VECTORI LIBERI

1.1 Notiunea de vector

Fie E₃ spatiul euclidian real tridimensional, corespunzator geometriei elementare. Elementele acestui spatiu se numesc puncte.

1.1 Definitie O pereche ordonata de puncte se nume=te segment orientat, unde A este originea, iar B se nume=te extremitatea. Acesta va fi notat prin =i reprezentat prin sageata AB (fig. 1). }n cazul in care extremitatea =i originea coincid, se obtine segmentul orientat nul. Dreapta determinata de punctele A =i B se nume=te dreapta suport a segmentului.

1.2 Definitie Doua segmente orientate nenule =i au aceea=i directie, daca dreptele lor suport sunt paralele sau coincid (fig. 2).

1.3 Observatie Un segment orientat nenul determina pe dreapta AB in mod unic, un sens de parcurgere, de la A catre B.

1.4 Definitie Doua segmente orientate nenule au acela=i sens, daca au aceea=i directie =i daca sensurile determinate pe dreapta suport comuna coincid. }n cazul in care nu au acela=i sens pe dreapta suport comuna, acestea se numesc cu sensuri opuse.

1.5 Definitie Se nume=te lungime (modul sau norma) a unui segment orientat , distanta pe dreapta suport de la originea A la extremitatea B. Lungimea unui segment orientat se noteaza in general cu sau . Lungimea unui segment orientat nul este 0.

1.6 Definitie Doua segmente orientate nenule se numesc echipolente, daca au aceea=i directie, respectiv acela=i sens =i aceea=i lungime.

1.7 Definitie Se nume=te vector liber, o clasa de echivalenta formata din multimea tuturor segmentelor orientate echipolente intre ele. Directia, sensul =i lungimea, comune tuturor acestor segmente orientate, definesc directia, lungimea =i sensul vectorului liber (fig. 3). Orice segment orientat dintr-o clasa se nume=te reprezentant al vectorului liber. Vectorii liberi, se noteaza prin , reprezentanti ai acestora prin ., iar relatia dintre ei marcata prin: . Lungimea unui vector liber se noteaza prin .

Un vector liber de lungime 1 se numeste versor. Vectorul care are lungimea 0 se nume=te vectorul nul =i se noteaza .

1.8 Nota Daca este un vector liber care are lungimea , atunci versorul corespunzator acestuia, este dat de .

1.9 Definitie Vectorii liberi care au aceea=i directie, se numesc vectori coliniari. Vectorii liberi care au reprezentanti paraleli cu acela=i plan se numesc vectori coplanari.

1.10 Notatie Cu se noteaza multimea vectorilor liberi din .

1.2 Spatiul vectorilor liberi

Pe multimea se poate defini o structura de grup comutativ, de tip aditiv prin reguli de sumare intre reprezentanti corespunzatori ai vectorilor liberi.

1.11 Definitie Fie , . Se nume=te suma a vectorilor liberi , vectorul , de reprezentant (fig. 4).

1.12 Observatie Regula cuprinsa in aceasta definitie, se nume=te regula triunghiului de adunare a doi vectori. Daca sunt ale=i drept reprezentanti ai vectorilor =i , segmentele orientate , =i definit vectorul suma ca avand reprezentant , unde OC este diagonala paralelogramului construit pe laturile OA =i OB, atunci se obtine regula paralelogramului de sumare a doi vectori (fig. 5). Este evident insa ca cele doua reguli de sumare au acela=i rezultat. Regula de sumare, poate fi astfel extinsa la un numar arbitrar de vectori, obtinandu-se astfel regula poligonului stramb (fig. 6). Vectorul suma va avea originea in originea comuna a tuturor vectorilor ce urmeaza a fi sumati, iar extremitatea in extremitatea ultimului vector al sumei.

1.13 Observatie Operatia de adunare a vectorilor : , prin care unei perechi ii este asociata un vector, este o lege bine definita.

1.14 Teorema este grup comutativ.

Demonstratie

Asociativitatea: Fie =i , , .

Vectorul are ca reprezentant pe , unde , iar vectorul are ca reprezentant segmentul , unde . Prin urmare , (fig. 7).

Elementul neutru al grupului este vectorul nul .

Orice vector din are un opus notat cu , unde: daca este un reprezentant al lui , atunci un reprezentant al lui este , acesta avand aceea=i directie =i lungime ca , dar de sens opus.

