Relatii binare - Legi de compozitie - Proprietati ale legilor de compozitie

Relatii binare

Definitie. Fie si doua multimi. O submultime se numeste relatie (uneori relatie binara) intre elementele lui si elementele lui . In cazul particular cand , o relatie se numeste relatie pe .

Sa consideram o relatie . Pentru o pereche ordonata , putem avea sau . In primul caz scriem si citim " este in relatia cu " iar in al doilea caz scriem ( nu este in relatia cu ) .

Definitie. O relatie pe multimea se numeste reflexiva daca

,

simetrica daca

si tranzitiva daca

si .

Definitie. Relatia se numeste relatie de echivalenta daca este simetrica, reflexiva si tranzitiva.

Exemplu

Relatia de egalitate. Relatia de egalitate este evident o relatie de echivalenta pe multimea .

Legi de compozitie

Definitie. Fie o multime nevida. O aplicatie definita pe produsul cartezian cu valori in , , se numeste lege de compozitie.

Observatie. Elementul unic determinat care corespunde perechii ordonate prin aplicatia se numeste compusul lui cu prin legea de compozitie .

Observatie. Legile de compozitie sunt date prin diverse notatii, de exemplu :

, etc.

Exemple

1. Adunarea si inmutirea matricilor. Fie multimea tuturor matricilor patratice de ordin 2 cu coeficienti din .

Asociind fiecarei perechi ordonate de matrice din matricea se obtine o lege de compozitie pe ,

,

numita operatia de adunare a matricelor.

Asociind fiecarei perechi ordonate de matrice din matricea

se obtine o lege de compozitie pe ,

,

numita operatia de inmultire a matricelor.

2. Compunerea functiilor. Fie o multime si multimea tuturor functiilor . Asociind fiecarei perechi ordonate de functii din functia se obtine o lege de compozitie pe ,

,

numita operatia de compunere a functiilor.

Tabla unei legi de compozitie

Fie o multime finita, . In acest caz o lege de compozitie pe , , poate fi data prin ceea ce este cunoscut sub numele de tabla operatiei , care consta dintr-un tabel cu linii si coloane afectate celor elemente ale lui . Tabla legii de compozitie contine la intersectia liniei lui cu coloana lui , elementul .

Exemplu

Se considera multimea si legea de compozitie , . Sa se alcatuiasca tabla legii .

Definitie. Fie M o multime pe care este data o lege de compozitie . O submultime a lui cu proprietatea :

se numeste parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie .

Observatie. Daca este parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie , atunci pe putem defini legea de compozitie , punand

Vom spune ca este legea de compozitie indusa pe de catre .

Exemplu

Pentru ce valori ale parametrului real , intervalul este o parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie :

.

este o parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie , daca :

.

Cum .

Proprietati ale legilor de compozitie

Definitie. O lege de compozitie , , se numeste asociativa, daca :

.

Definitie. O lege de compozitie , , se numeste comutativa, daca :

.

Definitie. Un element se numeste element neutru pentru o lege de compozitie , , daca :

.

Teorema. Daca o lege de compozitie are element neutru, atunci acesta este unic.

Demonstratie. Fie si doua elemente neutre pentru o lege de compozitie , . Avem deoarece este element neutru. De asemenea, caci si este element neutru, de unde .

Definitie. Un element se numeste simetrizabil in raport cu legea de compozitie (asociativa si cu element neutru, fie acesta ) , , daca exista astfel incat :

.

Observatie. Daca satisface ca si conditiile , atunci . Intr-adevar, . Daca este simetrizabil, atunci unicul element cu proporietatea se numeste simetricul lui (in raport cu operatia ).

Teorema. Daca sunt elemente simetrizabile in raport cu o lege de compozitie , (asociativa si cu element neutru) atunci si sunt simetrizabile. Mai mult :

1. ,
2. .

Demonstratie. 1. Avem

.

Analog, .

2. Rezulta imediat din relatia .

Exemple

1. Pe definim legea de compozitie , . Aratati ca aceasta lege de compozitie este asociativa, comutativa si cu element neutru. Intervalul este o parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie .

Studiem asociativitatea :

Scriem separat fiecare membru si il dezvoltam :

Din si rezulta ca si deci legea este asociativa.

Studiem comutativitatea :

, deci legea este comutativa.

Studiem existenta elementului neutru :

astfel incat

Intrucat legea de compozitie este comutativa, este suficient sa pornim cu una din egalitatile : sau , deoarece . Sa pornim spre exemplu cu prima egalitate :

si cum egalitatea este verificata pentru orice , rezulta ca , deci elementul neutru al legii este .

