr-adevar,

.

2.

Intr-adevar,avem , daca t>0 si ,daca t<0.

In ambele cazuri avem: ,deci:

3.

4.Din 3 si 1 rezulta ca aplicatia

,

de unde,tinand seama de forma generala a functionalelor liniare si continue pe rezulta ca:

este o functionala liniara si marginita pe Revenind la (55),remarcam urmatoarele:

deoarece pentru aplicatia :

rezulta ca aplicatia:

este o functionala liniara si continua pe ,deci functionala conform cu (53) este derivabila in sens Gateaux pe si :

(56)

unde

dupa cum urmeaza:

,

Semnul din (56) fiind semnul ce pune in dualitate pe cu

Exemplul 6

Fie aderenta in R a unei multimi deschise,marginite de frontiera suficient de regulata.Consideram urmatoarea problema de tip Dirichlet:

Sa se gaseasca care satisface:

in (57)

pe (58)

Consideram multimea functiilor admisibile pentru problema la limita (57),(58) :

(59)

Este evident ca este un subspatiu al lui ,dens in .Vom considera operatorul definit de la in ,

.

Daca problema (57),(58) admite o solutie,aceasta solutie este unica,iar gasirea ei este echivalenta cu aceea a gasirii elementului care realizeaza pe minimul urmatoarei functionale:

(60)

Evident,putem considera ca spatiu vectorial normat cu norma indusa din (mai precis ca un spatiu prehilbertian cu norma generata de produsul scalar indus din ).Vom dovedi ca functionala ca in (60) este derivabila in sens Gateaux pe si :

Pentru a demonstra aceasta ultima afirmatie observam mai intai ca utilizand o formula Green,avem:

=

=

=

(62)

unde am tinut seama ca ,deci ,si am notat:

Fie Avem:

,

de unde :

Pentru a incheia demonstratia,este suficient sa observam ca pentru fiecare u    fixat in ,functionala:

este liniara si marginita pe .

Exemplul 7

Fie H un    spatiu hilbertian real si urmatoarea functionala pe H:

(63)

Aceasta functionala este derivabila in sens Gateaux pe H si:

. (64)

Intr-adevar, si ,avem:

,

de unde:

Deoarece,conform teoremei Riesz,pentru orice x fixat in H,aplicatia este o functionala liniara si marginita pe H,rezulta ca f este derivabila in sens Gateaux pe H si este satisfacuta (64).Exista,deci , astfel incat ,pentru orice ,sa avem:

Evident, este definita astfel:

iar daca se considera gratie teoremei lui Riesz,H identificat cu H,avem:

Exemplul 8

Fie H un spatiu hilbertian real si urmatoarea functionala pe H:

(65)

Aceasta functionala este derivabila in sens Gateaux in orice punct ,si

(66)

In punctul ,functionala definita de (65) nu este G-diferentiabila.Incepem prin a dovedi aceasta ultima afirmatie.Avem:

de unde se vede ca nu exista pentru ca nu exista

Fie Pentru orice si orice ,avem:

,

de unde :

Deoarece pentru orice x fixat in H,,aplicatia

este,conform teoremei Riesz ,o functionala liniara si marginita pe H,rezulta ca functionala este derivabila in sens Gateaux in orice punct si este satisfacuta (66).

Aplicatia este, evident ,urmatoarea:

iar daca se considera H identificat cu H,

Exemplul 9

Diferentiabilitatea normei in

Cu acest exemplu se raspunde unei intrebari care se degaja in mod natural din exemplele 7 si 8.Acolo a fost considerata diferentiabilitatea normei si a patratului normei pe spatii hilbertiene reale.Pentru cazul spatiilor Banach care nu sunt hilbertiene analizam,ca exemplu,cazul spatiilor reale,Deoarece este spatiu hilbertian, ne vor interesa numai cazurile si .

Fie,la inceput, si astfel:

(67)

Este usor de vazut ca,deoarece ,

(68)

Din (68) si din faptul ca in orice punct este finita,rezulta ca este marginita pe ,deci exista astfel incat ,ceea ce ,tinand seama de (67),se mai scrie:

(69)

Fie x si h doua elemente arbitrare din si fie .Scriind (69) pentru

,unde Q este un punct arbitrar    din pentru care ,se obtine:

(70)

de unde,integrand pe ,se obtine:

(71)

care,prin impartire cu da:

Daca in (71) se imparte cu ,se obtine:

(72)

Trecand insa la limita cu in oricare dintre inegalitatile (71),(72),obtinem: (73)

Aceasta ultima egalitate arata ca functionala

(74)

este diferentiabila in sens Gateaux in orice punct si

(75)

Insa

Intr-adevar,

Din faptul ca si tinand seama de forma generala a functionalelor liniare si marginite pe ,rezulta ca aplicatia

este o functionala liniara si marginita pe ceea ce ,comparat cu (75) da:

functionala (74) este derivabila dupa Gateaux in orice punct din , si

(76)

cu notandu-se forma sesquiliniara ce pune in dualitate si

Din (76) rezulta,evident,ca:

,

Cu (76) se raspunde la problema derivabilitatii functionalei in orice punct

Pentru punctul ,avem urmatorul rezultat:functionala este derivabila in si

Intr-adevar,

care arata ca functionala este diferentiabila in punctul si

.

Aceasta ultima egalitate arata ca este functionala nula pe .Dar functionala nula pe orice spatiu normat este liniara si continua ,deci elementul nul al dualului acestui spatiu.Asadar,

Dar fiind un element al dualului lui rezulta ca functionala este derivabila dupa Gateaux in punctul si avem (77).

In concluzie,pentru ,functionala este derivabila dupa Gateaux pe .Pentru punctele ,avem (76); in punctul avem (77).

Fie cazul Consideram functia numerica

Si repetand rationamentele facute in cazul ,se ajunge la aceleasi rezultate ca in cazul .

Cupland rezultatele obtinute pentru cu cele corespunzatoare lui p=2 (obtinute conform cu exemplul 7,formula (64)),avem:

Propozitia 4

Fie spatiul Banach(hilbertian pentru p=2) real .Functionala

este derivabila dupa Gateaux pe ,si avem:

I.Pentru ,

a)    (78)

unde este forma sesquiliniara ce pune in dualitate pe si ;

(79)

b)     (80)

II.Pentru cazul p=2,

(82)

unde    este produsul scalar pe ;

(83)

Rezultatele furnizate de propozitia 4 ne vor permite sa abordam problema diferentiabilitatii normei pe .Dupa cum am vazut la exemplul 8 in punctul norma nu este diferentiabila.Pe de alta parte,cazul p=2 este continut in exemplul 8.

Fie spatiul Banach real cu ,si functionala

(84)

Intereseaza diferentiabilitatea acestei functionale in .Dar pentru orice ,orice si orice ,avem:

de unde

din care tinand seama ca exista (vezi (73) sau (78)),rezulta ca exista si

=    (85)

Din (85) s (73) rezulta

=    (86)

Dupa cum am vazut,

deci si .

Avand in vedere forma generala a functionalelor liniare si continue pe ,acest fapt atrage ca aplicatia

este o functionala liniara si continua pe si,deci,din (86) rezulta ca functionala este derivabila in orice punct ,si

(87)

,unde este forma sesquiliniara ce pune in dualitate pe si ;

,

(88)

Inainte de a trece la problema generala a diferentiabilitatii normei pe spatii Banach reale,facem urmatoarea :

Observatie

Egalitatea (85) se poate scrie sub forma

sau,cum h este arbitrar in ,

(89)

Lema 3

Fie X un spatiu Banach si Presupunem ca:

1. este diferentiabila Gateaux in punctul ;

2.

Atunci si functionala

, (90)

este diferentiabila in punctul si

(91)

Demonstratie

Demonstratia se bazeaza ,in esenta,pe faptul ca functia reala de o variabila este derivabila in orice punct (derivata ei fiind ) precum si pe teorema clasica de derivare a functiilor compuse.

Fie si functia numerica

.

Din faptul ca este diferentiabila dupa Gateaux in ,rezulta ca este derivabila in t=0 si: (92)

Din faptul ca si din cele doua rezultate clasice aminitite la inceputul demonstratiei rezulta ca si aplicatia

este derivabila in t=0 si

(93)

egalitate care,tinand seama de (92),se mai scrie:

(94)

Evident,daca este derivabila in ,atunci este de asemenea derivabila in si (88) se scrie :

sau

Scrisa pentru si orice ,aceasta ultima egalitate devine (89).