Comutativitatea este asigurata de regula paralelogramului.

1.15 Observatii

a) Asociativitatea adunarii vectorilor permite introducerea regulii poligonului stramb.

b) Existenta unui vector opus pentru orice vector al lui , permite introducerea notiunii de scadere a doi vectori, prin: .

Pe multimea se poate introduce o lege de compozitie externa, , numita "inmultirea unui vector cu un scalar (numar real)".

1.16 Definitie Fie =i . Produsul este un vector liber (element al lui caracterizat prin:

a)      are aceea=i directie cu vectorul ;

b)      lungimea este data de: , unde este modulul numarului real k;

c)      sensul este acela=i cu al vectorului , pentru =i de sens contrar lui , pentru ( fig. 8).

1.17 Teorema Multimea impreuna cu cele doua operatii de adunare a vectorilor =i de inmultire cu scalari, are o structura de spatiu vectorial real.

Demonstratie Conform teoremei 1.14 este grup comutativ. }n plus, operatiile:

i), , ;

ii) , , ;

iii) , , ;

iv) , , ,

se verifica imediat, fiind operatii cu vectori pe o aceea=i dreapta suport.

}n cele ce urmeaza, vor fi considerati vectorii nenuli .

1.18 Teorema Daca =i sunt coliniari, atunci exista un unic numar real k astfel incat .

Demonstratie Daca =i sunt coliniari, atunci, conform definitiei, ace=tia au aceea=i dreapta suport. }n consecinta, versorii acestora fie coincid, fie sunt opu=i: , unde =i .

Rezulta astfel ca: , sau , unde , numarul k fiind unic determinat in baza unicitatii vectorilor =i .

1.19 Observatii a) Relatia poate fi scrisa =i in forma echivalenta , unde , evident atunci cand .

b) Pentru , . Mai mult decat atat, se pot traduce in terminologia corespunzatoare lui toate celelalte proprietati ale operatiilor unui spatiu vectorial.

c) Concluzia teoremei este urmatoarea: odata cu un vector, un intreg subspatiu vectorial se regase=te in . (, Þ este subspatiu unidimensional)

1.20 Teorema Vectorii =i sunt coliniari daca =i numai daca sunt liniar dependenti.

Demonstratie Conform teoremei precedente, daca =i sunt coliniari, atunci sunt liniar dependenti:

Û Þ liniar dependenta.

Reciproc, fie liniar dependenta. Prin urmare, exista, unde cel putin unul dintre ei este nenul , astfel incat . }n cazul in care, de exemplu, este nenul, atunci se poate scrie , adica, unde .

1.21 Teorema Fie , , =i necoliniari. Daca sunt coplanari, atunci exista astfel incat .

Demonstratie Conform definitiei coplanaritatii, exista un plan in raport cu care vectorii admit reprezentanti paraleli (respectiv continuti in el). Se pot prin urmare considera , =i reprezentanti continuti intr-un plan. Fie M =i N proiectiile prin paralelism ale lui A pe OB =i OC. Conform regulii paralelogramului . Pe de alta parte =i sunt coliniari, de unde rezulta ca exista, astfel incat . Analog, se poate concluziona ca exista, astfel incat . Rezulta ca sau (fig. 9).

1.22 Teorema Vectorii sunt coplanari daca =i numai daca sunt liniar dependenti.

Demonstratie Teorema precedenta, arata ca daca sunt coplanari, atunci exista astfel incat sau , unde evident , cu alte cuvinte liniar dependenta.

Reciproc, fie liniar dependenta. Prin urmare, exista, astfel incat , unde . }n cazul in care, de exemplu, este nenul, atunci se poate scrie , adica, unde =i sau altfel spus vectorii sunt coplanari.

1.23 Corolar a) Orice trei vectori liberi dintre care oricare doi necoliniari sunt necoplanari daca =i numai daca sunt liniar independenti.

b) Orice doi vectori nenuli =i necoliniari din , formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 2 ().

1.24 Teorema .

Demonstratie }n baza corolarului precedent orice trei vectori liberi, dintre care oricare doi necoliniari, sunt necoplanari daca =i numai daca sunt liniar independenti. Altfel spus, problema liniar independentei a trei vectori din V₃ este rezolvata de necoplanaritate.

Ramane atunci de demonstrat ca orice trei vectori liberi necoplanari formeaza un sistem de generatori pentru V₃.