Aratam ca este o parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie :

.

Deci este o parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie .

2. In multimea se defineste legea de compozitie, notata prin , . Sa se arate ca aceasta lege este comutativa, asociativa, admite un element neutru si orice element admite un simetric, .

Studiem asociativitatea :

Din si rezulta ca si deci legea este asociativa.

Studiem comutativitatea :

si deci legea este comutativa .

Studiem existenta elementului neutru :

astfel incat

Deoarece legea este comutativa, este suficient sa pornim cu una din egalitati. Pornim cu cea de a doua : .

Deci elementul neutru este .

Studiem existenta elementelor inversabile :

astfel incat .

Pornim de la , deci inversul (simetricul) unui element este

.

Structuri algebrice

Definitie. O multime nevida se numeste monoid in raport cu o lege de compozitie definita pe , , , daca sunt satisfacute urmatoarele axiome :

;

astfel incat , .

Observatie. Cu alte cuvinte, pentru a arata ca o multime este monoid in raport cu o lege de compozitie, trebuie sa aratam partea stbila, asociativitatea si existenta elementului neutru.

Definitie. Spunem ca monoidul este comutativ (sau abelian) daca operatia acestuia satisface si axioma :

.

Exemplu

Fie .

1. Aratati ca este o parte stabila a lui in raport cu inmultirea si ca formeza monoid comutativ in raport cu operatia indusa.

2. Determinati elementele simetrizabile ale monoidului .

1. Aratam ca este o parte stabila a lui in raport cu inmultirea :

Fie , deci , unde si , unde . Trebuie sa aratam ca . , deci este de forma , unde si deci , adica este o parte stabila a lui in raport cu inmultirea .

Trebuie sa aratam ca formeza monoid comutativ in raport cu inmultirea, adica inmultirea pe este asociativa, comutativa si admite element neutru .

Inmultirea pe este evident asociativa si comutativa, deoarece pe multimea a numerelor complexe, inmultirea este asociativa si comutativa, iar este submultime a lui . De asemenea, elementul neutru este elementul neutru de la inmultirea numerelor complexe, adica .

2. Determinam elementele simetrizabile :

este simetrizabil daca astfel incat .

Fie si astfel incat

(deoarece avem egalitate de numere complexe, adica partea reala egala cu partea reala si partea imaginara egala cu partea imaginara).

Consideram ultimul sistem ca un sistem cu necunoscutele , si cu parametrii .

Determinantul sistemului este .

, , dar sunt numere intregi, deci sau sau sau

. Deci singurele elemente simetrizabile ale lui in raport cu inmultirea sunt : si .

Observatie. Dupa cum am vazut mai sus, asociativitatea, comutativitatea si existenta elementului neutru nu au mai trebuit demonstrate, deoarece este submultime a lui , la fel se intampla si in cazul matricilor, inmultirea este asociativa si admite ca element neutru pe .

Definitie. Un cuplu format cu o multime nevida si cu o lege de compzitie pe , se numeste grup daca sunt satisfacute urmatoarele axiome :

Observatie. Un monoid cu proprietatea ca orice element este simetrizabil (in raport cu operatia acestuia) se numeste grup.

Definitie. Spunem ca cuplul este grup abelian sau grup comutativ, daca satisface si axioma :

.

Exemplu

Fie . Aratati ca corespondenta este o lege de compozitie pe si ca este grup comutativ.

Aratam ca este lege interna pe . Cu alte cuvinte, trebuie sa aratam ca este parte stabila a lui in raport cu .

Fie , deoarece un numar pozitiv la orice putere ne da un numar pozitiv. Presupunem ca

sau si cum

este parte stabila a lui in raport cu .

Studiem asociativitatea :

. Daca logaritmam ultima relatie, obtinem : afirmatie adevarata , deci legea este asociativa.

Studiem comutativitatea :

(prin logaritmare), afirmatie adevarata , deci legea de compozitie este comutativa.

Studiem existenta elementului neutru :

astfel incat sau pentru a nu se produce confuzie cu baza logaritmului natural, daca notam elementul neutru cu , avem :

astfel incat .

Pornim de la , deci elementul neutru este chiar baza logaritmilor naturali.

Aratam ca toate elementele sun simetrizabile :

Pornim de la , deci orice element este simetrizabil si simetricul sau este .

Din , , si rezulta ca este grup comutativ.

