Functia de gradul al II-lea

Functia de gradul al II-lea

1. Definitia functiei de gradul II: f : , f(x)=ax²+bx+c, a 0, a,b,cI

2. Reprezentarea grafica a functiei de gradul II. Graficul functiei de gradul II este o parabola, avand varful , unde , care se mai numeste si discriminantul functiei de gradul II, si graficul are ca axa de simetrie dreapta .

3. Minimul si maximul functiei de gradul II. Imaginea functiei de gradul II.

Functia de gradul II admite un minim pentru (este cazul si al exemplului de grafic de mai jos) si valorea de minim este si se obtine pentru .

- Functia de gradul II admite un maxim pentru (este cazul si al exemplului de grafic de mai jos) si valorea de maxim este si se obtine pentru .

In ceea ce priveste imaginea functiei de gradul II (deci multimea valorilor lui y=f(x)=ax²+bx+c) aceasta este:

daca , si respectiv daca .

4. Monotonia functiei de gradul II.

Pentru , functia de gradul II admite un minim si este descrecatoare pentru si crescatoare pentru .

Pentru , functia de gradul II admite un maxim si este crescatoare pentru si descrescatoare pentru .

5. Forma canonica a functiei de gradul II. Pentru functia de gradul II se defineste forma sa canonica ca fiind care ne conduce si la valorile de minim si maxim de mai inainte ca si la obtinerea radacinilor ecuatiei de gradul II, atunci cand , dupa cum vom vedea mai departe.

6. Pozitia parabolei fata de axa Ox. Intersectia graficului cu axele de coordonate. Semnul functiei de gradul II.

- Intersectia cu axa OY este data de punctul de coordonate .

- Intersectia cu axa OX se obtine rezolvand ecuatia f(x) = 0. Daca , atunci ecuatia f(x) = 0 are radacini reale:

,

de unde radacinile ecuatiei de gradul II ax²+bx+c=0, a 0, a,b,cI sunt care sunt si abscisele punctelor de intersectie cu axa OX.

- Daca atunci graficul intersecteaza axa OX in punctele si dupa cum se observa si din desenele care urmeaza.

In ceea ce priveste semnul functiei de gradul II, in acest caz, el este sugerat si de graficele de mai sus si evident el este dat de semnul lui si semnul lui a. Avem deci:

Graficul functiei este situat si deasupra si dedesubtul axei OX.

- Daca graficul intersecteaza axa OX in punctul care este si varful parabolei.

Semnul functiei de gradul II, in acest caz, sugerat si de graficele de mai sus este dat de semnul lui si semnul lui a este:

Graficul functiei este situat doar deasupra sau dedesubtul axei OX avand doar varful parabolei pe axa OX.

- Daca atunci graficul nu intersecteaza axa OX iar varful parabolei se afla deasupra axei OX (cazul ) sau dedesubtul acesteia (cazul ).

Semnul functiei de gradul II, in acest caz, sugerat si de graficele de mai sus este dat de semnul lui si semnul lui a este:

Graficul functiei este situat doar deasupra sau dedesubtul axei OX.   

Observatie: Semnul functiei de gradul II este folosit la rezolvarea inecuatiei de gradul II, la deducerea semnului unui produs sau unei fractii care contin functii de gradul II, etc.

7. Relatiile intre radacini si coeficienti (relatiile lui Vite). Forma lineara a functiei de gradul II.

Tinand seama de forma canonica a functiei de gradul II , deducem forma lineara . Identificand aceasta relatie cu f(x)=ax²+bx+c avem , de unde rezulta relatiile intre radacini si coeficienti (formulele lui Vite):

Observatie.

- Relatiile intre radacini si coeficienti nu rezolva ecuatia de gradul II. Ele servesc la rezolvarea diverselor exercitii in care apar relatii suplimentare legate de radacini. Este de retinut modalitatea in care se exprima diverse expresii care contin radacinile si in functie de aceste realatii. Spre exemplu:

sau

.

- Daca se dau cele doua radacini si sau suma S si produsul P al lor atunci se poate forma ecuatia de gradul II de la care au provenit astfel:

sau .

8. Inecuatii de forma ax²+bx+c < > , studiate pe sau pe intervale de numere reale.

Inecuatia ax²+bx+c < > se rezolva construind tabelul semnului pentru f(x)= ax²+bx+c, de unde se alege intervalul (sau intervalele) care satisface (satisfac) inegalitatea ca fiind solutia inecuatiei. Daca inecuatia se rezolva pe intervale de numere reale atunci solutia obtinuta mai inainte se intersecteaza cu reuniuniea acestor intervale obtinandu-se astfel solutia finala a inecuatiei.

9. Sisteme de inecuatii de gradul II, studiate pe sau pe intervale de numere reale.

Se rezolva fiecare inecuatie in parte obtinandu-se solutiile (pentru prima inecuatie), (pentru a doua inecuatie),, (pentru a n-a inecuatie). De unde se obtine solutia sistemului de inecuatii (daca acesta se rezolva pe ) ca fiind . Daca sistemul se rezolva pe o reuniune de intervale atunci solutia se intersecteaza cu acesta reuniune de intervale.

. Sisteme de ecuatii de gradul II.

a) Sisteme de forma

unde a,b,c,d,m,n,pI

in care o ecuatie este de gradul I si una de gradul II.