Fie , =i reprezentanti pentru trei vectori necoplanari =i fie necoliniar cu oricare dintre cei trei . Fie M, N =i P proiectiile prin paralelism ale lui D pe OA, OB =i OC (fig. 10).

Aplicand succesiv regula paralelogramului, rezulta :

Pe de alta parte =i sunt coliniari, de unde rezulta ca exista, astfel incat . Analog, se poate concluziona ca exista, astfel incat =i exista, astfel incat . Rezulta ca sau .

}n concluzie, este o baza a spatiului

1.25 Definitie Fie B o baza a spatiului . Numerele pentru care , se numesc coordonatele vectorului in baza B.

1.26 Observatii a) Vectorul suma obtinut ca rezultat a doi vectori scri=i in aceea=i baza, se obtine adunand coordonatele corespunzatoare vectorilor bazei. De exemplu, fie =i . Atunci .

b) Coordonatele corespuzatoare la doi vectori coliniari sunt proportionale.

1.27 Definitie Fie trei versori, de reprezentanti , =i , astfel incat (dreptele suport sunt perpendiculare doua cate doua). Multimea se nume=te baza canonica a lui

Pentru , are loc . Coordonatele se numesc coordonatele euclidiene ale vectorului .

1.28 Definitie Fie , un punct arbitrar al spatiului. Vectorul care admite ca reprezentant pe , se nume=te vector de pozitie a lui M.

1.29 Observatii a) }n baza are loc reprezentarea .

Pentru doi vectori de pozitie : =i , suma acestora este data de: =i de asemenea, diferenta (fig. 11).

Fie o dreapta =i un segment orientat. Se construiesc, planul ce trece prin A =i este perpendicular pe D, respectiv care trece prin B =i este perpendicular pe D. Fie =i .

1.30 Definitie Segmentul orientat se nume=te proiectia ortogonala a lui pe dreapta D.

1.31 Observatie Orice segment echipolent cu are aceea=i proiectie ortogonala pe D. Prin urmare, este proiectia ortogonala a vectorului liber care il are ca reprezentant pe (fig. 12). }n continuare, proiectia ortogonala a vectorului pe vectorul va fi notata prin: .

1.32 Definitie Fie , nenuli, de reprezentanti , . Numarul real ce reprezinta unghiul format de dreptele suport OA =i OB se nume=te unghiul dintre vectorii =i (fig. 13). Daca unghiul este , atunci vectorii se numesc ortogonali.

1.33 Observatie a) Definirea unghiului dintre doi vectori nu depinde de alegerea punctului O.

b) Prin conventie, vectorul nul este ortogonal pe orice vector.

c) Fie , nenuli, unghiul dintre vectorii =i . Atunci . }n general va fi folosita notatia =i se nume=te marimea algebrica a proiectiei ortogonale a vectorului pe vectorul .

1.34 Teorema Fie . Atunci au loc urmatoarele:

1. 
2. , .

Demonstratie 1) Fie , , =i , . Se observa imediat ca, de unde rezulta afirmatia (fig. 14).

2) , , =i , (fig. 14).

OB^/ astfel incat rezulta afirmatia.

1.3 Produse de vectori

I Produsul scalar

Fie , nenuli, unghiul dintre vectorii =i .

1.35 Definitie Numarul real (scalar) notat , definit prin:

se nume=te produsul scalar al vectorilor =i .

1.36 Observatie Pentru doi vectori nenuli, produsul scalar se poate scrie =i sub forma:

1.37 Teorema Produsul scalar al vectorilor liberi are urmatoarele proprietati:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) Vectorii =i sunt ortogonali daca =i numai daca ;

7) Daca =i , atunci :

; ;

8) Daca , atunci .

Demonstratie 1) Produsul scalar a doi vectori este comutativ, aceasta revenind la comutativitatea produsului de numere reale:

Daca cel putin unul dintre cei doi vectori liberi este nul, atunci =i produsul scalar este nul in ambele situatii: .

2) , , pentru

=i , pentru , deoarece unghiul dintre =i este p j pentru .

Aceea=i discutie are loc pentru , de unde rezulta identitatea : .

Identitatea este evident adevarata, daca cel putin unul dintre cei doi vectori este nul.

3)

4)

5)

6) Daca vectorii sunt ortogonali, intrucat rezulta ca .