Observatie. In orice linie (coloana) a tablei operatiei unui grup , cu un numar finit de elemente, fiecare element al lui apare o data si numai o data.

Teorema. Intr-un grup sunt adevarate regulile de simplificare la stanga si la dreapta :

si respectiv

.

Demonstratie. Presupunem ca pentru avem si fie simetricul lui . Avem : , deci , de unde rezulta ca este adevarata regula de simplificare la stanga. Analog se demonstreaza regula de simplificare la dreapta.

Teorema. Fie un grup. Oricare ar fi , ecuatiile :

si

au solutii unice in , anume , respectiv , unde este simetricul lui .

Demonstratie. Daca si sunt solutii din ale ecuatiei , atunci , deci si folosind regula de simplificare la stanga obtinem . Asadar, ecuatia are cel mult o solutie in .

Fie , unde este simetricul lui . Avem : , de unde rezulta ca este solutie (din ) a ecuatiei , unica conform primei parti a demonstratiei. Analog se arata ca admite solutia unica, .

Exemplu

Fie un grup cu elemente si elementul neutru al lui . Demonstrati in cazul in care este comutativ ca , .

Fie elementele grupului si fie un element arbitrar din . Conform Observatiei de mai sus, elementele coincid mai putin ordinea cu si cum este comutativ avem :

asadar si prin simplificare la dreapta se obtine .

Definitie. Fie un grup. O submultime nevida a lui se numeste subgrup al lui daca sunt satisfacute urmatoarele conditii :

1. ;
2. ,

unde este simetricul lui (in raport cu operatia lui ).

Teorema. Fie un grup, elementul neutru al lui si un subgrup al lui . Atunci :

,

este grup in raport cu operatia indusa pe de catre operatia grupului .

Demonstratie. 1. Cum putem alege un element . Din 2. rezulta ca si si acum din 1. rezulta ca .

2. Sa notam cu operatia grupului , . Din 1. rezulta ca este o parte stabila a lui in raport cu cu operatia . Fie legea de compozitie indusa pe de ,

.

Evident este asociativa (caci este asociativa) si admite ca element neutru pe . Daca , atunci simetricul sau in raport cu se gaseste in , deci este simetric al lui in raport cu . Rezulta ca este grup.

Exemple

1. Fie un grup, elementul sau neutru si . Atunci este subgrup al lui , numit subgrupul unitate. Intr-adevar, daca , atunci , deci

, .

2. Fie un numar intreg si multimea tuturor multiplilor numarului ,

Atunci este subgrup al grupului . Intr-adevar, daca , exista astfel incat , . Rezulta ca , , deci este subgrup al lui .

Definitie. Fie un grup, si . Spunem ca este element de ordin al grupului daca si , .

Definitie. Fie si doua grupuri. O aplicatie se numeste morfism de grupuri daca :

.

Teorema. Fie si doua grupuri, si elementele neutre ale lui si respectiv. Daca este un morfism de grupuri, atunci :

1. ;
2. ,

unde este simetricul lui , iar este simetricul lui .

Demonstratie. 1. Avem :

si prin simplificare cu se obtine .

2. Pentru orice , avem :

, deci si analog , de unde .

Definitie. Fie si doua grupuri. O aplicatie bijectiva se numeste izomorfism de grupuri daca :

.

Teorema. Fie si doua grupuri. Daca este izomorfism. Atunci si este izomorfism.

Demonstratie.Fie . Cum este aplicatie bijectiva exista unic determinati astfel incat si . Conform definitiei aplicatiei avem si . Dar , de unde si cum este aplicatie bijectiva, rezulta ca este izomorfism.

Definitie. Fie un grup. Un izomorfism (morfism) se numeste automorfism (resp. endomorfism) al grupului .

Exemplu

Pe multimea se defineste legea de compozitie interna .

1. Sa se arate ca este grup abelian .

2. Considerand si grupul sa se arate ca .

Prima parte a fost demonstrata mai sus. Pentru a arata ca cele doua grupuri sun izomorfe, trebuie sa determinam un morfism bijectiv intre cele doua grupuri. Trebuie, deci sa determinam o functie bijectiva, astfel incat sau altfel spus . Cea mai naturala alegere ar fi , functie care verifica morfismul : si este evident inversabila, inversa ei fiind si deci este bijectiva. (O functie este inversabila daca si numai daca este bijectiva).

Definitie. O multime nevida , luata impreuna cu doua legi de compozitie

si

se numeste inel daca :

este grup abelian,

este monoid,

Distributivitatea : .