Se substituie din ecuatia de gradul I o necunoscuta in functie de cealalta, spre exemplu, si se introduce in ecuatia de gradul II, obtinandu-se:

care rezolvata da doua solutii . Revenind cu aceste valori in relatia de substitutie se obtin perechile de solutii si .

b) Rezolvarea sistemelor de forma

, .

numite si sisteme simetrice.

Tinand seama ca relatiile de mai sus pot fi relatiile intre radacini si coeficienti ale unei ecuatii de gradul II, se construieste atunci ecuatia , care rezolvata da doua solutii si de aici se obtin solutiile sistemului:

si .

Observatie. Tot la sisteme simetrice pot fi aduse sistemele in care notand si este posibil sa construim sisteme in care necunoscutele sunt si si care rezolvate dau solutii de forma . Formam apoi ecuatii de forma , ca mai inainte.

Exemplu. Sa se rezolve in multimea numerelor reale sistemul:

, de unde rezulta ecuatiile:

si . Prima ecuatie are radacinile si iar cea de a doua nu are radacini reale (). De aici solutiile sistemului sunt si .

Sa retinem ca si ca .

c)     Sisteme omogene

, .

Rezolvarea acestor sisteme se face in felul urmator: se inmulteste prima ecuatie cu si a doua ecuatie cu (), deci

Prin adunarea celor doua ecuatii obtinem relatia care prin impartirea cu , ne conduce la ecuatia . Notand ajungem la o ecuatie de gradul II, . Presupunand ca solutiile acestei ecuatii sunt atunci putem forma sistemele:

si

care sunt evident sisteme de tip a).

Exercitii

1) Valoarea parametrului pentru care ecuatia are o solutie distincta in intervalul este:

a) b) c) d) e)

Rezolvare: Pentru ca ecuatia sa aiba o solutie distincta in intervalul trebuie ca sa fie indeplinite simultan conditiile:

deci si de unde . De unde rezulta ca deci raspuns corect d).

Numarul real x este strict mai mare decat patratul sau, daca si numai daca:

a) b) c) d) e)

Rezolvare . Inecuatia are solutia . Raspunsul corect este a).

Fie ecuatia , unde . Daca numarul complex este radacina a ecuatiei atunci:

a) b) c) d) e) .

Rezolvare: Deoarece coeficientii m si n sunt numere reale si ecuatia admite radacina complexa , atunci ecuatia admite ca radacina si conjugata . Din relatiile lui Vite si rezulta si . Raspunsul corect este b).

Pentru familia de functii de gradul al doilea , varfurile parabolelor asociate se afla pe dreapta de ecuatie:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

Rezolvare: Abscisa varfului V al parabolei este iar ordonata este . Rezulta ecuatia dreptei: (care este ecuatia celei de a doua bisectoare a sistemului de axe XOY). Deci c).

Multimea tuturor valorilor parametrului real m pentru care

, este:

a) (mutimea vida) ; b) ; c) d) ; e) .

Rezolvare: Se impun conditiile: si . Rezulta . Deci b).

6) Multimea tuturor valorilor parametrului pentru care radacinile ecuatiei satisfac relatia este:

a) ; b) ; c) (multimea vida) ; d) ; e) .

Rezolvare: . Din conditia data si din

rezulta . Deci c).

7) Fie inecuatia . Dintre intervalele urmatoare multimea tuturor solutiilor acestei inecuatii este:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

Rezolvare: Din conditiile de existenta rezulta ca . Pentru inecuatia este evident satisfacuta. Pentru ridicand la patrat inecuatia data obtinem si deci solutia . Solutia inecuatiei va fi prin urmare .

8) Fie functia , . Valorile parametrului real pentru care sunt:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

Rezolvare: Stim ca daca si numai daca ecuatia are solutie in , adica daca ecuatia are solutii reale in , deci adica pentru . Punand conditia ca si sa fie solutii ale ecuatiei obtinem .

9) Suma solutiilor intregi ale inecuatiei este:

a) b) c) d) e)

Rezolvare: , deci , deci Raspuns corect c).

10) Fie functia Multimea valorilor parametrului , pentru care graficul functiei f intersecteaza axa ox in doua puncte distincte este:

a) b) c)
e)

Rezolvare: Pentru ecuatia data , impunem , de unde rezulta Raspuns corect a).

11) Valorile reale ale parametrului m, pentru care sunt

a) b) c) d) e)

Rezolvare: Deoarece pentru ca fractia sa fie pozitiva trebuie ca , de unde rezulta , ceea ce implica Raspuns corect b).

12) Fie functia Valorile parametrului m pentru care parabola asociata functiei f este tangenta la axa Ox sunt:

a) b) c) d) e)

Rezolvare: Ecuatia trebuie sa aiba o singura solutie, deci pentru , impunem . Rezulta , deci Raspuns corect c).

13) Inecuatia are solutia:

a) b) c) d) e)

Rezolvare: Inecuatia este echivalenta cu .

x 1

+ + + 0 - - - - 0 + + +

- - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - -

Solutia inecuatiei este Raspuns corect e).

14) Imaginea functiei este

a) b) c) d)
e)

Rezolvare: Se verifica imediat ca si cum functia f este continua , deci are proprietatea lui Darboux, rezulta Raspuns corect b).

15) Fie functia Atunci valoarea produsului este:

a) b) c) d) e)

Rezolvare: Ecuatia are radacinile si , deci , ceea ce implica , iar valoarea produsului Raspuns corect d).