Reciproc, daca atunci sau sau Û , adica vectorii sunt ortogonali.

7) Deoarece vectorii au dreptele suport perpendiculare doua cate doua, rezulta ca .(*)

Aplicand distributivitatea de la punctul 3) rezulta:

de unde in baza egalitatilor din (*) rezulta =i respectiv .

8) Afirmatia rezulta din definitia produsului scalar.

II Produsul vectorial

Fie , nenuli, unghiul dintre vectorii =i .

1.38 Definitie Se nume=te produs vectorial al vectorilor =i , vectorul notat , definit prin:

unde este un versor perpendicular pe =i =i cu sensul determinat de regula burghiului (rotind pe peste , sensul lui este dat de sensul de inaintare al burghiului) (fig.15).

1.39 Teorema Produsul vectorial al vectorilor liberi are urmatoarele proprietati:

1) ;

2) ;

3)

4) ;

5) ; (Identitatea lui Lagrange)

6) Daca =i , atunci

sau ;

7) Daca , atunci este aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentantilor vectorilor ale=i cu origine comuna.

Demonstratie Fie .

1)

2) Fie . Atunci, deoarece are loc identitatea . Analog se demonstreaza identitatea: R =i de asemenea pentru .

3) Se arata intai ca daca este proiectia ortogonala a vectorului pe o dreapta D perpendiculara in acela=i timp pe =i pe (fig. 16), atunci . }ntr-adevar:

Din felul in care este introdus rezulta =i . }ntrucat orientarea triedrului este aceea=i cu a triedrului , rezulta ca . Fie proiectia ortogonala a vectorului pe dreapta D. Deoarece =i sunt coliniari, adica , cu , =i in plus proiectia ortogonala a vectorului suma este egala cu suma proiectiilor ortogonale, se obtine:

4) Deoarece .

5)

6) Din definitia produsului vectorial, rezulta urmatoarele:

; ; ; .

Folosind =i proprietatile precedente, rezulta egalitatea cautata.

Determinantul simbolic se dezvolta dupa elementele primei linii.

7) Trecand la norma in definitia produsului vectorial, tinand cont ca , se obtine aria paralelegramului de laturi =i =i unghi .

III Produsul mixt

1.40 Definitie Se nume=te produs mixt al vectorilor , scalarul (numarul real) .

1.41 Teorema Produsul mixt are urmatoarele proprietati:

1) Daca sunt necoplanari, atunci este volumul paralelipipedului construit pe suporturile reprezentantilor vectorilor , considerati cu origine comuna;

2) Daca , ,     atunci :

3) Prin permutari circulare, produsul mixt nu se schimba, adica:

4) daca =i numai daca:

a)      unul dintre vectori este nul;

b)      doi dintre vectori sunt coliniari;

c)      vectorii sunt coplanari.

5) .

Demonstratie 1) Prin definitie, produsul mixt este numarul real obtinut ca produs intre - aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentantilor vectorilor =i - =i - inaltimea paralelipipedului construit pe suporturile reprezentantilor vectorilor , considerati cu origine comuna, cu baza pe suporturile reprezentantilor vectorilor =i , adica volumul paralelipipedului considerat (fig. 17).

2) Conform definitiilor produselor scalar =i vectorial: , adica are loc :

3-5) Sunt evidente din proprietatile determinantilor.

IV Dublul produs vectorial

1.42 Definitie Se nume=te dublu produs vectorial al vectorilor , vectorul .

1.43 Teorema Dublul produs vectorial este un vector coplanar cu vectorii =i . }n plus: .

Demonstratie Din definitia produsului vectorial, =i . Dar =i =i , de unde rezulta ca este un vector coplanar cu vectorii =i . Mai mult, este verificata egalitatea:

-

1.44 Observatie Dublul produs vectorial, poate fi scris =i sub forma:

1.45 Definitie Fie . Numarul se nume=te determinantul Gram al vectorilor .

1.46 Teorema sunt coplanari daca =i numai daca determinantul Gram este nul.

Demonstratie Este verificata urmatoarea identitate: GÛ

Concluzia teoremei rezulta astfel din proprietatile determinantilor.

1.47 Definitie Fie , trei vectori necoplanari. Vectorii:

; ; ,

se numesc reciprocii vectorilor .

Se poate astfel enunta urmatoarea proprietate:

1.48 Proprietate Reciprocii vectorilor , necoplanari, verifica egalitatile: