Repartitii unidimensionale si multidimensionale (familii de repartitii) fundamentale

Repartitii unidimensionale si multidimensionale (familii de repartitii) fundamentale

Repartitia binomiala

; (nr. de succese), (nr. de experimente), (proportia succeselor), (proportia insucceselor) (v. grafice simetrice pt. )

- probabilitatea a k succese din n experimente soldate prin succes (1) sau esec (0) independente. ,

-aproximare, pt. .

Exemplul 8 Pt. , cu , , ; in Anexa 1, celula E8 - .

Exemplul 9 = =; in Anexa 2 , celula E8 - =.

Repartitia normala (gaussiana) unidimensionala

, ; ,

- functia lui Laplace

Particularizari ale legilor generale:

(Cebasev), (regula celor

Daca X este , atunci abaterea sa, in valoare absoluta, nu depaseste, practic, triplul abaterii standard.

Exemplul 1) Pt. , cu , si (Anexa 4, E28) . 2) Pt. si (An. 4, A32), 0.999, ==0.9990-0.9969 = 0.0021.

Exemplul 1) Pt. (deci , ), si interval unilateral stanga (Anexa 6, G50) . 2) Pt. intervalul central simetric =0.998. Anexa 6, I50

Repartitia t (Student)

- numarul gradelor de libertate), - functia Gama (functia euleriana de speta II)

, ..

In statistica:

Exemplul 12 Pt. , - aproximarea normala 4 cazuri: 1) , pt. complementara intervalului unilateral stang (An. 7, F4, F27) 1.533, =1.282. 2) , pt. complementara intervalului simetric central () =2.132, =1.645 (in An. 7, G4, G27).

3) , pt. intervalul unilateral stang () =-1.533 in E4 si =-1.282 (Anexa 7, E4, E27), egale in valoare absoluta si de semn contrar fata de cele din cazul 1.

4) , pt. intervalul simetric central () =2.132 si =1.645 (Anexa 7, G4, G27), egale cu cele din cazul 2.

Repartitia (hi-patrat)

- numarul gradelor de libertate, In statistica:

, ,

Exemplul 13 , , () , (Anexa 8, E4, F4).

Repartitia F (Snedcor)

- numerele gradelor de libertate (de la numarator, respectiv de la numitor)

Observatia Pt. si , nu este definit in , dar .

.

,,,

calculul exact al lui , cu ajutorul lui ( aproximarea normala a lui )

- in statistica.

Exemplul 14 , , ), si (Anexa 9, D19, D12).

Observatia 2 Repartitiile Student, Hi-patrat, si Snedcor sunt absolut continue in x, dar depind de parametrii discreti si, de aceea, se folosesc la calcularea repartitiilor discrete si in statistica matematica.

Vectori aleatori (variabile aleatoare multidimensionale)

Repartitii si valori tipice comune

- vector aleator (sau v.a. multidimensionala) pe : , , ,

-multimea vectorilor aleatori de dimensiune n pe . .

- repartitia lui X (repartitia comuna pt. ); vectorul mediilor.

; ;

- densitatea de probabilitate a vectorului aleator

(densitatea comuna de probabilitate pt. ).

- functia de repartitie a lui

(functia comuna de repartitie pentru )

- corelatia (covariance) lui si

- coeficientul de corelatie al lui si

- matricea de corelatie (covarianta) a lui

- matricea coeficientilor de corelatie a lui

Caz particular: , ,

- matrice dublu stohastica,

Teorema 1 Fie . Daca sau X,Y - liniar dependente, adica , cu , respectiv , astfel incat

Demonstratie - abaterile lui X si Y . Daca

. Asemanator, pt.

- corelate: , total corelate: , necorelate:

- indicatori ai (in)dependentei deterministe / stohastice.

- liniar dependente . - numarul de v.a. liniar independente.

, () , .

Repartitia normala (gaussiana) multidimensionala

- repartitia normala (gaussiana) n-dimensionala: , (); , - vectori coloana; - matricea de corelatie, cu (nr. de linii liniar independente).

, -transformare liniara nedegenerata () .

Caz particular: , , , ,

- dens. repart. normale bidim.

Alte repartitii fundamentale multidimensionale: multinomiala (generalizare pt. B(n,p)), uniforma multidimensionala , Wishart (generalizare pt. ).