Definitie. Daca a doua operatie a inelului satisface si axioma :

spunem ca A este inel comutativ.

Exemplu

Inelul matricilor patratice. Fie un inel. Inelul poate fi oricare din inelele , etc. Notam cu multimea tuturor matricelor patratice de ordin 2 cu coeficienti din , .

Daca , , definim matricile si prin

si

.

Matricele si ,

se numesc respectiv matricea zero, matricea unitate, opusa matricei .

Reamintim o serie de proprietati ale adunarii si inmultirii matricelor din . Demonstratiile multora dintre ele se fac invocand proprietati ale adunarii si anmultirii numerelor reale, care sunt de asemenea adevarate pentru adunarea si inmultirea oricarui inel . Din acest motiv, asemenea demonstratii pot fi reproduse si pentru matricele din . Pe aceasta cale se pot demonstra :

oricare ar fi .

Rezulta ca adunarea si anmultirea matricelor confera lui o structura de inel. La fel se organizeaza ca inel multimea a matricelor patratice de ordin cu coeficienti din .

Definitie. Fie un inel, elementul neutru in raport cu prima operatie. Spunem ca a este inel fara divizori ai lui zero daca si . Un inel comutativ, cu cel putin doua elemente si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate.

Definitie. Fie si doua inele si . Aplicatia se numeste izomorfism de inele, daca :

i. este functie bijectiva

ii. este morfism de inele, adica :

1.

2. , pentru .

Exemplu :

Aplicatia , este un morfism injectiv de inele. Intr-adevar, pentru orice avem :

.

Injectivitatea lui este evidenta .

Definitie. Un inel se numeste corp daca elementele neutre ale celor doua legi sunt diferite si orice element , diferit de elementul neutru al primei legi este simetrizabil in raport cu cea de a doua lege. Un corp se numeste comutativ daca a doua lege este comutativa.

Exemple

1. Corpurile de numere patratice . Fie un intreg liber de patrate (care nu se divide cu patratul niciunui numar intreg) si

Daca , , , cu , atunci

,

deci este o parte stabila a lui in raport cu adunarea si inmultirea. Observand ca , se deduce usor ca este inel comutativ in raport cu operatiile induse pe de adunarea si inmultirea lui . Pentru a dovedi ca este corp mai ramane sa aratam ca pentru orice , , , exista astfel incat .

Daca , atunci sau . Rezulta ca (daca si deducem si , iar daca si deducem , ambele situatii fiind contradictorii.

Fie si avem : .

Rezulta ca formeaza corp fata de operatiile induse de adunarea si inmultirea din , numit corp de numere patratice. Astfel , , , etc. sunt corpuri de numere patratice.

2. Inelul nu este corp, deoarece , oricare ar fi , deci 2 nu este inversabil in raport cu inmultirea lui .

Observatie. Morfismele si izomorfismele de corpuri se definesc in acelasi mod ca la inele (corpurile sunt prin definitie in particular si inele) si se probeaza la fel ca la inele.

Inelul claselor de resturi modulo n

Fie un numar intreg. Conform teoremei impartirii cu rest, pentru orice exista unic determinati astfel incat :

.

Numarul unic determinat din relatia precedenta, numit restul impartirii lui prin , s-a notat cu si s-a numit restul modulo al lui .

Exemple

• , deoarece
• , deoarece
• , deoarece

Ca rezultat al impartirii numerelor intregi prin sunt posibile resturile :

.

Prin impartirea lui la se obtine restul daca si numai daca este de forma , cu . Multimile de numere :

,

unde

se numesc clase de resturi modulo n.

Asadar, un numar intreg apartine clasei daca si numai daca impartit la da restul ,

.

In particular pentru . Clasa de resturi se noteaza de regula cu . Asadar

.

Sa notam cu multimea claselor de resturi modulo ,

.

Daca , definim suma si produsul prin :

, .

Se definesc astfel pe , doua legi de compozitie :

, si , , numite adunarea, respectiv inmultirea claselor de resturi modulo n.

Exemplu

Pentru avem si tablele adunarii si inmultirii claselor de resturi modulo 6 sunt :

Teorema. Adunare si inmultirea claselor de resturi modulo confera multimii o strutctura de inel comutativ, numit inelul claselor de resturi modulo .

Teorema. In inelul , un element este inversabil daca si numai daca este relativ prim cu (adica cel mai mare divizor comun al numerelor si este 1).

Teorema. Fie un numar prim. Atunci inelul este corp.